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第15讲 圆 2023年中考数学一轮复习专题训练（江苏专用）
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这是一份第15讲 圆 2023年中考数学一轮复习专题训练（江苏专用），共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，综合题等内容，欢迎下载使用。
第15讲 圆 2023年中考数学一轮复习专题训练（江苏专用）
一、单选题
1．（2022·无锡）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（ ）
A．AE⊥DE B．AE//OD C．DE=OD D．∠BOD=50°
2．（2022·无锡）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．12π B．15π C．20π D．24π
3．（2022·苏州）如图，在 5×6 的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点.假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（ ）
A．π12 B．π24 C．10π60 D．5π60
4．（2022·连云港）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）
A．23π-32 B．23π-3 C．43π-23 D．43π-3
5．（2022·泗洪模拟）若一个圆锥的侧面展开图是半径为9cm、圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是（ ）
A．6cm B．9cm C．12cm D．18cm
6．（2022·泗洪模拟）已知△ABC的内心为P，则下列说法错误的是（ ）
A．PA=PB=PC
B．P在△ABC的内部
C．P为△ABC三个内角平分线的交点
D．P到三边距离相等
7．（2022·惠山模拟）下列命题中，是真命题的是 （ ）
A．长度相等的弧是等弧 B．如果|a|=1，那么a=1
C．两直线平行，同位角相等 D．如果x＞y ，那么－2x＞－2y
8．（2022·惠山模拟）如图，在平面直角坐标系中，A（0，3）、B（3，0），以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P.连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为（ ）
A．1 B．22﹣1 C．2 D．322﹣1
9．（2022·锡山模拟）若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．2cm2 B．24cm2 C．12πcm2 D．24πcm2
10．（2022·江苏模拟）如图，点A的坐标是（−2，0），点C是以OA为直径的⊙B上的一动点，点A关于点C的对称点为点P.当点C在⊙B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y=kx－3k（k＞0）有且只有一个公共点，则k的值为（ ）.
A．23 B．53 C．255 D．655
11．（2021·常州模拟）如图，△ABC内接于⊙O，弦AB＝6，sinC＝35，则⊙O的半径为（ ）
A．5 B．10 C．154 D．95
二、填空题
12．（2022·徐州）如图，A、B、C点在圆O上， 若∠ACB=36°， 则∠AOB= ．
13．（2022·盐城）如图，在矩形ABCD中，AB=2BC=2，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转，使得点B落在边CD上的点B'处，线段AB扫过的面积为 ．
14．（2022·盐城）如图，AB、AC是⊙O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若∠BAD=35°，则∠C= °．
15．（2022·常州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形.若∠ABC=45°，AC=2，则⊙O的半径是 .
16．（2022·泰州）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在AmB 上，且与点A，B 不重合，若∠P=26°，则∠C的度数为 °.
17．（2022·苏州）如图，AB是 ⊙O 的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD.若 ∠BAC=28° ，则 ∠D= °
18．（2022·连云港）如图， AB 是 ⊙O 的直径， AC 是 ⊙O 的切线， A 为切点，连接 BC ，与 ⊙O 交于点 D ，连接 OD .若 ∠AOD=82° ，则 ∠C= ° .
19．（2022九下·沭阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A（－1，0），点B（1，0），点M（3，4），以M为圆心，2为半径作⊙M.若点P是⊙M上一个动点，则PA2＋PB2的最大值为
20．（2022·泗洪模拟）如图，大圆的弦AB切小圆于点C，且大圆的半径为5cm，小圆的半径为3cm，则弦AB的长为 cm.
三、综合题
21．（2022·徐州）如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC=60°，直线AD∥BC，AB=AD，点O在BD上．
（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
22．（2022·镇江）操作探究题
（1）已知AC是半圆O的直径，∠AOB=(180n)°（n是正整数，且n不是3的倍数）是半圆O的一个圆心角．
操作：如图1，分别将半圆O的圆心角∠AOB=(180n)°（n取1、4、5、10）所对的弧三等分（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
交流：当n=11时，可以仅用圆规将半圆O的圆心角∠AOB=(180n)°所对的弧三等分吗？
探究：你认为当n满足什么条件时，就可以仅用圆规将半圆O的圆心角∠AOB=(180n)°所对的弧三等分？说说你的理由．
（2）如图2，⊙o的圆周角∠PMQ=(2707)°．为了将这个圆的圆周14等分，请作出它的一条14等分弧CD（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
23．（2022·南通）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径，AC平分∠BAD，CD=22，点E在BC的延长线上，连接DE．
（1）求直径BD的长；
（2）若BE=52，计算图中阴影部分的面积．
24．（2022·无锡）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE.
（1）求证 △CED∽△BAD ；
（2）当 DC=2AD 时，求CE的长.
25．（2022·泗洪模拟）定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形.
（1）选择：下列四边形中，一定是圆美四边形的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
（2）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=1，经过点A，B的⊙O交AC边于点D，交BC于点E，连接DE，若四边形ABED为圆美四边形，求DE的长；
（3）如图2，AD是△ABC外接圆⊙O的直径，交BC于点E，点P在AD上，延长BP交⊙O于点F，已知PB2=PE⋅PA.问四边形ABFC是圆美四边形吗？为什么？
26．（2022·宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、M均为格点.
（1）【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB、CD，相交于点P并给出部分说理过程，请你补充完整：
解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE.
在Rt△ABC中，tan∠BAC=12
在Rt△CDE中， ，
所以tan∠BAC=tan∠DCE.
所以∠BAC=∠DCE.
因为∠ACP+∠DCE =∠ACB =90°，
所以∠ACP +∠BAC =90°，
所以∠APC =90°，
即AB⊥CD.
（2）【拓展应用】如图②是以格点O为圆心，AB为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在BM上找出一点P，使PM=AM，写出作法，并给出证明：
（3）【拓展应用】如图③是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦AB上找出一点P.使AM2=AP·AB，写出作法，不用证明.
27．（2022·连云港）如图
【问题情境】
在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放.其中 ∠ACB=∠DEB=90° ， ∠B=30° ， BE=AC=3 .
【问题探究】
小昕同学将三角板 DEB 绕点 B 按顺时针方向旋转.
（1）如图2，当点 E 落在边 AB 上时，延长 DE 交 BC 于点 F ，求 BF 的长.
（2）若点 C 、 E 、 D 在同一条直线上，求点 D 到直线 BC 的距离.
（3）连接 DC ，取 DC 的中点 G ，三角板 DEB 由初始位置（图1），旋转到点 C 、 B 、 D 首次在同一条直线上（如图3），求点 G 所经过的路径长.
（4）如图4， G 为 DC 的中点，则在旋转过程中，点 G 到直线 AB 的距离的最大值是 .
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠ODA，
∴OD∥AE，
∴AE⊥DE，故选项A、B都正确；
∵∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，
∴∠BOD=2∠OAD=50°，故选项D正确；
如图：
过点D作DF⊥AB于点F
∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，DF⊥AB，
∴DE=DF
【分析】根据切线的性质可得OD⊥DE，根据等腰三角形的性质得∠OAD=∠ODA，根据角平分线的概念得∠OAD=∠EAD，则∠EAD=∠ODA，推出OD∥AE，据此判断A、B；根据等腰三角形的性质以及角平分线概念得∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，由圆周角定理得∠BOD=2∠OAD=50°，据此判断D；根据角平分线的性质可得DE=DF，据此判断C.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= 32+42 =5，
以直线AC为轴，把△ABC旋转一周得到的圆锥的侧面积= 12 ×2π×4×5=20π.
