初中数学沪科版九年级下册24.3.1 圆周角定理当堂达标检测题

专题提升十一　圆周角定理的综合运用

【例题选讲】

一、巧作辅助线求角度

例1　求证：圆内接平行四边形是矩形．

如图，已知平行四边形ABCD是⊙O的内接四边形．求证：平行四边形ABCD是矩形．

二、圆周角定理与垂径定理的综合

例2　如图，OA⊥BC，∠AOB＝50°，试确定∠ADC的大小．

注意点：垂径定理与圆周角定理的综合运用一般是通过圆周角定理进行角度、弧度转换，利用垂径定理求解．

【课后练习】

1． 如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为(　　)

A．60°  B．50°

C．40°  D．20°

第1题图

2．(兰州中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝(　　)

第2题图

A．110°   B．120°

C．135°   D．140°

3． 数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB＝c，一条直角边BC＝a.小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是(　　)

第3题图

A．勾股定理

B．直径所对的圆周角是直角

C．勾股定理的逆定理

D．90°的圆周角所对的弦是直径

4．(海南中考)如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为(　　)

第4题图

A．45°     B．30°

C．75°     D．60°

5.  如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE.如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为(　　)

A．35°  B．38°

C．40°  D．42°

第5题图

6． 如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是________．

第6题图

7． 如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是________．

第7题图

8．如图所示，AB是⊙O的一条弦，E在⊙O上，设⊙O的半径为4cm，AB＝4cm，

第8题图

(1)求圆心O到弦AB的距离OD；

(2)求∠AEB的度数．

9． 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上．

(1)尺规作图：作∠BAC的平分线，与⊙O交于点D；连接OD，交BC于点E(不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑)；

(2)探究OE与AC的位置及数量关系，并证明你的结论．

第9题图

10．探究实践．

如图，在直角坐标系中，M为x轴上一点，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P为上的一个动点，CQ平分∠PCD，A(－1，0)，M(1，0)．

(1)求C点的坐标；

(2)当P点运动时，线段AQ的长度是否改变？若不变，请求其值；若改变，请说明理由．

第10题图

答案

【例题选讲】

例1　证明：∠A＋∠C＝180°(圆内接四边形对角互补)，又∠A＝∠C(平行四边形对角相等)，∴∠A＝∠C＝90°，所以圆内接平行四边形是矩形．　

例2　∵OA⊥BC，∴＝，∴∠ADC＝∠AOB＝25°.

【练习】

1—5.BDBDC　6.45°　7. 60°或120°　

8.(1)连接OA，OB.∵OD⊥AB，∴AD＝AB＝2cm.在Rt△ODA中，OA＝4cm，∴OD＝＝＝2(cm)；　

(2)Rt△ODA中，OA＝4cm，OD＝2cm，∴∠OAD＝30°，∴∠AOD＝60°.∵OA＝OB，OD⊥AB，∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，∴∠AEB＝∠AOB＝60°.

第9题图

9. (1)如图所示；　

(2)OE∥AC，OE＝AC.理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC，∵∠BAD＝∠BOD，∴∠BOD＝∠BAC，∴OE∥AC，∵OA＝OB，∴OE为△ABC的中位线，∴OE∥AC，OE＝AC.　

10.(1)连接MC，由题意可知圆M的半径R＝2，则MO＝1，MC＝2，所以OC＝，则C点的坐标为(0，)．　

(2)AQ的长度是不变的，且AQ＝AC＝2.理由如下：连接AD，根据圆周角定义，则有：∠ADC＝∠APC＝30°，又CQ为∠PCD的平分线，则有∠DCQ＝∠QCP，∵∠CQA＝∠QCP＋∠QPC＝∠DCQ＋30°，∠ACQ＝∠ACD＋∠DCQ＝∠DCQ＋30°，所以∠ACQ＝∠CQA，所以△AQC为等腰△，则AC＝AQ＝2.