2022-2023学年辽宁省大连市金普新区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省大连市金普新区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列图形中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    已知半径为，圆心到点的距离为，则点与的位置关系是(    )

A. 相切 B. 圆外 C. 圆上 D. 圆内

3.    用配方法解方程，变形后的结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    二次函数的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    如图，为的直径，弦于，，，那么直径的长为(    )

A.
B.
C.
D.

6.    方程的两根为、，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

7.    下列函数解析式中，一定为二次函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.    如图，中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则等于(    )
    

A.  B.  C.  D.

9.    在中，弦，直径为，则弦所对的圆周角为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

10. 已知点、、都在函数的图象上，则、、的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 点关于原点对称的点的坐标是______．
12. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则 ______ ．
13. 已知的半径为，圆心到直线的距离为，若与直线有公共点，则的取值范围______．
14. 如图，点在以为直径的上，，，则的长为______．

15. 将抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，所得到的抛物线解析式为______．
16. 在平面直角坐标系中点、的坐标分别为，，抛物线与线段始终有两个交点，则的取值范围为______．

三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    解方程：．
18. 本小题分
    已知二次函数的图象与轴交于，两点，且点在点左侧．若该二次函数的顶点为点，连接，，求的面积．
19. 本小题分
    如图，两个同心圆的圆心为，大圆的弦交小圆于、，求证：．

20. 本小题分
    如图在直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
    画出关于原点的中心对称图形；
    画出将绕原点逆时针方向旋转后的图形．

21. 本小题分
    用一元二次方程解应用题
    参加足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛场，共有多少个队参加比赛？
22. 本小题分
    某商场要求所有商家商品的利润率不得超过，一商家以每件元的价格购进一批商品．该商品每件售价定为元，每天可卖出件，每天销售该商品所获得的利润为元．
    求与的函数关系式；
    若每天销售该商品要获得元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
23. 本小题分
    如图，是的直径，、为上的点，且，过点作于点．
    求证：平分；
    若，，求的半径长．

24. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，点，点，直线与直线交于点动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设运动时间为秒，的面积为．
    求点的坐标；
    求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

25. 本小题分
    如图，将矩形绕点顺时针旋转，使点恰好落在上的点处，得到矩形，连交于，连接．
    求证：．
    若，，求长．

26. 本小题分
    如图，在直角坐标系中，已知点，，顶点在坐标原点的抛物线经过点．
    求抛物线的解析式；
    抛物线上一动点，设点到轴的距离为，点到点的距离为，试说明；
    将点绕点顺时针方向得到点，抛物线上一动点，当的周长有最小值时，求点坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是中心对称图形，符合题意；
B、不是中心对称图形，不合题意；
C、不是中心对称图形，不合题意；
D、不是中心对称图形，不合题意；
故选：．
直接利用中心对称图形的性质分析得出答案．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：的半径为，点到圆心的距离为，
，
点与的位置关系是：点在圆上，
故选：．
要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内判断出即可．
此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．
 

3.【答案】 

【解析】解：方程，整理得：，
配方得：，即，
故选：．
方程移项后，利用完全平方公式配方即可得到结果．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：二次函数是顶点式，
顶点坐标为．
故选：．
因为顶点式，其顶点坐标是，对照求二次函数的顶点坐标．
此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标．
 

5.【答案】 

【解析】解：连接，

，过圆心，，
，，
由勾股定理得：，
即，
，
故选：．
连接，根据垂径定理求出，再根据勾股定理求出即可．
本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂径定理是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】
解：由于，
，
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：是一次函数，故A错误；
B.当时，函数不是二次函数，故B错误；
C.，一定为二次函数，故C正确；
D.，不是整式，故D错误．
故选：．
本题主要考查二次函数的定义．
直接利用二次函数的定义分别分析得出答案．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求解．
【解答】
解：，
，
将绕点旋转到的位置，
，，
，
．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：如图，直径为，

；
是等边三角形；
则；
；
四边形内接于，
．
因此弦所对的圆周角为或；
故选：．
已知直径为，即半径为，如果连接、，那么为等边三角形；即；根据圆周角定理，可求得弦所对的锐角圆周角为，根据圆内接四边形的性质，可求得弦所对钝角圆周角的度数为．
本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
函数图象的对称轴是直线，图象的开口向下，
当时，随的增大而增大，
点关于对称轴的对称点的坐标是，
，
，
故选：．
根据函数的解析式求出函数图象的对称轴是直线，根据函数的性质得出图象的开口向下，当时，随的增大而增大，求出点关于对称轴的对称点的坐标是，再根据二次函数的性质比较即可．
本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是．
 

12.【答案】 

【解析】解：把代入方程得：，
解得：．
故答案为：．
把代入方程，得出一个关于的方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程的应用，关键是能根据题意得出一个关于的方程．
 