故答案为：C.
【分析】首先利用勾股定理求出AB的值，然后根据S圆锥的侧面积=12×2π·BC·AB进行计算.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：由图可知，总面积为：5×6=30， OB=32+12=10 ，
∴阴影部分面积为： 90·π×10360=5π2 ，
∴飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是 5π230=π12 .
故答案为：A.
【分析】首先求出长方形网格的面积，利用勾股定理求出OB，结合扇形的面积公式求出阴影部分的面积，然后用扇形的面积除以整个矩形的面积进行计算.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA、OB，再过点O作OC⊥AB，
由题意得A、B分别为圆的十二等分点，
∴∠AOB=212×360°=60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝2，
∴S阴影=S扇OAB-S△AOB=60·π·22360-12×2×3=2π3-3.
故答案为：B.
【分析】如图所示，连接OA、OB，再过点O作OC⊥AB，由题意得A、B分别为圆的十二等分点，可求得∠AOB=60°，从而推出△AOB为等边三角形，即得AB＝OA＝OB＝2，再分别计算出扇形OAB和三角形AOB的面积，最后由S阴影=S扇OAB-S△AOB代入数据计算即可求解.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：设这个圆锥的底面半径为rcm，根据题意得
2πr=240π×9180，解得r=6，
所以这个圆锥的底面半径长为6cm.
故答案为：A.
【分析】设这个圆锥的底面半径为rcm，根据圆锥底面圆的周长为侧面展开扇形的弧长，结合圆的周长公式以及弧长公式进行计算即可.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：A、三角形内心到三角形三条边的距离相等，并不是到三个顶点的距离相等，故符合题意；
B、三角形的内心是三个内角的角平分线的交点，所以P在△ABC的内部，故不符合题意；
C、三角形的内心是三个内角的角平分线的交点，故不符合题意；
D、三角形内心到三角形三条边的距离相等，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】三角形的内心是三个内角的角平分线的交点，内心到三角形三条边的距离相等，据此判断.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧，故A选项是假命题；
如果|a|=1，那么a=±1，故B选项是假命题；
根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等，故C选项是真命题；
如果x＞y，那么－2x＜－2y，故D选项是假命题.
故答案为：C.
【分析】在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧，依此判断A；绝对值就是数轴上的点所表示的数，离开原点的距离，据此判断B；根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等，判断C；不等式的两边同时除以一个负数，不等号的方向改变，据此判断D.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：当点P运动到AB的延长线上时，即如图中点P1，C1 是AP1的中点，
当点P在线段AB上时， C2是中点，取C1C2的中点为D，
点C的运动路径是以D为圆心，以DC1为半径的圆，（CA： PA=1 ： 2 ，则点C轨迹和点P轨迹相似，所以点C的轨迹就是圆) ， 当O、C、D共线时， OC的长最小，设线段AB交⊙B于Q，
RtΔAOB中，OA=3，OB=3，
∴AB=32.
∵⊙B半径为2，
∴BP1=2，AP1=32+2，
∵C1是AP1的中点，
∴AC1=322+1，AQ=32-2，
∵C2是AQ的中点，
∴AC2=C2Q=322-1，
C1C2=322+1-(322-1)=2，
即⊙D半径为1，
∵AD=322-1+1=322=12AB，
∴OD=12AB=322，
∴OC=322-1.
故答案为：D.
【分析】当点P运动到AB的延长线上时，即如图中点P1，C1 是AP1的中点，当点P在线段AB上时，当点P在线段AB上时， C2是中点，取C1C2的中点为D，确定出点C的运动路径是以D为圆心，以DC1为半径的圆，当O、C、D共线时， OC的长最小，先求⊙D的半径，说明D是AB的中点，设线段AB交⊙B于Q，根据直角三角形斜边中线是斜边中线的性质求出OD长，则可求出OC的最小值.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：∵圆锥底面半径为3cm，母线长为4cm，
∴圆锥的侧面积为π×3×4=12πcm2.
故答案为：C.
【分析】利用圆锥的侧面积等于πRr（R是展开扇形的半径，r是底面圆的半径），代入计算可求解.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接OP，作过点P作PE⊥x轴于点E，
∵点P和点A关于点C对称，点C的运动轨迹是以点B为圆心，半径为1的圆，
∴点P的运动轨迹是以O为圆心，以AO为半径的圆.
∵当点C在⊙B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y=kx－3k（k＞0）有且只有一个公共点，直线y=kx－3k（k＞0）过定点D(3，0)，
∴OP⊥PD，
∴∠OPD=90°，
在Rt△OPD中，OP=OA=2，OD=3，
由勾股定理得：PD= OD2-OP2 = 5
由等积法，可得：OD•PE=OP•PD，
即：3×PE=2× 5 ，
解得：PE= 253
在Rt△OPE中，OE= OP2-PE2 = 43
∴点P的坐标为( 43 ， -253 )
把点P的坐标代入y=kx－3k，得： -253=43k-3k ，
解得：k= 255 .
故答案为：C.
【分析】连接OP，作过点P作PE⊥x轴于点E，由题意可得：点P的运动轨迹是以O为圆心，AO为半径的圆，直线y=kx-3k（k＞0）过定点D(3，0)，利用勾股定理可得PD，根据△OPD的面积公式可得PE，然后利用勾股定理求出OE，进而可得点P的坐标，接下来将点P的坐标代入y=kx-3k中进行计算就可得到k的值.
11．【答案】A
【解析】【解答】解：过B作直径BD，连接AD，
∵BD为直径，
∴∠BAD＝90°，
∵∠D＝∠C，
∴sinD＝sinC＝ ABBD=35，
∵AB＝6，
∴BD＝10，
∴⊙O的半径为5.
故答案为：A.
【分析】过B作直径BD，连接AD，根据圆周角定理可得∠BAD＝90°，∠D＝∠C，然后根据正弦函数的概念可得BD的值，进而可得半径.
12．【答案】72°
【解析】【解答】解：∵∠ACB=12∠AOB，∠ACB=36°，
∴∠AOB=2×∠ACB=72°．
故答案为：72°．
【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠AOB=2∠ACB，据此计算.
13．【答案】π3
【解析】【解答】解：∵AB=2BC=2，
∴BC=1，
∵矩形ABCD中，
∴AD=BC=1，∠D=∠DAB=90°，
由旋转可知AB=AB'，
∵AB=2BC=2，
∴AB'=AB=2，
∵cos∠DAB'=ADAB'=12，
∴∠DAB'=60°，
∴∠BAB'=30°，
∴线段AB扫过的面积=30°×π×22360°=π3.
故答案为：π3.
【分析】根据已知条件可得BC=1，根据矩形的性质可得AD=BC=1，∠D=∠DAB=90°，由旋转的性质可得AB=AB′=2，求出cos∠DAB′的值，得到∠DAB′、∠BAB′的度数，然后结合扇形的面积公式进行计算.
14．【答案】35
【解析】【解答】解：如图，连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE．
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∴∠E+∠BAE=90°，
∵AD为⊙O的切线，
∴∠DAE=90°，
∴∠BAE+∠BAD=90°，
∴∠E=∠BAD=35°，
∴∠C=∠E=35°．
故答案为：35.
