沪科版八年级下册第18章 勾股定理综合与测试同步达标检测题

2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【沪科版】

专题18.5勾股定理与最短路径问题（重难点培优）

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020秋•金牛区校级月考）如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为3，若一只小虫从点出发沿着圆柱体的侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路程是　　

A．5 B． C． D．4

【分析】先将圆柱体展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理即可求出结果．

【解析】圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，是边的中点，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．

，，

，

故选：．

2．（2021秋•崂山区期中）如图，台阶阶梯每一层高，宽，长，一只蚂蚁从点爬到点，最短路程是　　

A． B． C．120 D．130

【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．

【解析】如图所示，

它的每一级的长宽高为，宽，长，

．

答：蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是，

故选：．

3．（2021春•天河区校级期中）如图，圆柱的高为，底面半径为，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面处的食物，已知四边形的边、恰好是上、下底面的直径、问：蚂蚁食到食物爬行的最短距离是　　．

A．5 B． C． D．

【分析】求至少要爬多少路程，根据两点之间直线最短，把圆柱体展开，在得到的矩形上连接两点，求出距离即可．

【解析】把圆柱体沿着直线剪开，得到矩形如下：

则的长度为所求的最短距离，

根据题意圆柱的高为，底面半径为，

则可以知道，底面周长，

底面周长为，

，

根据勾股定理得出，

即，

．

答：蚂蚁至少要爬行路程才能食到食物，

故选：．

4．（2020秋•沙坪坝区校级期中）小南同学报名参加了南开中学的攀岩选修课，攀岩墙近似一个长方体的两个侧面，如图所示，他根据学过的数学知识准确地判断出：从点攀爬到点的最短路径为　　米．

A．16 B． C． D．

【分析】将长方体展开，根据两点之间线段最短，构造出直角三角形，进而根据勾股定理求出的长．

【解析】如图：

，，

在中，．

即从点攀爬到点的最短路径为米．

故选：．

5．（2020秋•金水区校级月考）如图，有一圆柱，其高为，它的底面周长为，在圆柱外侧距下底的处有一只蚂蚁，它想得到距上底的处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为　　

A． B． C． D．

【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，进而得到，，再利用勾股定理计算出长即可．

【解析】如图，将圆柱的侧面展开，蚂蚁经过的最短距离为线段的长．

由勾股定理，，

．

故选：．

6．（2020秋•九龙坡区校级期末）如图，圆柱体盒子放在水平地面上，该圆柱体的高为，点离盒底的距离为，底面半径为，一只蚂蚁沿着该圆柱体盒子的表面从点爬行到点，则该蚂蚁爬行的最短路程为　　．

A．6 B．10 C． D．

【分析】要求最短路线，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点间线段最短，再利用勾股定理来求．

【解析】把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点，的最短距离为线段的长，

，为底面半圆弧长，，

在中，

．

故选：．

7．（2020秋•万荣县期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、．和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程为　　

A． B． C． D．

【分析】先将图形平面展开，再由勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．

【解析】三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为，

则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长．

设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为，

由勾股定理得：，

解得：．

故选：．

8．（2019秋•锦江区校级期中）如图，有一个长宽高分别为，，的长方体，有一只小蚂蚁想从点爬到点处，则它爬行的最短路程为　　

A． B． C． D．

【分析】将长方体展开，根据勾股定理求出的长，即得出最短路线．

【解析】如图1所示，

；

如图2所示，

，

，

它爬行的最短路程为，

故选：．

9．（2021春•和平区期末）如图，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，一只蚂蚁从点出发，沿棱柱侧面到点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是　　．

A． B． C． D．12

【分析】把长方体展开为平面图形，分两种情形求出的长即可判断．

【解析】把长方体展开为平面图形，分两种情形：

如图1中，，

如图2中，，

，

爬行的最短路径是，

故选：．

10．（2019秋•东坡区期末）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是　　

A． B． C． D．

【分析】将容器侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．

【解析】如图：

高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，

此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处，

，，

将容器侧面展开，作关于的对称点，

连接，则即为最短距离，

，

故选：．

二．填空题（共8小题）

11．（2021秋•会宁县期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20分米，3分米和2分米，和是这个台阶的两个端点，点上有一只蚂蚁想到点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为 　25分米　．

