初中数学沪科版八年级下册19.3 矩形 菱形 正方形课时训练

2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【沪科版】

专题19.13正方形的性质与判定大题专练

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一．解答题（共24小题）

1．（2017春•凌源市期末）如图，正方形ABCD中，G为DC上一点，E为BC上一点．AG平分∠DAE，AG的延长线交BC的延长线于点F．

（1）若BF＝8，CD＝4，求BE的长．

（2）求证：EF﹣DG＝BE．

2．（2021春•海淀区校级期末）如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G，若正方形ABCD的周长是40cm．

（1）求证：四边形BFEG是矩形；

（2）求四边形EFBG的周长；

（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？

3．（2019春•西城区期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上任意一点，连接EO并延长，交BC于点F，连接AF，CE．

（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；

（2）若∠DAC＝60°，∠ADB＝15°，AC＝4．

①直接写出▱ABCD的边BC上的高h的值；

②当点E从点D向点A运动的过程中，下面关于四边形AFCE的形状的变化的说法中，正确的是　   　

A．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形

B．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形

C．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形→平行四边形

D．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形

4．（2021秋•管城区校级期中）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．

（1）若AB＝2，点E是BC的中点，求线段CF的长．

（2）连接EG，若EG⊥AF，

①求证：点G为CD边的中点．

②判断线段CE与EB的数量关系并说明理由．

5．（2021春•中山市期末）如图，已知四边形ABCD为正方形，点E在对角线AC上，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．

（1）求证：ED＝EF；

（2）若四边形DECG的面积为9，求CE+CG的值．

6．（2021春•清河县期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，BF∥AC交OE的延长线于点F，连结CF．

（1）求证四边形BFCO是平行四边形；

（2）当▱ABCD是 　   　（矩形、菱形、正方形）时，▱BFCO是矩形；并说明理由；

（3）当▱ABCD是 　   　（矩形、菱形、正方形）时，▱BFCO是菱形．

7．（2020•昭阳区模拟）如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，过点P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F．

（1）求证：四边形PECF为矩形；

（2）若正方形ABCD的边长为2，EC：FC＝1：3，求AP的值．

8．（2021•江干区三模）如图，在正方形ABCD中，E为BC边上任意点，AF平分∠EAD，交CD于点F．

（1）如图1，当AB＝2时，若点F恰好为CD中点，求CE的长；

（2）如图2，延长AF交BC的延长线于点G，延长AE交DC的延长线于点H，连接HG，当CG＝DF时，求证：HG⊥AG．

9．（2021春•黄石港区期末）已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，垂足分别为E，F．

（1）求证：AP＝PC；

（2）若∠DAP＝30°，PD＝，求EF的长．

10．（2018春•原州区期末）在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F．

（1）求证：四边形MECF是矩形．

（2）求证：AM＝EF．

11．如图，在△AFE中，∠FAE＝90°，AB是EF边上的高，以AB为一边在

AB的右侧作正方形ABCD，CD交AE于点M．

（1）求证：△ABF≌△ADM；

（2）若AF＝13，DM＝5，求CM的长；

（3）连接DF交AB于点G，连接GM，若∠DFB＝∠FAB，求证：四边形AGMD是矩形．

12．（2019春•沙河市期末）如图，矩形ABCD和正方形ECGF．其中E、H分别为AD、BC中点，连接AF、HG、AH．

（1）求证：AF＝HG；

（2）求证：∠FAE＝∠GHC；

13．（2021•南关区一模）[问题呈现]

下面是华师版八年级下册数学教材第121页的第1题，请结合图①完成这道题的证明．

如图①，点E是正方形ABCD的边CD上的一点，点F是CB的延长线上的一点，且EA⊥AF．求证：DE＝BF．

[拓展探究]

如图②，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝2，CD⊥AB，垂足为点D，点E是边AC上的动点，点F是边CB上的一点，且ED⊥DF．

（1）直接写出四边形EDFC的面积．

（2）若∠CDE＝15°，则四边形EDFC的周长为　   　．

14．（2019春•安陆市期中）在一次课题学习活动中，老师提出了如下问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你探究AE与EF存在怎样的数量关系，并证明你的结论正确．

经过探究，小明得出的结论是AE＝EF．而要证明结论AE＝EF，就需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，小明想到的方法是如图2，取AB的中点M，连接EM，证明△AEM≌△EFC．从而得到AE＝EF．

请你参考小明的方法解决下列问题：

（1）如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，证明结论AE＝EF仍然成立．

（2）如图4，若把条件“点E是边BC的中点”改为：“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE＝EF是否还成立？若成立，请完成证明过程，若不成立，请说明理由．

15．（2021春•沙坪坝区期末）在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC，CD上，连结AE、AF．

（1）如图1，过点E作EM⊥AF交AD于点M，求证：AF＝EM；

（2）如图2，若AE平分∠BAF，求证：AF＝BE+DF．

16．（2021春•台江区校级期中）如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，过点P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F．

（1）求证：四边形PECF为矩形；

（2）试探究AP与EF的数量关系，并说明理由．

17．（2020春•皇姑区期末）如图，在▱BCFD中，点E是DF的中点，连接CE并延长，与BD的延长线相交于点A，连接CD，AF．

（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；

（2）若CA＝CB，则▱ADCF为　   　（填矩形、菱形、正方形中的一个）．

18．（2019•宽城区一模）问题探究：如图①，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CD上，且AE＝DF．线段BE与AF相交于点G，GH是△BFG的中线．

（1）求证：△ABE≌△DAF．

（2）判断线段BF与GH之间的数量关系，并说明理由．

问题拓展：如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．点E在边AD上，点F在边CD上，且AE＝2，DF＝3，线段BE与AF相交于点G．若GH是△BFG的中线，则线段GH的长为　   　．

19．（2020春•潼南区期末）如图，在正方形ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接AC、CP，F为AB边上一点，满足CF⊥CP，过点B作BM⊥CF，分别交AC、CF于点M、N．

（1）若AC＝AP，AC＝3，求△ACP的面积；

（2）若BC＝MC，证明：CP＝BM+2FN．

20．（2020春•邓州市期末）如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE，连接BF，CE．

（1）求证：四边形BECF是平行四边形；

（2）填空：

①若AB＝5，则AC的长为　   　时，四边形BECF是菱形；

②若AB＝5，BC＝6且四边形BECF是正方形，则AF的长为　   　．

21．（2021秋•宿豫区期中）（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝45°，连接EF，探究BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由；

（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝∠BAD，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

22．（2020春•兴化市期中）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上的动点（不与点B、C重合），将射线AE绕点A按逆时针方向旋转45°后交CD边于点F，AE、AF分别交BD于G、H两点．

（1）当∠BEA＝55°时，求∠HAD的度数；

（2）设∠BEA＝α，试用含α的代数式表示∠DFA的大小；

（3）点E运动的过程中，试探究∠BEA与∠FEA有怎样的数量关系，并说明理由．

23．（2019秋•邳州市期中）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF＝45°．

（1）如图（1），试判断EF，BE，DF间的数量关系，并说明理由；

（2）如图（2），若AH⊥EF于点H，试判断线段AH与AB的数量关系，并说明理由．

24．（2020秋•海珠区校级期中）（1）如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边AB、BC上，∠EDF＝45°，连接EF，求证：EF＝AE+FC．

（2）如图②，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，∠EDF＝45°，猜想EF、AE、FC的数量关系，并说明理由．