【分析】连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，根据圆周角定理可得∠C=∠E，∠ABE=90°，根据切线的性质可得∠DAE=90°，由同角的余角相等可得∠E=∠BAD=35°，据此解答.
15．【答案】1
【解析】【解答】解：连接OA、OC，
∵∠ABC=45°，
∴∠AOC=2∠ABC=90°，
∴OA2+OC2=AC2，即2OA2=2，
解得：OA=1，
故答案为：1.
【分析】连接OA、OC，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠AOC=2∠ABC=90°，然后利用勾股定理进行计算即可.
16．【答案】32
【解析】【解答】解：连接OA，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠PAO=90°，
∴∠O=90°-∠P，
∵∠P=26°，
∴∠O=64°，
∴∠C=12∠O=32°.
故答案为：32.
【分析】连接OA，根据切线的性质可得∠PAO=90°，则根据三角形的内角和求出∠O的度数，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求出∠C的度数.
17．【答案】62
【解析】【解答】解：连接 BD ，
∵AB是 ⊙O 的直径，
∴∠ADB=90° ，
∵CB=CB ，
∴∠BAC=∠BDC=28° ，
∴∠ADC=90°-∠BDC=62°
故答案为：62.
【分析】连接BD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，∠BAC=∠BDC=28°，然后根据∠ADC=∠ADB-∠BDC进行计算.
18．【答案】49
【解析】【解答】解：∵AB是直径，AC是切线，
∴∠A=90°，
∵∠AOD=82°，
∴∠B=41°，
∴∠C=90°-41°=49°.
故答案为：49.
【分析】根据切线的性质得出∠A=90°，根据圆周角定理得出∠B=12∠AOD=41°，即可得出∠C=90°-41°=49°.
19．【答案】100
【解析】【解答】解：设P（x，y），
∵PA2＝（x＋1）2＋y2，PB2＝（x−1）2＋y2，
∴PA2＋PB2＝2x2＋2y2＋2＝2（x2＋y2）＋2，
∵OP2＝x2＋y2，
∴PA2＋PB2＝2OP2＋2，
当点P处于OM与圆的交点P'处时，OP取得最大值，如图，
∴OP的最大值为OP'＝OM＋P'M＝42+32＋2＝7，
∴PA2＋PB2最大值为2×72＋2＝100.
故答案为：100.
【分析】设P（x，y），根据两点间距离公式表示出PA2、PB2，结合OP2＝x2＋y2可得PA2＋PB2＝2OP2＋2，当点P处于OM与圆的交点P'处时，OP取得最大值，最大值为OP'＝OM＋P'M，据此计算.
20．【答案】8
【解析】【解答】解：连接OA，OC，
∵AB与小圆相切，
∴OC⊥AB，
∴C为AB的中点，即AC＝BC=12AB，
在Rt△AOC中，OA＝5cm，OC＝3cm，
根据勾股定理得：AC=OA2-OC2=4cm，
则AB＝2AC＝8cm.
故答案为：8.
【分析】连接OA，OC，根据切线的性质可得OC⊥AB，根据垂径定理可得AC＝BC=12AB，利用勾股定理求出AC，进而可得AB.
21．【答案】（1）解：直线AD与圆O相切，理由如下：
如图，连接OA，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠DBC，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABD，
∵∠ABC=60°，
∴∠DBC=∠ABD=∠D=30°，
∴∠BAD=120°，
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠ABD=30°，
∴∠OAD=90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是圆的半径，
∴直线AD与园O相切，
（2）解：如图，连接OC，作OH⊥BC于H，
∵OB=OC=6，
∴∠OCB=∠OBC=30°，
∴∠BOC=120°，
∴OH=12OB=3，
∴BH=BO2-OH2=33，
∴BC=2BH=63，
∴扇形BOC的面积为120×62×π360=12π，
∵SΔOBC=12BC⋅OH=12×63×3=93，
∴阴影部分的面积为S扇形BOC-S△BOC=12π-93．
【解析】【分析】（1）连接OA，根据平行线的性质得∠D=∠DBC，根据等腰三角形的性质得∠D=∠ABD，则∠DBC=∠ABD=∠D=30°，∠BAO=∠ABD=30°，推出∠OAD=90°，据此证明；
（2）连接OC，作OH⊥BC于H，由等腰三角形的性质“等边对等角”得∠OCB=∠OBC=30°，则∠BOC=120°，OH=12OB=3，利用勾股定理可得BH，由垂径定理可得BC=2BH，然后根据S阴影=S扇形BOC-S△BOC进行计算.
22．【答案】（1）解：操作：
交流： 60°-9×(18028)°=(6028)° ，或 19×(18028)°-2×60°=(6028)° ；
探究：设 60°-k(180n)°=(60n)° ，解得 n=3k+1 （ k 为非负整数）．
或设 k(180n)°-60°=(60n)° ，解得 n=3k-1 （ k 为正整数）．
所以对于正整数 n （ n 不是3的倍数），都可以仅用圆规将半圆 O 的圆心角 ∠AOB=(180n)° 所对的弧三等分；
（2）解：如图
【解析】【分析】（1）操作：分别构造60°弧、15°弧、12°弧、6°弧即可解决问题；
交流：当n=28时，三者之间的数量关系为60°-9×(18028)°=(6028)°；
探究：设 60°-k(180n)°=(60n)° 或设k(180n)°-60°=(60n)°，用含k的式子表示出n即可；
（2）以P为端点，用半径去截圆，与圆交于一点，再以该点为端点，重复上述步骤，得到点D，以Q为圆心，QP为半径画弧，与圆交于一点C，则弧CD即为所作.
23．【答案】（1）解：解：（1）∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝∠DCE＝90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC=45°，
∴BC⏜=DC⏜，
∴BC=DC=22，
∴BD=CDsin45°=2222=4.
答：直径BD的长为4.
（2）解：∵在圆O中，BC⏜=DC⏜，
∴弓形BC的面积等于弓形DC的面积，
∴阴影部分的面积等于△DCE的面积
∵CE=BE-BC=52-22=32，
∴S阴影部分=S△DCE=12CD·CE=12×32×22=6.
答：阴影部分的面积为6.
【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠BCD＝∠DCE＝90°，利用角平分线的定义可证得∠BAC＝∠DAC=45°，利用圆周角定理可推出BC=DC；再利用解直角三角形求出BD的长.
（2）利用在圆O中，BC⏜=DC⏜，可证得阴影部分的面积等于△DCE的面积；再求出CE的长；然后利用三角形的面积公式求出阴影部分的面积.
24．【答案】（1）证明：∵BC 所对的圆周角是 ∠A，∠E ，
∴∠A=∠E ，
又 ∠BDA=∠CDE ，
∴△CED∽△BAD
（2）解：∵△ ABC 是等边三角形，
∴AC=AB=BC=6
∵DC=2AD ，
∴AC=3AD，
∴AD=2，DC=4，
∵ΔCED~ΔBAD，
∴ADDE=BDCD=ABCE ，
∴2DE=BD4，
∴BD⋅DE=8；
连接 AE， 如图，
∵AB=BC，
∴AB=BC
∴∠ BAC=∠BEA，
又∠ ABD=∠EBA ，
∴△ ABD~ΔEBA，
∴ABBE=PDAB ，
∴AB2=BD⋅BE=BD⋅(BD+DE)=BD2+BD⋅DE，
∴62=BD2+8 ，
∴BD=27 （负值舍去）
∴6CE=274 ，
解得， CE=1277
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得∠A=∠E，由对顶角的性质可得∠BDA=∠CDE，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）根据等边三角形的性质得AC=AB=BC=6，结合已知条件可得AC=3AD，则AD=2，DC=4，然后根据相似三角形的性质可得BD·DE=8，连接AE，由圆周角定理可得∠BAC=∠BEA，证明△ABD∽△EBA，根据相似三角形的性质可得BD、CE的值.
