数学八年级下册第17章 一元二次方程综合与测试当堂达标检测题

2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【沪科版】

专题17.8一元二次方程的应用：传播与比赛问题（重难点培优）

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2021•苏州模拟）有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242个人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则x满足的方程是（　　）

A．（1+x）2＝242 B．（2+x）2＝242 

C．2（1+x）2＝242 D．（1+2x）2＝242

【分析】根据经过两轮传染后患病的人数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解析】依题意得：2（1+x）2＝242．

故选：C．

2．2019年12月以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病，感染者的临床表现为：以发热、乏力、干咳为主要表现．在“新冠”初期，有1人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有144人感染了“新冠”（这两轮感染因为人们不了解病毒而均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了（　　）

A．10人 B．11人 C．12人 D．13人

【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据经过两轮传染后感染“新冠”的人数＝开始时后感染“新冠”的人数×（1+每轮传染中平均一个人传染的人数）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出每轮传染中平均一个人传染了11人．

【解析】设每轮传染中平均一个人传染了x人，

依题意得：（1+x）2＝144，

解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．

故选：B．

3．（2021秋•沈河区期末）在一次篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要赛一场，共赛45场，设共有x个队参赛、根据题意可列方程为（　　）

A．45 B．x（x﹣1）＝45 C．45 D．x（x+1）＝45

【分析】利用比赛的总场次数＝参赛队伍数量×（参赛队伍数量﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解析】依题意得：45．

故选：A．

4．（2021•庐阳区校级模拟）每年春秋季节，流感盛行，极具传染性．如果一人得流感，不加干预，经过两轮后共有81人得流感，则每人每轮平均会感染几人？设每人每轮平均感染x人，则下列方程正确的是（　　）

A．（x+1）2＝81 B．1+x+x2＝81 

C．1+x+（x+1）2＝81 D．1+（x+1）+（1+x）2＝81

【分析】设每人每轮平均感染x人，根据经过两轮后共有81人得流感，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解析】设每人每轮平均感染x人，

∵1人患流感，一个人传染x人，

∴第一轮传染x人，此时患病总人数为1+x；

∴第二轮传染的人数为（1+x）x，此时患病总人数为1+x+（1+x）x＝（1+x）2，

∵经过两轮后共有81人得流感，

∴可列方程为：（1+x）2＝81．

故选：A．

5．（2021秋•台州期中）演讲比赛前，每个同学都与其他同学握手一次，表示问好，如果有x名同学参加演讲，握手总次数为435次，根据题意，求人数x可列出方程为（　　）

A．x（x﹣1）＝435 B．x（x+1）＝435 

C．2x（x+1）＝435 D．435

【分析】这x位同学，每位同学都要与除自己之外的（x﹣1）名同学握手一次，共握手x（x﹣1）次，由于两人握手是相互的，应只算一次，所以去掉重复的次数，共握手x（x﹣1）÷2次，据此可得方程．

【解析】设九年级（1）班有x名同学，

根据题意列出的方程是435，

故选：D．

6．（2021秋•台州期中）某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到1640个红包，设群内共有x个人，根据题意可列方程（　　）

A．x（x﹣1）＝1640 B．x（x+1）＝1640 

C．1640 D．1640

【分析】设该群一共有x人，则每人收到（x﹣1）个红包，根据群内所有人共收到1640个红包，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【解析】设该群一共有x人，则每人收到（x﹣1）个红包，

依题意，得：x（x﹣1）＝1640，

故选：A．

7．（2021春•河西区期末）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，每两队之间都赛一场，计划安排21场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　）

A．x（x+1）＝21 B．x（x﹣1）＝21 

C．x（x+1）＝21 D．x（x﹣1）＝21

【分析】根据题意可知，这是一道典型的单循环比赛，然后根据计划安排21场比赛，即可得到x（x﹣1）＝21，从而可以解答本题．

【解析】由题意可得，

x（x﹣1）＝21，

故选：B．

8．（2021春•镇海区期末）学校初二年级组织足球联赛，赛制为单循环制（每两个队之间比赛一场）．共进行了28场比赛，问初二年级有几个参赛班级？设初二年级有x个班级参加比赛．根据题意列出方程正确的是（　　）

A．x2＝28 B．x（x﹣1）＝28 

C．x2＝28 D．x（x﹣1）＝28

【分析】设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），则此次比赛的总场数为：x（x﹣1）场．根据题意可知：此次比赛的总场数＝28场，依此等量关系列出方程．

【解析】设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为：x（x﹣1）场，

根据题意列出方程得：x（x﹣1）＝28，

故选：B．

9．（2019秋•松江区期末）过元旦了，全班同学每两人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x名同学，列方程为（　　）

A． B．x（x﹣1）＝380 

C．2x（x﹣1）＝380 D．x（x+1）＝380

【分析】设该班级共有同学x名，每个人要发（x﹣1）条短信，根据题意可得等量关系：人数×每个人所发的短信数量＝总短信数量．

【解析】设全班有x名同学，由题意得：

x（x﹣1）＝380，

故选：B．

10．（2020秋•东海县期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干、小分支的总数是91．设每个支干长出x个分支，则可列方程为（　　）