13.【答案】 

【解析】解：的半径是，点到直线的距离为，与直线有公共点，
直线与相切或相交，
．
故答案为：．
利用直线与圆的位置关系判断方法，相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，进而得出答案．
此题主要考查了直线与圆的位置关系，得出直线与圆的位置关系进而得出答案是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
故答案为：．
根据圆周角定理得出，根据含角的直角三角形的性质得出，求出，再根据勾股定理求出即可．
本题考查了圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键，注意：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
 

15.【答案】 

【解析】解：将抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度后，得到的抛物线的解析式为，
故答案为．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
抛物线对称轴为，顶点坐标为，
、的坐标分别为，，
点，在直线上在的左侧，
设直线与抛物线交于点，，
如图所示：

令，则，
解得，，
，，
抛物线与线段始终有两个交点，
点应和点重合或在点左侧，点应和点重合或在点右侧，
，
解得，
故答案为：．
根据题意画出二次函数的图像和直线，求直线和抛物线的交点坐标，再根据抛物线与线段始终有两个交点，求出的取值范围．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象上点的坐标特征，把求二次函数与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程是解题的关键．
 

17.【答案】解：，

则
，． 

【解析】本题考查解一元二次方程配方法．
根据配方法可以解答此方程．
 

18.【答案】解：令，则，
解得：，，
点在点左侧，
，，
，，
，
，
，
中边上的高为，
的面积为：． 

【解析】先令，解一元二次方程求出，的坐标，利用配方法求得点坐标，利用三角形的面积公式即可求得结论．
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
 

19.【答案】证明：
过作于，
则，
过，
由垂径定理得：，，
，
即． 

【解析】过作于，由垂径定理得出，，相减即可得出答案．
本题考查了垂径定理的应用，关键是作辅助线后得出，．
 

20.【答案】解：如图，即为所求；
如图，即为所求．
 

【解析】利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
本题考查作图旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：设共有个队参加比赛，则每队要参加场比赛，
根据题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：共有个队参加参加比赛． 

【解析】设共有个队参加比赛，则每队要参加场比赛，根据共要比赛场，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

22.【答案】解：；
由，得．
化简整理得．
解得，．
由题意可知，，
，
答：每件商品的售价应定为元． 

【解析】根据：每件盈利销售件数总盈利额；其中每件盈利每件售价每件进价，建立等量关系；
由每天销售该商品要获得元的利润，结合列方程即可解出答案．
本题考查了一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程求解．
 

23.【答案】证明：，
，
，
，
，
平分；
解：过点作于，如图，则，
，，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，
即的半径长为． 

【解析】利用平行线的性质得到，加上，所以；
过点作于，如图，根据垂径定理得到，再证明≌得到，然后利用勾股定理计算的长即可．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和全等三角形的判定与性质．
 

24.【答案】解：设直线的解析式为，
点，点，
，
解得，
直线为：，
由，解得，
；

设点的坐标为，由题意得，
，
，
，
点的坐标为，
，
，
当，即时，
，
当，即时，
，
综上，． 

【解析】利用待定系数法求得直线的解析式，然后与联立成方程组，解方程组即可求得的坐标；
设点的坐标为，由题意得，根据两点的距离公式可得，根据三角形的面积公式得出，根据的取值范围即可求解．
本题是两条直线相交问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等，解本题的关键是用分类讨论的思想解决问题．
 

25.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
将矩形绕点顺时针旋转至矩形点正好落在上的点处，
，，，
，
，
，
，
，
；
解：如图，过点作于，过点作于，

四边形是矩形，
，
将矩形绕点顺时针旋转，
，，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
． 

【解析】先证，再证，，即可求出答案；
由“”可证≌，可得，，由勾股定理可求解．
本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

26.【答案】解：设抛物线的解析式：，
抛物线经过点，
，解得，
所以抛物线的解析式为：；

设点坐标为，过作轴于，轴于，如图，
点在抛物线上，
，
，
，，
在中，，
；

过点作轴于，过点作轴于，如图，
点绕点顺时针方向旋转得到点，
≌，
，，
，
点坐标为；
作直线，过点作的垂线，交抛物线于点，则即为所求的点．
，
的周长
，
要使最小，则、、三点共线，
此时点的横坐标为，把代入，得到，
即点坐标为，此时，
的周长的最小值． 

【解析】设抛物线的解析式：，把代入即可得到的值即可；
设点坐标为，过作轴于，轴于，则有，又，，在中，利用勾股定理得到，即有结论；
过点作轴于，过点作轴于，易证≌，得到，，即可得到点坐标，则的周长，得到的周长，要使最小，则、、三点共线，点坐标为，此时，得到的周长的最小值．
本题考查了点在抛物线上，点的横纵坐标满足二次函数的解析式和顶点在原点的二次函数的解析式为：；也考查了旋转的性质、勾股定理以及两点之间线段最短．