25．【答案】（1）D
（2）解：连接AE，BD，
∵等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴BD是⊙O的直径，∠BED=∠BAD =90°，
∵AC=AB=1，
∴BC=AB2+AC2=2，∠C=12(180°-∠BAC)=45°，
∵四边形ABED为圆美四边形，
∴BD⊥AE，
∴AD=ED，
∴AD=ED，
∵BD=BD，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），
∴BE=AB=1，
∴CE=BC-BE= 2-1，
∵∠CED=180°-∠BED=90°，
∴∠CDE=90°-∠C=45°，
∴DE=CE=2-1；
（3）解：四边形ABFC是圆美四边形，理由：
连接BD，AF，设AF与BC交点为G，
则∠ACB=∠ADB，∠CAF=∠CBF，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴∠BAD+∠ADB=90°，
∵PB2=PE⋅PA，
∴PBPA=PEPB，
∵∠APB=∠BPE，
∴△APB∽△BPE，
∴∠BAD=∠CBF，
∴∠CAF=∠BAD，
∴∠ACB+∠CAF=∠ADB+∠BAD=90°，
∴∠AGC=180-（∠ACB+∠CAF）=90°，
∴AF⊥BC，
∴四边形ABFC是圆美四边形.
【解析】【解答】解：（1）∵圆美四边形满足对角互补，对角线互相垂直两个条件，
∴正方形是圆美四边形，
故答案为：D；
【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补可排除A、C，根据对角线互相垂直排除B，从而即可得出答案；
（2） 连接AE，BD，先判断出∠BED=∠BAD =90°， 根据等腰直角三角形的性质求出BC=2，∠C=45°，由圆美四边形可得BD⊥AE， 由垂径定理及弧、弦、圆心角的关系可得AD=ED，证明Rt△ABD≌Rt△EBD，可得BE=AB=1，从而求出CE=BC-BE= 2-1， 再根据等腰直角三角形，可得DE的长；
（3）四边形ABFC是圆美四边形，理由：连接BD，AF，设AF与BC交点为G，证明△APB∽△BPE，可得∠BAD=∠CBF，从而求出∠AGC=90°，根据圆美四边形的定义即证.
26．【答案】（1）tan∠DCE=12
（2）解：如图中，点P即为所求，
作法：取个点T，连接AT交⊙O于点P，点P即为所求；
证明：由作图可知，OM⊥AP，OM是半径，
∴PM=AM.
（3）解：如图中，点P即为所求，
作法：取各店J、K，连接JK交AB于点P，点P即为所求。
【解析】【解答】解：【操作探究】在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE.
在Rt△ABC中，tan∠BAC=12
在Rt△CDE中，tan∠DCE=12，
所以tan∠BAC=tan∠DCE.
所以∠BAC=∠DCE.
因为∠ACP ∠DCE =∠ACB =90°，
所以∠ACP +∠BAC =90°，
所以∠APC =90°，
即AB⊥CD.
故答案为：tan∠DCE=12；
【分析】（1）在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE，利用三角函数的概念求出tan∠BAC、tan∠DCE的值，得到∠BAC=∠DCE，结合∠ACP+∠DCE=∠ACB=90°可得∠ACP +∠BAC=90°，利用内角和定理可得∠APC =90°，据此解答；
（2）取格点T，连接AT交⊙O于点P，点P即为所求，由作图可知：OM⊥AP，OM是半径，则PM=AM；
（3）取各店J、K，连接JK交AB于点P，由圆周角定理可得∠APM=∠ABM，又∠MAP=∠MAB，则△MAP∽△MAB，则AM2=AP·AB.
27．【答案】（1）解：由题意得，∠BEF=∠BED=90°，
∵在Rt△BEF中，∠ABC=30°，BE=3，cos∠ABC=BEBF，
∴BF=BEcos∠ABC=3cos30°=23.
（2）解：①当点E在BC上方时，
如图一，过点D作DH⊥BC于点H，
在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=3，
∴tan∠ABC=ACBC，
∴BC=ACtan∠ABC=3tan30°=33，
在△BDE中，∠DEB=90°，∠DBE=∠ABC=30°，BE=3，tan∠DBE=DEBE，
∴DE=BE⋅tan30°=3，
∵点C、E、D在同一直线上，且∠DEB=90°，
∴∠CEB=180°-∠DEB=90°，
在△CBE中，∠CEB=90°，BC=33，BE=3，
∴CE=BC2-BE2=32，
∴CD=CE+DE=32+3，
∵S△BCD=12CD⋅BE=12BC⋅DH，
∴DH=CD⋅BEBC=6+1；
②当点E在BC下方时，
如图二，过点D作DM⊥BC于点M，
∵∠CEB=90°，BE=3，BC=33，
∴CE=BC2-BE2=32，
∴CD=CE-DE=32-3，
∵S△BDC=12BC⋅DM=12CD⋅BE，
∴DM=6-1，
综上，点D到直线BC的距离为6+1或6-1.
（3）解：如图三，取BC的中点O，连接GO，则GO=12BD=3，
∴点G在以O为圆心，3为半径的圆上，
当三角板DEB绕点B顺时针由初始位置旋转到点C、B、D首次在同一条直线上时，
点G所经过的轨迹为150°所对的圆弧，
∴点G所经过的路径长=150360×2π×3=536π.
（4）734
【解析】【解答】解：（4）如图四，过点O作OK⊥AB于K，
∵点O为BC中点，BC=33，
∴OB=12BC=332，
在Rt△OKB中，∠KBO=30°，
∴OK=332×12=334，
由（3）可知：点G在以O为圆心，3为半径的圆上，
∴点G到直线AB的距离最大值=3+334=734.
故答案为：734.