【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．

【解析】三级台阶平面展开图为长方形，长为20分米，宽为分米，

则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长．

可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为分米，

由勾股定理得：，

解得：．

答：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是25分米．

故答案为：25分米．

12．（2020秋•长春期末）如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从点绕到正上方的点，已知圆柱底面周长是，高为，则所需彩带最短是　13　．

【分析】化“曲”为“平”，在平面内，利用两点之间线段最短，根据勾股定理求解即可．

【解析】如图，将这个圆柱体侧面展开得，

由勾股定理得，

，

故答案为：13．

13．（2021秋•福田区校级期末）如图，有一圆柱形油罐，底面周长为，高为．从处环绕油罐建梯子，梯子的顶端点正好在点的正上方，梯子最短需要 　26　．

【分析】化“曲”为“平”，在平面内，得到两点的位置，再根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可．

【解析】将圆柱体的侧面展开，如图所示：

则底面周长，，

在中，，

故答案为：26．

14．（2020秋•青羊区校级月考）如图，有一圆柱，其高为，它的底面周长为，在圆柱下底面处有一只蚂蚁，它想得到上面处的食物，其中离上沿，则蚂蚁经过的最短路程为　　．

【分析】先把圆柱的侧面展开得其侧面展开图，则，所在的长方形的长为圆柱的高，宽为底面圆周长的一半，，蚂蚁经过的最短距离为连接，的线段长，由勾股定理求得的长．

【解析】如图，将圆柱的侧面沿过点的一条母线剪开，得到长方形，

连接，则线段的长就是蚂蚁爬行的最短距离，其中，分别是，的中点，

底面周长是，

，

，，

，

，

蚂蚁经过的最短距离为；

故答案为：．

15．（2021春•南丹县期末）如图，正方体的棱长为，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点沿着正方体表面爬到点处．那么蚂蚁爬行的最短路程是　　．

【分析】将各图展开，根据两点之间线段最短，利用勾股定理解答．

【解析】，

故答案为：．．

16．（2020秋•罗湖区校级期中）如图，一个圆柱形工艺品高为18厘米，底面周长12厘米．现在需要从下底的处绕侧面两周，到上底的正上方）处镶嵌一条金丝，则金丝至少　30　厘米．

【分析】将圆柱的侧面展开，根据题意金丝从下底的处绕侧面两周，到上底的最短长度是：两直角边分别为12厘米，9厘米的斜边长的2倍．

【解析】如图，设的中点为，侧面展开图是，的中点是，

则金丝的最小值为侧面展开图中的，

（厘米），

金丝至少厘米．

故答案为：30．

17．（2021秋•麦积区期末）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为 　15　．（杯壁厚度不计）

【分析】将杯子侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．

【解析】如图：

将杯子侧面展开，作关于的对称点，

，，

连接，则即为最短距离，．

故答案为：15．

18．（2020秋•麦积区期末）如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从顶点出发，经过3个面爬到顶点，如果它运动的路径是最短的，则最短路径为　　．

【分析】将正方体展开，根据两点之间线段最短，构造出直角三角形，进而求出最短路径的长．

【解析】将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时最短，

，

故答案为：．

三．解答题（共6小题）

19．（2020秋•郫都区期中）如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点之间的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖．

（1）求出点到点的距离；

（2）求蚂蚁从点爬到点的最短路程是多少？

【分析】（1）分三种情况讨论：把上面展开到左侧上，连接，如图1；把右侧面展开到正面上，连接，如图2；把向上的面展开到正面上，连接，如图3，然后利用勾股定理分别计算各情况下的即可；