A．x2+x+1＝91 B．（x+1）2＝91 C．x2+x＝91 D．x2+1＝91

【分析】由题意设每个支干长出x个小分支，因为主干长出x个（同样数目）支干，则又长出x2个小分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程．

【解析】设每个支干长出x个小分支，

根据题意列方程得：x2+x+1＝91．

故选：A．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2021秋•椒江区校级期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样多数目的小分支，主干、支干、小分支一共是43个，则每个支干长出的小分支数目为 　6　．

【分析】由题意设每个支干长出的小分支的数目是x个，每个小分支又长出x个分支，则又长出x2个分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程求得x的值．

【解析】设每个支干长出的小分支的数目是x个，

根据题意列方程得：x2+x+1＝43，

解得：x＝6或x＝﹣7（不合题意，应舍去）；

∴x＝6；

故答案为：6．

12．（2021秋•仙居县期中）有x支球队参加篮球比赛，共比赛21场，每两个队之间只比赛一场，则关于x的方程是 　x（x﹣1）＝21　．

【分析】有x支球队参加篮球比赛，由于每两队之间都比赛一场，则此次比赛的总场数为：x（x﹣1）场．根据题意可知：此次比赛的总场数＝21场，依此等量关系列出方程即可．

【解析】有x支球队参加篮球比赛，则此次比赛的总场数为x（x﹣1）场，

根据题意列出方程得：x（x﹣1）＝21，

故答案为：x（x﹣1）＝21．

13．（2021•饶平县校级模拟）有一人患了流感，假如平均一个人传染了x个人，经过两轮感染后共有121人患了流感，依题意可列方程为　1+x+x（1+x）＝121或（1+x）2＝121　．

【分析】由于每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，那么经过第一轮后有（1+x）人患了流感，经过第二轮后有[（1+x）+x（1+x）]人患了流感，再根据经过两轮传染后共有121人患了流感即可列出方程．

【解析】依题意，得：1+x+x（1+x）＝121或（1+x）2＝121．

故答案为：1+x+x（1+x）＝121或（1+x）2＝121．

14．（2021秋•武汉期末）某种植物的一个主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数为133，则每个支干长出多少个小分支？设每个支干长出x个小分支，依题意列方程，化成一般式为　x2+x﹣132＝0　．

【分析】根据主干、支干、小分支的总数为133，即可得出关于x的一元二次方程，再将其整理成一般式即可．

【解析】依题意得：1+x+x2＝133，

整理得：x2+x﹣132＝0．

故答案为：x2+x﹣132＝0．

15．（2021春•济宁期末）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛72场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，所列方程为 　x（x﹣1）＝72　．

【分析】设参加比赛的球队有x支，利用比赛的总场次数＝参赛的队伍数×（参赛的队伍数﹣1），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解析】设参加比赛的球队有x支，

依题意得：x（x﹣1）＝72．

故答案为：x（x﹣1）＝72．

16．（2020秋•萍乡期末）在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了90个红包，那么这个微信群共有　10　人．

【分析】设这个微信群共有x人，则每人需发（x﹣1）个红包，根据该微信群共发了90个红包，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【解析】设这个微信群共有x人，则每人需发（x﹣1）个红包，

依题意得：x（x﹣1）＝90，

整理得：x2﹣x﹣90＝0，

解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．

故答案为：10．

17．（2020春•哈尔滨期末）哈尔滨市南岗区中学校组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间比赛一场），计划一共安排21场比赛，设总共x个学校参加比赛，列方程为 　x（x﹣1）＝21　．

【分析】根据赛制为单循环形式且共安排了21场比赛，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解析】依题意，得：x（x﹣1）＝21．

故答案为：x（x﹣1）＝21．

18．（2019秋•抚州期末）九年级8班第一小组x名同学在庆祝2020年新年之际，互送新年贺卡，表达同学间的真诚祝福，全组共送出贺卡30张，则x的值是　6　．

【分析】由8班第一小组共送出贺卡30张，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【解析】依题意，得：x（x﹣1）＝30，

解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去）．

故答案为：6．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2020•揭西县模拟）新冠肺炎疫情在全球蔓延，造成了严重的人员伤亡和经济损失，其中一个原因是新冠肺炎病毒传播速度非常快．一个人如果感染某种病毒，经过了两轮的传播后被感染的总人数将达到64人．

（1）求这种病毒每轮传播中一个人平均感染多少人？

（2）按照上面的传播速度，如果传播得不到控制，经过三轮传播后一共有多少人被感染？

【分析】（1）设一个人平均感染x人，根据经过了两轮的传播后被感染的总人数将达到64人，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）将x＝7代入（x+1）3中即可求出结论．