【分析】（1）在Rt△BEF中，有∠ABC=30°，BE=3，根据30°角的余弦即可求得BF的长；
（2）分两种情况：①当点E在BC上方，如图一过点D作DH⊥BC于点H，解直角三角形得BC=33，DE=BE⋅tan30°=3，由勾股定理求得CE=32，从而得CD=32+3，再由三角形BCD的面积得DH=CD⋅BEBC，代入数据计算即可；②当点E在BC下方时，如图二，过点D作DM⊥BC于点M，由勾股定理求得CE=32，则CD=32-3，同理由三角形BCD的面积得DH=CD⋅BEBC，代入数据计算即可；
（3）如图三，取BC的中点O，连接GO，则GO=12BD=3，则点G在以O为圆心，3为半径的圆上，当三角板DEB绕点B顺时针由初始位置旋转到点C、B、D首次在同一条直线上时，点G所经过的轨迹为150°所对的圆弧，最后由弧长计算公式代入数据即可求解；
（4）如图四，过点O作OK⊥AB于K，由点O为BC中点，BC=33，求得OB=12BC=332，解直角三角形可求得OK=334，由（3）可知：点G在以O为圆心，3为半径的圆上，即得点G到直线AB的距离最大值
第15讲 圆 2023年中考数学一轮复习专题训练（江苏专用）
一、单选题
1．（2022·无锡）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（ ）
A．AE⊥DE B．AE//OD C．DE=OD D．∠BOD=50°
2．（2022·无锡）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．12π B．15π C．20π D．24π
3．（2022·苏州）如图，在 5×6 的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点.假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（ ）
A．π12 B．π24 C．10π60 D．5π60
4．（2022·连云港）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）
A．23π-32 B．23π-3 C．43π-23 D．43π-3
5．（2022·泗洪模拟）若一个圆锥的侧面展开图是半径为9cm、圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是（ ）
A．6cm B．9cm C．12cm D．18cm
6．（2022·泗洪模拟）已知△ABC的内心为P，则下列说法错误的是（ ）
A．PA=PB=PC
B．P在△ABC的内部
C．P为△ABC三个内角平分线的交点
D．P到三边距离相等
7．（2022·惠山模拟）下列命题中，是真命题的是 （ ）
A．长度相等的弧是等弧 B．如果|a|=1，那么a=1
C．两直线平行，同位角相等 D．如果x＞y ，那么－2x＞－2y
8．（2022·惠山模拟）如图，在平面直角坐标系中，A（0，3）、B（3，0），以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P.连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为（ ）
A．1 B．22﹣1 C．2 D．322﹣1
9．（2022·锡山模拟）若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．2cm2 B．24cm2 C．12πcm2 D．24πcm2
10．（2022·江苏模拟）如图，点A的坐标是（−2，0），点C是以OA为直径的⊙B上的一动点，点A关于点C的对称点为点P.当点C在⊙B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y=kx－3k（k＞0）有且只有一个公共点，则k的值为（ ）.
A．23 B．53 C．255 D．655
11．（2021·常州模拟）如图，△ABC内接于⊙O，弦AB＝6，sinC＝35，则⊙O的半径为（ ）
A．5 B．10 C．154 D．95
二、填空题
12．（2022·徐州）如图，A、B、C点在圆O上， 若∠ACB=36°， 则∠AOB= ．
13．（2022·盐城）如图，在矩形ABCD中，AB=2BC=2，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转，使得点B落在边CD上的点B'处，线段AB扫过的面积为 ．
14．（2022·盐城）如图，AB、AC是⊙O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若∠BAD=35°，则∠C= °．
15．（2022·常州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形.若∠ABC=45°，AC=2，则⊙O的半径是 .
16．（2022·泰州）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在AmB 上，且与点A，B 不重合，若∠P=26°，则∠C的度数为 °.
17．（2022·苏州）如图，AB是 ⊙O 的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD.若 ∠BAC=28° ，则 ∠D= °
18．（2022·连云港）如图， AB 是 ⊙O 的直径， AC 是 ⊙O 的切线， A 为切点，连接 BC ，与 ⊙O 交于点 D ，连接 OD .若 ∠AOD=82° ，则 ∠C= ° .
19．（2022九下·沭阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A（－1，0），点B（1，0），点M（3，4），以M为圆心，2为半径作⊙M.若点P是⊙M上一个动点，则PA2＋PB2的最大值为
20．（2022·泗洪模拟）如图，大圆的弦AB切小圆于点C，且大圆的半径为5cm，小圆的半径为3cm，则弦AB的长为 cm.
三、综合题
21．（2022·徐州）如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC=60°，直线AD∥BC，AB=AD，点O在BD上．
（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
22．（2022·镇江）操作探究题
（1）已知AC是半圆O的直径，∠AOB=(180n)°（n是正整数，且n不是3的倍数）是半圆O的一个圆心角．
操作：如图1，分别将半圆O的圆心角∠AOB=(180n)°（n取1、4、5、10）所对的弧三等分（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
交流：当n=11时，可以仅用圆规将半圆O的圆心角∠AOB=(180n)°所对的弧三等分吗？
探究：你认为当n满足什么条件时，就可以仅用圆规将半圆O的圆心角∠AOB=(180n)°所对的弧三等分？说说你的理由．
（2）如图2，⊙o的圆周角∠PMQ=(2707)°．为了将这个圆的圆周14等分，请作出它的一条14等分弧CD（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
23．（2022·南通）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径，AC平分∠BAD，CD=22，点E在BC的延长线上，连接DE．
（1）求直径BD的长；
（2）若BE=52，计算图中阴影部分的面积．
24．（2022·无锡）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE.
（1）求证 △CED∽△BAD ；
（2）当 DC=2AD 时，求CE的长.
25．（2022·泗洪模拟）定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形.
（1）选择：下列四边形中，一定是圆美四边形的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
（2）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=1，经过点A，B的⊙O交AC边于点D，交BC于点E，连接DE，若四边形ABED为圆美四边形，求DE的长；
（3）如图2，AD是△ABC外接圆⊙O的直径，交BC于点E，点P在AD上，延长BP交⊙O于点F，已知PB2=PE⋅PA.问四边形ABFC是圆美四边形吗？为什么？
26．（2022·宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、M均为格点.
（1）【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB、CD，相交于点P并给出部分说理过程，请你补充完整：
解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE.
在Rt△ABC中，tan∠BAC=12
在Rt△CDE中， ，
所以tan∠BAC=tan∠DCE.
所以∠BAC=∠DCE.
因为∠ACP+∠DCE =∠ACB =90°，
所以∠ACP +∠BAC =90°，
所以∠APC =90°，
即AB⊥CD.
（2）【拓展应用】如图②是以格点O为圆心，AB为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在BM上找出一点P，使PM=AM，写出作法，并给出证明：
（3）【拓展应用】如图③是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦AB上找出一点P.使AM2=AP·AB，写出作法，不用证明.
27．（2022·连云港）如图
【问题情境】
在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放.其中 ∠ACB=∠DEB=90° ， ∠B=30° ， BE=AC=3 .
【问题探究】
小昕同学将三角板 DEB 绕点 B 按顺时针方向旋转.
（1）如图2，当点 E 落在边 AB 上时，延长 DE 交 BC 于点 F ，求 BF 的长.
（2）若点 C 、 E 、 D 在同一条直线上，求点 D 到直线 BC 的距离.
（3）连接 DC ，取 DC 的中点 G ，三角板 DEB 由初始位置（图1），旋转到点 C 、 B 、 D 首次在同一条直线上（如图3），求点 G 所经过的路径长.
（4）如图4， G 为 DC 的中点，则在旋转过程中，点 G 到直线 AB 的距离的最大值是 .
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠ODA，
∴OD∥AE，
∴AE⊥DE，故选项A、B都正确；
∵∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，
∴∠BOD=2∠OAD=50°，故选项D正确；
如图：
过点D作DF⊥AB于点F
∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，DF⊥AB，
∴DE=DF
【分析】根据切线的性质可得OD⊥DE，根据等腰三角形的性质得∠OAD=∠ODA，根据角平分线的概念得∠OAD=∠EAD，则∠EAD=∠ODA，推出OD∥AE，据此判断A、B；根据等腰三角形的性质以及角平分线概念得∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，由圆周角定理得∠BOD=2∠OAD=50°，据此判断D；根据角平分线的性质可得DE=DF，据此判断C.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= 32+42 =5，
以直线AC为轴，把△ABC旋转一周得到的圆锥的侧面积= 12 ×2π×4×5=20π.
