沪科版八年级下册第17章 一元二次方程综合与测试课后测评

2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【沪科版】

专题17.9一元二次方程的应用：面积问题（重难点培优）

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020秋•蓬江区期末）如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽米，则可列方程为　　

A． B． 

C． D．

【分析】设道路的宽米，则余下部分可合成长为，宽为的矩形，根据草坪的面积为540平方米，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．

【解析】设道路的宽米，则余下部分可合成长为，宽为的矩形，

依题意得：．

故选：．

2．（2020秋•文昌期末）如图，有一张矩形纸片，长，宽，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是，根据题意可列方程为　　

A． B． 

C． D．

【分析】设剪去的小正方形边长是，则做成的纸盒的底面长为，宽为，根据长方形的面积公式，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．

【解析】设剪去的小正方形边长是，则做成的纸盒的底面长为，宽为，

依题意，得：．

故选：．

3．（2021秋•青山区校级月考）现要在一个长为，宽为的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为，那么小道的宽度应是　　

A．1 B．2 C．2.5 D．3

【分析】设小道的宽度应为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积计算公式，结合种植花草的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．

【解析】设小道的宽度应为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，

依题意得：，

整理，得．

解得，，．

（不合题意，舍去），

．

答：小道进出口的宽度应为2米．

故选：．

4．（2021春•江干区期末）某公司计划用的材料沿墙（可利用）建造一个面积为的仓库，设仓库中和墙平行的一边长为，则下列方程中正确的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】分别表示地处仓库的长和宽，然后根据矩形的面积计算方法列出方程即可．

【解析】设仓库中和墙平行的一边长为，则垂直于墙的边长为，

根据题意得：，

故选：．

5．（2021春•上虞区期末）取一张长与宽之比为的长方形纸板，剪去四个边长为的小正方形（如图），并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒．要使包装盒的容积为（纸板的厚度略去不计），问这张长方形纸板的长与宽分别为多少厘米？

若设这张长方形纸板的长为厘米，则由题意可列出的方程是　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据题意设这张长方形纸板的长为，宽为，进而表示出长方体的底面积，即可表示出长方体体积，进而得出方程．

【解析】设这张长方形纸板的长为，宽为，根据题意可得：

，

故选：．

6．（2021春•香坊区期末）如图，要设计一幅宽，长的图案，其中有两横两竖的彩条，各彩条的宽度相等，如果要使彩条所占面积是图案面积的六分之一．设彩条的宽为，根据题意可列方程　　

A． 

B． 

C． 

D．

【分析】设彩条的宽为，根据要设计一幅宽、长的图案，如果要使彩条所占面积是图案面积的六分之一，可列方程．

【解析】设彩条的宽度是，则

，

故选：．

7．（2021春•上城区校级期中）在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条外框，制成一幅矩形挂图（如图所示），如果要使整个挂图的面积是，设边框的宽为，那么满足的方程是　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据题意表示出矩形挂画的长和宽，再根据长方形的面积公式可得方程．

【解析】设边框的宽为，

所以整个挂画的长为，宽为，

根据题意，得：，

故选：．

8．（2021秋•安溪县期中）在长为，宽为的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度设道路的宽度为，则可列方程　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据余田的面积为468列出方程即可．

【解析】设入口的宽度为，由题意得：

．

故选：．

9．（2018秋•洛阳期末）如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽米．则可列方程为　　

A． B． 

C． D．

【分析】设道路的宽为，利用“道路的面积”作为相等关系可列方程．

【解析】设道路的宽为，根据题意得．

故选：．

10．（2020•平顶山模拟）如图所示，把四个长和宽分别为和的矩形拼接成大正方形．若四个矩形和中间小正方形的面积和为，则根据题意能列出的方程是　　

A． B． C． D．

【分析】根据正方形的面积公式，即可得出关于的一元二次方程，变形后即可得出结论．

【解析】依题意，得：，

即．

故选：．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2021春•岳麓区校级期末）师梅课外生物小组拟定在桃花岭上建立一个实验园地，其形状是长10米、宽6米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为40平方米，求小道的宽．若设小道的宽为米，则可列方程为 　　．（结果化为一般式）

【分析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为40平方米列出方程即可．

【解析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为米，宽为米，

可列方程为，

化简得，，

故答案为：．

12．（2021•商河县校级模拟）有长为的篱笆，如图所示，一面靠墙（墙足够长），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，当花圃的面积是时，则　或　．

【分析】设长为，则长为，根据矩形的面积公式结合花圃的面积是，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．

【解析】设长为，则长为，

根据题意得：，

整理得：，

解得：，．

答：的长或．

故答案是：或．

13．（2020秋•开江县期末）如图，有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相同的人行通道，两块绿地的面积和为．设人行通道的宽度为，根据题意可列方程：　　．

【分析】设人行通道的宽度为，则两块绿地可合成长，宽的矩形，根据两块绿地的面积和为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．

【解析】设人行通道的宽度为，则两块绿地可合成长，宽的矩形，

依题意得：．

故答案为：．

14．（2021春•浦江县期末）把面积为的一张纸分割成如图所示的正方形和长方形两部分，设正方形的边长为，则列出的方程化为一般形式是 　　．

【分析】设正方形的边长为，根据正方形和矩形的面积公式列方程即可．

【解析】设正方形的边长为，

根据题意得，，

化为一般形式是，

故答案为：．

15．（2020秋•兴隆台区期末）如图，在宽为，长为的矩形场地上修建同样宽的三条小路（横向与纵向垂直），其余部分种草坪，假设草坪面积为，求道路宽为多少？设宽为，则列出的方程是　　．