（2）根据（1）的结果进行大小比较即可得到结论．

【解析】（1），

答：点到点的距离为；

（2）把上面展开到左侧上，连接，

如图1，

根据勾股定理得：；

把右侧面展开到正面上，连接，如图2，

根据勾股定理得：，

则需要爬行的最短距离是．

把向上的面展开到正面上，连接，如图3，

根据勾股定理得：，

综上所述，从点爬到点的距离为：，，；

，

则需要爬行的最短距离是．

20．（2021春•海珠区月考）如图，（1）一只蚂蚁要从长方体的一个顶点沿表面爬行到顶点，怎样爬行路线最短？为什么？

（2）若长方体的长为3、宽为1、高为2，蚂蚁要沿长方体的表面，从顶点走到顶点，试画出不重复情况的展开示意图，并通过计算比较求出最短距离．

【分析】（1）根据两点之间线段最短即可得到结论；

（2）把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．

【解析】（1）连接，蚂蚁沿着爬行路线最短；

理由：两点之间线段最短；

（2）因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．

①展开前面右面由勾股定理得；

②展开前面上面由勾股定理得；

③展开左面上面由勾股定理得．

所以最短路径的长为．

21．（2021秋•金台区校级月考）如图，一只蚂蚁从长为、宽为，高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所走的最短路线的长是多少？

【分析】根据题意，过点和点的平面展开图分三种情况，再根据两点之间线段最短和勾股定理可以分别求得三种情况下的最短路线，然后比较大小，即可得到点到点的最短路线，本题得以解决．

【解析】由题意可得，

当展开前面和右面时，最短路线长是：；

当展开前面和上面时，最短路线长是：；

当展开左面和上面时，最短路线长是：；

，

一只蚂蚁从长为、宽为，高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所走的最短路线的长是．

22．在科幻世界里有各种造型奇特的小山．如图1是一座三棱锥小山，侧面展开图如图2所示，每个侧面完全相同．一只小狐狸在半山腰点处想饱览四周风景，它沿路径“”绕小山一周最终以最短路径到达山脚处，当小狐狸沿侧面的路径运动时，若，则称这段路为“上坡路”；若，则称这段路为“下坡路”；若，则称这段路为“上坡路”；若，则称这段路为“下坡路”．当时，在图2中画出从点沿侧面环绕一周到达山脚点处的最短路径，并判断在侧面、侧面上走的是上坡路还是下坡路？

【分析】根据“两点之间线段最短”即可得出：线段即为从点沿侧面环绕一周到达山脚点处的最短路径，再运用三角形中较大的角所对的边较大即可得出答案．

【解析】如图2，连接交于点，交于点，

线段即为从点沿侧面环绕一周到达山脚点处的最短路径，

则，，

，

，，，

，

，，

，，

，

，

在侧面上走的是上坡路，

，

，

，，

，

，

，

，

在侧面上走的是下坡路，

答：在侧面上走的是上坡路，在侧面上走的是下坡路．

23．（2021•绍兴模拟）如图，已知圆柱底面的直径，圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈长度最短的金属丝．

（1）现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 　　．

（2）求该长度最短的金属丝的长．

【分析】（1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题；

（2）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．

【解析】（1）因圆柱的侧面展开面为长方形，展开应该是两线段，且有公共点．

故选：；

（2）解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度．

圆柱底面的直径，圆柱的高，

该长度最短的金属丝的长为．

24．（2020秋•南关区校级期末）如图1，一只蚂蚁要从边长为正方体的一个顶点沿表面爬行到顶点，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点呢？请完成下列问题：

（1）图2是将立方体表面展开的一部分，请将正方体的表面展开图补充完整；（画一种即可）

（2）在图2中画出点到点的最短爬行路线，最短路径为：　线段　；

（3）在图2中标出点，并画出、两点的最短爬行路线（画一种即可），最短路径为　　．

【分析】（1）根据题意画出正方体的展开图即可；

（2）根据线段的性质画出图形即可；

（3）根据线段的性质画出图形即可．

【解析】（1）如图所示，

（2）如图所示，连接，线段的即为点到点的最短爬行路线，

故答案为：线段；

（3）如图所示，线段即为、两点的最短爬行路线，

故答案为：线段．