故答案为：C.
【分析】首先利用勾股定理求出AB的值，然后根据S圆锥的侧面积=12×2π·BC·AB进行计算.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：由图可知，总面积为：5×6=30， OB=32+12=10 ，
∴阴影部分面积为： 90·π×10360=5π2 ，
∴飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是 5π230=π12 .
故答案为：A.
【分析】首先求出长方形网格的面积，利用勾股定理求出OB，结合扇形的面积公式求出阴影部分的面积，然后用扇形的面积除以整个矩形的面积进行计算.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA、OB，再过点O作OC⊥AB，
由题意得A、B分别为圆的十二等分点，
∴∠AOB=212×360°=60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝2，
∴S阴影=S扇OAB-S△AOB=60·π·22360-12×2×3=2π3-3.
故答案为：B.
【分析】如图所示，连接OA、OB，再过点O作OC⊥AB，由题意得A、B分别为圆的十二等分点，可求得∠AOB=60°，从而推出△AOB为等边三角形，即得AB＝OA＝OB＝2，再分别计算出扇形OAB和三角形AOB的面积，最后由S阴影=S扇OAB-S△AOB代入数据计算即可求解.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：设这个圆锥的底面半径为rcm，根据题意得
2πr=240π×9180，解得r=6，
所以这个圆锥的底面半径长为6cm.
故答案为：A.
【分析】设这个圆锥的底面半径为rcm，根据圆锥底面圆的周长为侧面展开扇形的弧长，结合圆的周长公式以及弧长公式进行计算即可.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：A、三角形内心到三角形三条边的距离相等，并不是到三个顶点的距离相等，故符合题意；
B、三角形的内心是三个内角的角平分线的交点，所以P在△ABC的内部，故不符合题意；
C、三角形的内心是三个内角的角平分线的交点，故不符合题意；
D、三角形内心到三角形三条边的距离相等，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】三角形的内心是三个内角的角平分线的交点，内心到三角形三条边的距离相等，据此判断.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧，故A选项是假命题；
如果|a|=1，那么a=±1，故B选项是假命题；
根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等，故C选项是真命题；
如果x＞y，那么－2x＜－2y，故D选项是假命题.
故答案为：C.
【分析】在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧，依此判断A；绝对值就是数轴上的点所表示的数，离开原点的距离，据此判断B；根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等，判断C；不等式的两边同时除以一个负数，不等号的方向改变，据此判断D.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：当点P运动到AB的延长线上时，即如图中点P1，C1 是AP1的中点，
当点P在线段AB上时， C2是中点，取C1C2的中点为D，
点C的运动路径是以D为圆心，以DC1为半径的圆，（CA： PA=1 ： 2 ，则点C轨迹和点P轨迹相似，所以点C的轨迹就是圆) ， 当O、C、D共线时， OC的长最小，设线段AB交⊙B于Q，
RtΔAOB中，OA=3，OB=3，
∴AB=32.
∵⊙B半径为2，
∴BP1=2，AP1=32+2，
∵C1是AP1的中点，
∴AC1=322+1，AQ=32-2，
∵C2是AQ的中点，
∴AC2=C2Q=322-1，
C1C2=322+1-(322-1)=2，
即⊙D半径为1，
∵AD=322-1+1=322=12AB，
∴OD=12AB=322，
∴OC=322-1.
故答案为：D.
【分析】当点P运动到AB的延长线上时，即如图中点P1，C1 是AP1的中点，当点P在线段AB上时，当点P在线段AB上时， C2是中点，取C1C2的中点为D，确定出点C的运动路径是以D为圆心，以DC1为半径的圆，当O、C、D共线时， OC的长最小，先求⊙D的半径，说明D是AB的中点，设线段AB交⊙B于Q，根据直角三角形斜边中线是斜边中线的性质求出OD长，则可求出OC的最小值.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：∵圆锥底面半径为3cm，母线长为4cm，
∴圆锥的侧面积为π×3×4=12πcm2.
故答案为：C.
【分析】利用圆锥的侧面积等于πRr（R是展开扇形的半径，r是底面圆的半径），代入计算可求解.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接OP，作过点P作PE⊥x轴于点E，
∵点P和点A关于点C对称，点C的运动轨迹是以点B为圆心，半径为1的圆，
∴点P的运动轨迹是以O为圆心，以AO为半径的圆.
∵当点C在⊙B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y=kx－3k（k＞0）有且只有一个公共点，直线y=kx－3k（k＞0）过定点D(3，0)，
∴OP⊥PD，
∴∠OPD=90°，
在Rt△OPD中，OP=OA=2，OD=3，
由勾股定理得：PD= OD2-OP2 = 5
由等积法，可得：OD•PE=OP•PD，
即：3×PE=2× 5 ，
解得：PE= 253
在Rt△OPE中，OE= OP2-PE2 = 43
∴点P的坐标为( 43 ， -253 )
把点P的坐标代入y=kx－3k，得： -253=43k-3k ，
解得：k= 255 .
故答案为：C.
【分析】连接OP，作过点P作PE⊥x轴于点E，由题意可得：点P的运动轨迹是以O为圆心，AO为半径的圆，直线y=kx-3k（k＞0）过定点D(3，0)，利用勾股定理可得PD，根据△OPD的面积公式可得PE，然后利用勾股定理求出OE，进而可得点P的坐标，接下来将点P的坐标代入y=kx-3k中进行计算就可得到k的值.
11．【答案】A
【解析】【解答】解：过B作直径BD，连接AD，
∵BD为直径，
∴∠BAD＝90°，
∵∠D＝∠C，
∴sinD＝sinC＝ ABBD=35，
∵AB＝6，
∴BD＝10，
∴⊙O的半径为5.
故答案为：A.
【分析】过B作直径BD，连接AD，根据圆周角定理可得∠BAD＝90°，∠D＝∠C，然后根据正弦函数的概念可得BD的值，进而可得半径.
12．【答案】72°
【解析】【解答】解：∵∠ACB=12∠AOB，∠ACB=36°，
∴∠AOB=2×∠ACB=72°．
故答案为：72°．
【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠AOB=2∠ACB，据此计算.
13．【答案】π3
【解析】【解答】解：∵AB=2BC=2，
∴BC=1，
∵矩形ABCD中，
∴AD=BC=1，∠D=∠DAB=90°，
由旋转可知AB=AB'，
∵AB=2BC=2，
∴AB'=AB=2，
∵cos∠DAB'=ADAB'=12，
∴∠DAB'=60°，
∴∠BAB'=30°，
∴线段AB扫过的面积=30°×π×22360°=π3.
故答案为：π3.
【分析】根据已知条件可得BC=1，根据矩形的性质可得AD=BC=1，∠D=∠DAB=90°，由旋转的性质可得AB=AB′=2，求出cos∠DAB′的值，得到∠DAB′、∠BAB′的度数，然后结合扇形的面积公式进行计算.
14．【答案】35
【解析】【解答】解：如图，连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE．
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∴∠E+∠BAE=90°，
∵AD为⊙O的切线，
∴∠DAE=90°，
∴∠BAE+∠BAD=90°，
∴∠E=∠BAD=35°，
∴∠C=∠E=35°．
故答案为：35.