【分析】设宽为，剩下的耕田面积可平移成长方形，且能表示出长和宽，从而根据面积可列出方程．

【解析】设宽为，．

故答案为：．

16．（2021•鹿城区校级开学）如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米．现已知购买这种铁皮每平方米需10元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了 　350　元．

【分析】设此长方体箱子的底面宽为米，则长为米，根据长方体箱子的容积为15立方米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值，进而可得出矩形铁皮的长和宽，再利用购回这张矩形铁皮的费用铁皮的面积，即可求出结论．

【解析】设此长方体箱子的底面宽为米，则长为米，

依题意得：，

整理得：，

解得：，（不合题意，舍去），

矩形铁皮的长为（米，宽为（米，

购回这张矩形铁皮的费用为（元．

故答案为：350．

17．（2021•永嘉县校级模拟）如图，世纪广场有一块长方形绿地，，，在绿地中开辟三条宽为的道路后，剩余绿地的面积为，则　3　．

【分析】由在绿地中开辟三条宽为的道路后，剩余绿地的面积为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．

【解析】设道路的宽为，根据题意得：，

解得：或3，

不合题意，舍去，

答：道路的宽为．

故答案为：3．

18．（2019春•任城区期中）如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点．运动的时间是秒．过点作于点，连接、．则当　　时，四边形的面积是面积的一半．

【分析】易证四边形为平行四边形，当点．运动的时间是秒时，，，，，根据四边形的面积是面积的一半，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．

【解析】，，

，，．

点的速度为点速度的一半，

．

又，，

，

四边形为平行四边形．

当点．运动的时间是秒时，，，，，

依题意，得：，

即，

整理，得：，

解得：．

故答案为：．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2021秋•庆阳期末）如图，利用足够长的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆34米；

（1）为了使这个长方形的面积为96平方米，求边为多少米？

（2）用这些篱笆，能使围成的长方形面积是110平方米吗？说明理由．

【分析】（1）根据题意得出长宽，进而得出答案；

（2）根据题意得出长宽，得到方程无解即可．

【解析】（1）设的长为米，

依题意的方程：，

解得：，，

答：当的长度为4米或8米时，长方形的面积为96平方米；

（2）不能．

理由：”假设长方形的面积是110平方米，

依题意得：．即，

△，

该一元二次方程无实数根，

假设不成立，

长方形的面积是不能为110平方米．

20．如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动．

（1）如果、分别从、同时出发，那么几秒后，的面积为？

（2）如果、分别从、同时出发，那么几秒后，的长度为？

（3）若用表示四边形的面积，经过多长时间取得最小值？并求出最小值．

【分析】（1）设秒后，的面积为，根据题意列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果；

（2）设秒后，的长度为，根据题意列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果；

（3）根据题意列出关于的函数关系式，利用函数的性质来求最值．

【解析】（1）设秒后，的面积为，

根据题意得，

解得：，．

故2或3秒后，的面积为；

（2）设秒后，的长度为

根据题意得，

解得：（舍去），．

故3秒后，的长度为；

（3）依题意得，

即，

当，即时，．

故经过长时间取得最小值，最小值为11.25．

21．（2020秋•黄浦区校级期中）如图，利用长20米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆34米，为了使这个长方形的面积为96平方米，求、边各为多少米？

【分析】设为米，然后表示出的长为米，利用矩形的面积计算方法列出方程求解即可．

【解析】设为米，则为米，

，

解得：，，

当时，

（不合题意，舍去），

当时，

．

答：米，米．

22．（2020秋•浦东新区期中）如图所示，若要建一个由两个相同的小长方形组成的长方形花圃．花圃的面积为63平方米且一边靠墙（墙长15米），三边用篱笆围成．现有篱笆30米．求这个长方形花圃的长与宽．

【分析】设这个长方形花圃的宽为米，平行于墙的边长为米，根据面积为63平方米，可列方程求解．

【解析】设这个长方形花圃的宽为米，

依题意得：，

解得：，，

当时，（舍去）．

当时，．

答：这个长方形花圃的长为9米，宽为7米．

23．（2019秋•武进区期中）如图，中，，，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动；

（1）若，两点同时出发，几秒后可使的面积为？

（2）若，两点同时出发，几秒后的长度为；

（3）的面积能否等于面积的一半？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．

【分析】（1）设果、同时出发，秒钟后，，，，此时的面积为：，令该式，由此等量关系列出方程求出符合题意的值；

（2）利用，则，由勾股定理定理可得解；

（3）的面积的一半等于，令，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．

【解析】点的移动速度为，点的移动速度为，所以设，则，

（1）的面积为，即，

解得或4，

故2秒或4秒后的面积为；

（2）的长度为．

即，

解得，

故1.2秒后的长度为．

（3）由题意得：

，

即：，

，

△，该方程无实数解，

所以，不存在使得的面积等于的面积的一半的时刻．

24．（2021秋•仙居县期中）如图，小球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加．

（1）写出小球滚动的距离（单位：关于滚动的时间（单位：的函数解析式．（提示：本题中，距离平均速度时间，，其中，是开始时的速度，是秒时的速度．

（2）如果斜面的长是，小球从斜面顶端滚到底端用多长时间？

【分析】（1）根据题意求得，然后由“距离平均速度时间”列出关系式；

（2）把代入（1）中的函数关系式即可求得相应的的值．

【解析】（1）由已知得，

，

，即；

（2）把代入中，得，

解得：，（不合题意，舍去）．

答：小球从斜面顶端滾到底端用．