【解析】（1）解：设一个人平均感染x人，可列方程：

1+x+（1+x）x＝64，

解得：x1＝7，x2＝﹣9（舍去）．

故这种病毒每轮传播中一个人平均感染7人；

（2）（7+1）3＝512（人）

答：经过三轮传播后一共有512人被感染．

20．（2021秋•昭阳区期中）我们知道，传销能扰乱一个地方正常的经济秩序，是国家法律明令禁止的．某非法传销组织现有一名头目计划每人发展若干数目的下线，每个下线再发展同样数目的下线成员．经过两轮发展后，非法传销组织成员共有57人，间每个人计划发展下线多少人？

【分析】设每个人计划发展下线x人，根据经过两轮发展后非法传销组织成员共有57人，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【解析】设每个人计划发展下线x人，

依题意得：1+x+x2＝57，

整理得：x2+x﹣56＝0，

解得：x1＝7，x2＝﹣8（不合题意，舍去）．

答：在每轮发展中平均一个成员发展下线7人．

21．（2021秋•玉田县期中）卫生部疾病控制专家经过调研提出，如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为“超级传播者”．如果某镇有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有144人成为新冠肺炎病毒的携带者．

（1）经过计算，判断最初的这名病毒携带者是“超级传播者”吗？请先写出结论，再说明理由；

（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有多少人成为新冠肺炎病毒的携带者？

【分析】（1）最初的这名病毒携带者是“超级传播者”，设每人每轮传染的人数为x人，则第一轮传染了x人，第二轮传染了x（1+x）人，根据经过两轮传染后共有144人成为新冠肺炎病毒的携带者，即可得出关于x的一元二次方程，解之将其正值与10比较后即可得出结论；

（2）利用经过3轮传染后成为新冠肺炎病毒的携带者的人数＝经过两轮传染后成为新冠肺炎病毒的携带者的人数+经过两轮传染后成为新冠肺炎病毒的携带者的人数×每人每轮传染的人数，即可求出结论．

【解析】（1）最初的这名病毒携带者是“超级传播者”，理由如下：

设每人每轮传染的人数为x人，则第一轮传染了x人，第二轮传染了x（1+x）人，

依题意得：1+x+x（1+x）＝144，

解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．

∵11＞10，

∴最初的这名病毒携带者是“超级传播者”．

（2）144+144×11＝1728（人）．

答：若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有1728人成为新冠肺炎病毒的携带者．

22．（2021秋•罗湖区期中）某市要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛．

（1）应该邀请多少支球队参加比赛？

（2）若某支球队参加3场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛多少场？

【分析】（1）设应该邀请x支球队参加比赛，根据实行单循环赛制共赛了15场，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）利用比赛总场次数＝该球队参加的场次数+剩下5支球队实行单循环赛制比赛的场次数，即可求出结论．

【解析】（1）设应该邀请x支球队参加比赛，

依题意，得：x（x﹣1）＝15，

解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去）．

答：应该邀请6支球队参加比赛．

（2）35×4＝13（场）．

答：实际共比赛13场．

23．（2021秋•清苑区期中）为倡导积极健康的生活方式、丰富居民生活，社区推出系列文化活动．

（1）在系列文化活动中，乒乓球比赛采用单循环赛制（即每两名参赛者之间都要进行一场比赛）经统计，此次乒乓球比赛男子组共要进行28场单打．参加此次乒乓球男子单打比赛的选手有多少名？

（2）在系列文化活动中，社区与某旅行社合作，组织“丰收节”采摘活动，收费标准是：如果人数不超过20人，每人收费200元：如果超过20人，每增加1人，每人费用都减少5元．经统计，社区共支付“采摘活动”费用4500元，求参加此次“丰收节”采摘的人数．

【分析】（1）参加此次乒乓球男子单打比赛的选手有x名，根据题意列方程即可得到结论；

（2）设参加此次“丰收节”采摘的人数为y人，根据题意列方程即可得到结论．

【解析】（1）参加此次乒乓球男子单打比赛的选手有x名，

根据题意得，x（x﹣1）＝28，

解得：x＝8，x＝﹣7（不合题意舍去），

答：参加此次乒乓球男子单打比赛的选手有8名；

（2）设参加此次“丰收节”采摘的人数为y人，

∵4500＞200×20，

∴y＞20．

由题意，得：y[200﹣5（y﹣20）]＝4500，

解得 y1＝y2＝30，

答：参加此次“丰收节”采摘的人数为30人．

24．（2020春•雨花区校级期末）随着全球疫情的爆发，医疗物资的极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题：

（1）求每天增长的百分率；

（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少50万个/天，现该厂要保证每天生产口罩6500万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？

【分析】（1）设每天增长的百分率为x，根据开工第一天及第三天的产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500﹣50m）万件/天，根据每天生产口罩6500万件，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．

【解析】（1）设每天增长的百分率为x，

依题意，得：500（1+x）2＝720，

解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．

答：每天增长的百分率为20%；

（2）设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500﹣50m）万件/天，

依题意，得：（1+m）（1500﹣50m）＝6500，

解得：m1＝4，m2＝25．

又∵在增加产能同时又要节省投入，

∴m＝4．

答：应该增加4条生产线．