【分析】连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，根据圆周角定理可得∠C=∠E，∠ABE=90°，根据切线的性质可得∠DAE=90°，由同角的余角相等可得∠E=∠BAD=35°，据此解答.
15．【答案】1
【解析】【解答】解：连接OA、OC，
∵∠ABC=45°，
∴∠AOC=2∠ABC=90°，
∴OA2+OC2=AC2，即2OA2=2，
解得：OA=1，
故答案为：1.
【分析】连接OA、OC，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠AOC=2∠ABC=90°，然后利用勾股定理进行计算即可.
16．【答案】32
【解析】【解答】解：连接OA，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠PAO=90°，
∴∠O=90°-∠P，
∵∠P=26°，
∴∠O=64°，
∴∠C=12∠O=32°.
故答案为：32.
【分析】连接OA，根据切线的性质可得∠PAO=90°，则根据三角形的内角和求出∠O的度数，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求出∠C的度数.
17．【答案】62
【解析】【解答】解：连接 BD ，
∵AB是 ⊙O 的直径，
∴∠ADB=90° ，
∵CB=CB ，
∴∠BAC=∠BDC=28° ，
∴∠ADC=90°-∠BDC=62°
故答案为：62.
【分析】连接BD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，∠BAC=∠BDC=28°，然后根据∠ADC=∠ADB-∠BDC进行计算.
18．【答案】49
【解析】【解答】解：∵AB是直径，AC是切线，
∴∠A=90°，
∵∠AOD=82°，
∴∠B=41°，
∴∠C=90°-41°=49°.
故答案为：49.
【分析】根据切线的性质得出∠A=90°，根据圆周角定理得出∠B=12∠AOD=41°，即可得出∠C=90°-41°=49°.
19．【答案】100
【解析】【解答】解：设P（x，y），
∵PA2＝（x＋1）2＋y2，PB2＝（x−1）2＋y2，
∴PA2＋PB2＝2x2＋2y2＋2＝2（x2＋y2）＋2，
∵OP2＝x2＋y2，
∴PA2＋PB2＝2OP2＋2，
当点P处于OM与圆的交点P'处时，OP取得最大值，如图，
∴OP的最大值为OP'＝OM＋P'M＝42+32＋2＝7，
∴PA2＋PB2最大值为2×72＋2＝100.
故答案为：100.
【分析】设P（x，y），根据两点间距离公式表示出PA2、PB2，结合OP2＝x2＋y2可得PA2＋PB2＝2OP2＋2，当点P处于OM与圆的交点P'处时，OP取得最大值，最大值为OP'＝OM＋P'M，据此计算.
20．【答案】8
【解析】【解答】解：连接OA，OC，
∵AB与小圆相切，
∴OC⊥AB，
∴C为AB的中点，即AC＝BC=12AB，
在Rt△AOC中，OA＝5cm，OC＝3cm，
根据勾股定理得：AC=OA2-OC2=4cm，
则AB＝2AC＝8cm.
故答案为：8.
【分析】连接OA，OC，根据切线的性质可得OC⊥AB，根据垂径定理可得AC＝BC=12AB，利用勾股定理求出AC，进而可得AB.
21．【答案】（1）解：直线AD与圆O相切，理由如下：
如图，连接OA，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠DBC，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABD，
∵∠ABC=60°，
∴∠DBC=∠ABD=∠D=30°，
∴∠BAD=120°，
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠ABD=30°，
∴∠OAD=90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是圆的半径，
∴直线AD与园O相切，
（2）解：如图，连接OC，作OH⊥BC于H，
∵OB=OC=6，
∴∠OCB=∠OBC=30°，
∴∠BOC=120°，
∴OH=12OB=3，
∴BH=BO2-OH2=33，
∴BC=2BH=63，
∴扇形BOC的面积为120×62×π360=12π，
∵SΔOBC=12BC⋅OH=12×63×3=93，
∴阴影部分的面积为S扇形BOC-S△BOC=12π-93．
【解析】【分析】（1）连接OA，根据平行线的性质得∠D=∠DBC，根据等腰三角形的性质得∠D=∠ABD，则∠DBC=∠ABD=∠D=30°，∠BAO=∠ABD=30°，推出∠OAD=90°，据此证明；
（2）连接OC，作OH⊥BC于H，由等腰三角形的性质“等边对等角”得∠OCB=∠OBC=30°，则∠BOC=120°，OH=12OB=3，利用勾股定理可得BH，由垂径定理可得BC=2BH，然后根据S阴影=S扇形BOC-S△BOC进行计算.
22．【答案】（1）解：操作：
交流： 60°-9×(18028)°=(6028)° ，或 19×(18028)°-2×60°=(6028)° ；
探究：设 60°-k(180n)°=(60n)° ，解得 n=3k+1 （ k 为非负整数）．
或设 k(180n)°-60°=(60n)° ，解得 n=3k-1 （ k 为正整数）．
所以对于正整数 n （ n 不是3的倍数），都可以仅用圆规将半圆 O 的圆心角 ∠AOB=(180n)° 所对的弧三等分；
（2）解：如图
【解析】【分析】（1）操作：分别构造60°弧、15°弧、12°弧、6°弧即可解决问题；
交流：当n=28时，三者之间的数量关系为60°-9×(18028)°=(6028)°；
探究：设 60°-k(180n)°=(60n)° 或设k(180n)°-60°=(60n)°，用含k的式子表示出n即可；
（2）以P为端点，用半径去截圆，与圆交于一点，再以该点为端点，重复上述步骤，得到点D，以Q为圆心，QP为半径画弧，与圆交于一点C，则弧CD即为所作.
23．【答案】（1）解：解：（1）∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝∠DCE＝90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC=45°，
∴BC⏜=DC⏜，
∴BC=DC=22，
∴BD=CDsin45°=2222=4.
答：直径BD的长为4.
（2）解：∵在圆O中，BC⏜=DC⏜，
∴弓形BC的面积等于弓形DC的面积，
∴阴影部分的面积等于△DCE的面积
∵CE=BE-BC=52-22=32，
∴S阴影部分=S△DCE=12CD·CE=12×32×22=6.
答：阴影部分的面积为6.
【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠BCD＝∠DCE＝90°，利用角平分线的定义可证得∠BAC＝∠DAC=45°，利用圆周角定理可推出BC=DC；再利用解直角三角形求出BD的长.
（2）利用在圆O中，BC⏜=DC⏜，可证得阴影部分的面积等于△DCE的面积；再求出CE的长；然后利用三角形的面积公式求出阴影部分的面积.
24．【答案】（1）证明：∵BC 所对的圆周角是 ∠A，∠E ，
∴∠A=∠E ，
又 ∠BDA=∠CDE ，
∴△CED∽△BAD
（2）解：∵△ ABC 是等边三角形，
∴AC=AB=BC=6
∵DC=2AD ，
∴AC=3AD，
∴AD=2，DC=4，
∵ΔCED~ΔBAD，
∴ADDE=BDCD=ABCE ，
∴2DE=BD4，
∴BD⋅DE=8；
连接 AE， 如图，
∵AB=BC，
∴AB=BC
∴∠ BAC=∠BEA，
又∠ ABD=∠EBA ，
∴△ ABD~ΔEBA，
∴ABBE=PDAB ，
∴AB2=BD⋅BE=BD⋅(BD+DE)=BD2+BD⋅DE，
∴62=BD2+8 ，
∴BD=27 （负值舍去）
∴6CE=274 ，
解得， CE=1277
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得∠A=∠E，由对顶角的性质可得∠BDA=∠CDE，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）根据等边三角形的性质得AC=AB=BC=6，结合已知条件可得AC=3AD，则AD=2，DC=4，然后根据相似三角形的性质可得BD·DE=8，连接AE，由圆周角定理可得∠BAC=∠BEA，证明△ABD∽△EBA，根据相似三角形的性质可得BD、CE的值.
