2021学年第16章 二次根式综合与测试课后测评

2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【沪科版】

专题16.7二次根式的应用及材料分析问题大题专练（重难点培优）

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，解答24道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、解答题（本大题共24小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

1．在一个边长为的正方形内部挖去一个边长为的正方形（如图所示），求剩余部分的面积．

2．（2021•花溪区模拟）小莉在如图所示的矩形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，请你帮她求出图中空白部分的面积．

3．（2021春•临潼区期末）现有一块长，宽的长方形木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是和的正方形木板？

4．（2020春•玄武区期中）数学阅读：

古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：若一个三角形的三边长分别为、、，则这个三角形的面积为，其中，这个公式称为“海伦公式”．

数学应用：

如图，在中，已知，，．

（1）请运用海伦公式求的面积；

（2）设边上的高为，边上的高，求的值．

5．（2020秋•太原期中）海啸是一种破坏力极强的海浪，由海底地震、火山爆发等引起，在广阔的海面上，海啸的行进速度可按公式计算，其中表示海啸的速度，为海水的深度，表示重力加速度．若在海洋深度处发生海啸，求其行进速度．

6．（2020秋•南安市期中）如果一个三角形的三边长分别为、、，记，那么这个三角形的面积，这个公式叫“海伦公式”．若，，，利用以上公式求三角形的面积．

7．（2021春•扬州期末）有一块矩形木块，木工采用如图方式，求木板上截出两个面积分别为和的正方形木板，求剩余木料的面积．

8．（2019秋•会同县期末）已知长方形的长，宽．

（1）求长方形的周长；

（2）求与长方形等面积的正方形的周长，并比较与长方形周长的大小关系．

9．（2020春•瑶海区期末）著名数学家斐波那契曾研究一列数，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列的一列数称为数列），这个数列的第个数为为正整数），例如这个数列的第8个数可以表示为．根据以上材料，写出并计算：

（1）这个数列的第1个数；

（2）这个数列的第2个数．

10．（2021秋•南岸区校级期中）某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为米，宽为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为米，宽为米．

（1）长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）

（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）

11．（2018春•福清市期末）我国南宋时期数学家秦九韶及古希腊的几何学家海伦对于问题：“已知三角形的三边，如何求三角形的面积”进行了研究，并得到了海伦秦九韶公式：如果一个三角形的三条边分别为，，，记，那么三角形的面积为，请用此公式求解：在中，，，，求的面积．

12．（2020秋•新都区期末）设一个三角形的三边分别为，，，，则有下列面积公式：（海伦公式）；（秦九韶公式）．

（1）一个三角形的三边长依次为3，5，6，任选以上一个公式求这个三角形的面积；

（2）一个三角形的三边长依次为，，，任选以上一个公式求这个三角形的面积．

13．（2019秋•二道区期末）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．

（1）求剩余木料的面积．

（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出　　块这样的木条．

14．（2020春•越城区校级月考）点是平面直角坐标系中的一点，点为轴上的一点．

（1）用二次根式表示点与点的距离；

（2）当，时，连接、，求；

（3）若点位于第二象限，且满足函数表达式，求的值．

15．（2019春•西湖区校级月考）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．

设（其中、、、均为正整数），则有，，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．

请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：

（1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得：　　，　　．

（2）利用所探索的结论，找一组正整数、、、填空：　　　　　　　　；

（3）化简

16．（2021秋•罗湖区校级期中）在解决问题：“已知，求的值”．

，

，

，

，

．

请你根据小明的解答过程，解决下列问题：

（1）化简：；

（2）若，求的值．

17．（2018秋•丰台区校级期中）观察下列等式：

第1个等式：，

第2个等式：，

第3个等式：，

第4个等式：，

按上述规律，回答以下问题：

（1）请写出第个等式：　　；

（2）　　．

18．（2019春•沭阳县期末）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：

设（其中、、、均为整数），则有：，，，这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、得：　　，　　；

（2）利用所探索的结论，用完全平方式表示出：　　．

（3）请化简：

19．（2020春•惠城区期末）观察下列各式及其验算过程：

，验证：；

，验证：．

（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证．

（2）针对上述各式反映的规律，写出用为大于1的整数）表示的等式并给予验证．

20．观察下列各式及验证过程：

验证：

验证：

（1）通过对上述两个等式及其验证过程的分析研究，你发现了什么规律？并证明你的发现．

（2）自己想一个数，验证你的发现．

21．（2019春•芜湖期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一式子的平方，如，然后小明以进行了以下探索：设（其中，，，均为整数），则有，所以，，这样小明找到了一种类似的式子化为平方式的方法．

请仿照小明的方法探索解决下列问题：

（1）当，，，均为整数时，若，则　　，　　；

（2）请找一组正整数，填空：　　　　　　　　；

（3）若，且，，均为正整数，求的值．

22．（2021春•遂溪县期末）阅读下列解题过程：；请回答下列问题：

（1）观察上面的解题过程，化简：①②

（2）利用上面提供的解法，请计算：．

23．（2020秋•渝中区校级月考）先阅读，再解答问题：

恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法．利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．

例如：当时，求的值．

为解答这道题，若直接把代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．

方法：将条件变形，因，得，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．

由，可得，即，．

原式．

请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：

（1）若，求的值；

（2）已知，求的值．

24．（2018秋•吴江区期中）阅读材料：

黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．

在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．

解决问题：

（1）的有理化因式可以是　　，分母有理化得　　．

（2）计算：

①已知，求的值；

②．