25．【答案】（1）D
（2）解：连接AE，BD，
∵等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴BD是⊙O的直径，∠BED=∠BAD =90°，
∵AC=AB=1，
∴BC=AB2+AC2=2，∠C=12(180°-∠BAC)=45°，
∵四边形ABED为圆美四边形，
∴BD⊥AE，
∴AD=ED，
∴AD=ED，
∵BD=BD，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），
∴BE=AB=1，
∴CE=BC-BE= 2-1，
∵∠CED=180°-∠BED=90°，
∴∠CDE=90°-∠C=45°，
∴DE=CE=2-1；
（3）解：四边形ABFC是圆美四边形，理由：
连接BD，AF，设AF与BC交点为G，
则∠ACB=∠ADB，∠CAF=∠CBF，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴∠BAD+∠ADB=90°，
∵PB2=PE⋅PA，
∴PBPA=PEPB，
∵∠APB=∠BPE，
∴△APB∽△BPE，
∴∠BAD=∠CBF，
∴∠CAF=∠BAD，
∴∠ACB+∠CAF=∠ADB+∠BAD=90°，
∴∠AGC=180-（∠ACB+∠CAF）=90°，
∴AF⊥BC，
∴四边形ABFC是圆美四边形.
【解析】【解答】解：（1）∵圆美四边形满足对角互补，对角线互相垂直两个条件，
∴正方形是圆美四边形，
故答案为：D；
【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补可排除A、C，根据对角线互相垂直排除B，从而即可得出答案；
（2） 连接AE，BD，先判断出∠BED=∠BAD =90°， 根据等腰直角三角形的性质求出BC=2，∠C=45°，由圆美四边形可得BD⊥AE， 由垂径定理及弧、弦、圆心角的关系可得AD=ED，证明Rt△ABD≌Rt△EBD，可得BE=AB=1，从而求出CE=BC-BE= 2-1， 再根据等腰直角三角形，可得DE的长；
（3）四边形ABFC是圆美四边形，理由：连接BD，AF，设AF与BC交点为G，证明△APB∽△BPE，可得∠BAD=∠CBF，从而求出∠AGC=90°，根据圆美四边形的定义即证.
26．【答案】（1）tan∠DCE=12
（2）解：如图中，点P即为所求，
作法：取个点T，连接AT交⊙O于点P，点P即为所求；
证明：由作图可知，OM⊥AP，OM是半径，
∴PM=AM.
（3）解：如图中，点P即为所求，
作法：取各店J、K，连接JK交AB于点P，点P即为所求。
【解析】【解答】解：【操作探究】在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE.
在Rt△ABC中，tan∠BAC=12
在Rt△CDE中，tan∠DCE=12，
所以tan∠BAC=tan∠DCE.
所以∠BAC=∠DCE.
因为∠ACP ∠DCE =∠ACB =90°，
所以∠ACP +∠BAC =90°，
所以∠APC =90°，
即AB⊥CD.
故答案为：tan∠DCE=12；
【分析】（1）在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE，利用三角函数的概念求出tan∠BAC、tan∠DCE的值，得到∠BAC=∠DCE，结合∠ACP+∠DCE=∠ACB=90°可得∠ACP +∠BAC=90°，利用内角和定理可得∠APC =90°，据此解答；
（2）取格点T，连接AT交⊙O于点P，点P即为所求，由作图可知：OM⊥AP，OM是半径，则PM=AM；
（3）取各店J、K，连接JK交AB于点P，由圆周角定理可得∠APM=∠ABM，又∠MAP=∠MAB，则△MAP∽△MAB，则AM2=AP·AB.
27．【答案】（1）解：由题意得，∠BEF=∠BED=90°，
∵在Rt△BEF中，∠ABC=30°，BE=3，cos∠ABC=BEBF，
∴BF=BEcos∠ABC=3cos30°=23.
（2）解：①当点E在BC上方时，
如图一，过点D作DH⊥BC于点H，
在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=3，
∴tan∠ABC=ACBC，
∴BC=ACtan∠ABC=3tan30°=33，
在△BDE中，∠DEB=90°，∠DBE=∠ABC=30°，BE=3，tan∠DBE=DEBE，
∴DE=BE⋅tan30°=3，
∵点C、E、D在同一直线上，且∠DEB=90°，
∴∠CEB=180°-∠DEB=90°，
在△CBE中，∠CEB=90°，BC=33，BE=3，
∴CE=BC2-BE2=32，
∴CD=CE+DE=32+3，
∵S△BCD=12CD⋅BE=12BC⋅DH，
∴DH=CD⋅BEBC=6+1；
②当点E在BC下方时，
如图二，过点D作DM⊥BC于点M，
∵∠CEB=90°，BE=3，BC=33，
∴CE=BC2-BE2=32，
∴CD=CE-DE=32-3，
∵S△BDC=12BC⋅DM=12CD⋅BE，
∴DM=6-1，
综上，点D到直线BC的距离为6+1或6-1.
（3）解：如图三，取BC的中点O，连接GO，则GO=12BD=3，
∴点G在以O为圆心，3为半径的圆上，
当三角板DEB绕点B顺时针由初始位置旋转到点C、B、D首次在同一条直线上时，
点G所经过的轨迹为150°所对的圆弧，
∴点G所经过的路径长=150360×2π×3=536π.
（4）734
【解析】【解答】解：（4）如图四，过点O作OK⊥AB于K，
∵点O为BC中点，BC=33，
∴OB=12BC=332，
在Rt△OKB中，∠KBO=30°，
∴OK=332×12=334，
由（3）可知：点G在以O为圆心，3为半径的圆上，
∴点G到直线AB的距离最大值=3+334=734.
故答案为：734.
【分析】（1）在Rt△BEF中，有∠ABC=30°，BE=3，根据30°角的余弦即可求得BF的长；
（2）分两种情况：①当点E在BC上方，如图一过点D作DH⊥BC于点H，解直角三角形得BC=33，DE=BE⋅tan30°=3，由勾股定理求得CE=32，从而得CD=32+3，再由三角形BCD的面积得DH=CD⋅BEBC，代入数据计算即可；②当点E在BC下方时，如图二，过点D作DM⊥BC于点M，由勾股定理求得CE=32，则CD=32-3，同理由三角形BCD的面积得DH=CD⋅BEBC，代入数据计算即可；
（3）如图三，取BC的中点O，连接GO，则GO=12BD=3，则点G在以O为圆心，3为半径的圆上，当三角板DEB绕点B顺时针由初始位置旋转到点C、B、D首次在同一条直线上时，点G所经过的轨迹为150°所对的圆弧，最后由弧长计算公式代入数据即可求解；
（4）如图四，过点O作OK⊥AB于K，由点O为BC中点，BC=33，求得OB=12BC=332，解直角三角形可求得OK=334，由（3）可知：点G在以O为圆心，3为半径的圆上，即得点G到直线AB的距离最大值
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