浙江省杭州市临平区、余杭区2022-2023学年上学期九年级期中数学试卷(含答案)

这是一份浙江省杭州市临平区、余杭区2022-2023学年上学期九年级期中数学试卷(含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年浙江省杭州市临平区、余杭区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求．
1．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标是（　　）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
3．（3分）任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，发生可能性最大的事件是（　　）
A．朝上一面的点数大于2
B．朝上一面的点数为3
C．朝上一面的点数是2的倍数
D．朝上一面的点数是3的倍数
4．（3分）若⊙O的半径为3cm，点A到圆心O的距离为2cm，则点A与⊙O的位置关系为（　　）
A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定
5．（3分）下列事件是必然事件的是（　　）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．三点确定一个圆
C．抛掷一枚骰子，朝上面的点数小于6
D．必然事件发生的概率是1
6．（3分）若二次函数y＝ax2（a≠0）的图象过点（﹣2，﹣3），则必在该图象上的点还有（　　）
A．（﹣3，﹣2） B．（2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，3）
7．（3分）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是二次函数y＝﹣2x2﹣8x+m图象上的点，则（　　）
A．y2＞y1＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1
8．（3分）如图，已知点A，B，C依次在⊙O上，∠B﹣∠A＝40°，则∠AOB的度数为（　　）

A．70° B．72° C．80° D．84°
9．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①a−b+c＜0；②a+b＞0；③a+b≥ax2+bx；④4ac＜b2中正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣1（a，b是常数，a≠0）的图象经过A（2，1），B（4，3），C（4，﹣1）三个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线y＝x﹣1上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的（　　）
A．最大值为﹣1 B．最小值为﹣1
C．最大值为 D．最小值为
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）将函数y＝（x+1）2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到函数图象的表达式为 　 　．
12．（4分）甲、乙、丙三个人相互传一个球，由甲开始发球，并作为第一次传球，则经过两次传球后，球回到甲手中的概率是 　 　．
13．（4分）如图，BD、CE是⊙O的直径，弦AE∥BD，AD交CE于点F，∠A＝25°，则∠AFC＝　 　．

14．（4分）已知点A（0，3），点B（2，3）是抛物线y＝−x2+bx+c上两点，则该二次函数的最 　 　值是 　 　．
15．（4分）如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，＝，∠D＝128°，则∠B＝　 　°．

16．（4分）已知二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x
…
0
1
2
3
…
y
…
5
2
1
2
…
若A（m，y1），B（m+6，y2）两点都在该函数图象上，当y1＞y2时，m的取值范围是 　 　．
三、解答题：本题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）如图，已知正方形ABCD，点E在AB边上，点F在BC边的延长线上，且CF＝AE．以图中某一点为旋转中心，将△DAE按逆时针方向旋转一定角度后恰好与△DCF重合．
（1）旋转中心是点 　 　，旋转角的度数为 　 　°．
（2）判断△DFE的形状并说明理由．

18．（8分）已知⊙O中的弦AB＝CD，求证：AD＝BC．

19．（8分）一个不透明的布袋中装有3个只有颜色不同的球，其中1个黄球、2个红球．
（1）任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球，求两次摸出的球恰好都是红球的概率（要求画树状图或列表）；
（2）现再将n个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为，求n的值．
20．（10分）如图，抛物线分别经过点A（﹣2，0），B（3，0），C（1，6）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求当y＞4时，自变量x的取值范围．
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD，OD相交于点E，F．
（1）求证：点D为的中点；
（2）若DF＝4，AC＝16，求⊙O的直径．

22．（12分）在校园嘉年华中，九年级同学将对一块长20m，宽10m的场地进行布置，设计方案如图所示．阴影区域为绿化区（四块全等的矩形），空白区域为活动区，且4个出口宽度相同，其宽度不小于4m，不大于8m．设出口长均为x（m），活动区面积为y（m2）．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当x取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？
（3）若活动区布置成本为10元/m2，绿化区布置成本为8元/m2，布置场地的预算不超过1850元，当x为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本．

23．（12分）已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点（2，3），求函数y的表达式．
（2）若a＞0，当x＜时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
（3）若二次函数在−3≤x≤1时有最大值3，求a的值．

2022-2023学年浙江省杭州市临平区、余杭区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求．
1．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
2．（3分）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标是（　　）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
【分析】根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【解答】解：y＝﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3）．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
3．（3分）任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，发生可能性最大的事件是（　　）
A．朝上一面的点数大于2
B．朝上一面的点数为3
C．朝上一面的点数是2的倍数
D．朝上一面的点数是3的倍数
【分析】计算出各种情况的概率，然后比较即可．
【解答】解：A、朝上一面的点数大于2的可能性的大小是＝，
B、朝上一面的点数是3的可能性的大小是，
C、朝上一面的点数是2的倍数的可能性为＝，
D、朝上一面的点数是3的倍数的可能性为＝．
可能性最大的是A，
故选：A．
【点评】本题主要考查了如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝，两个独立事件的概率＝两个事件概率的积，难度适中．
4．（3分）若⊙O的半径为3cm，点A到圆心O的距离为2cm，则点A与⊙O的位置关系为（　　）
A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定
【分析】根据半径和点到圆心的距离确定点与圆的位置关系即可．
【解答】解：∵⊙O的半径为3cm，点A到圆心O的距离为2cm，
∴d＜r，
∴点A在○O内，
故选：C．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是确定圆的半径和点与圆心之间的距离之间的大小关系．
5．（3分）下列事件是必然事件的是（　　）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．三点确定一个圆
C．抛掷一枚骰子，朝上面的点数小于6
D．必然事件发生的概率是1
【分析】根据随机事件，概率的意义，概率公式，确定圆的条件，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、相等的圆心角所对的弧相等，是随机事件，故A不符合题意；
B、三点确定一个圆，是随机事件，故B不符合题意；
C、抛掷一枚骰子，朝上面的点数小于6，是随机事件，故C不符合题意；
D、必然事件发生的概率是1，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了随机事件，概率的意义，概率公式，确定圆的条件，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
6．（3分）若二次函数y＝ax2（a≠0）的图象过点（﹣2，﹣3），则必在该图象上的点还有（　　）
A．（﹣3，﹣2） B．（2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，3）
【分析】根据二次函数的对称性即可判断．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的对称轴为y轴，
∴点（﹣2，﹣3）关于对称轴的对称点为（2，﹣3），
∴点（2，﹣3）必在该图象上，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
7．（3分）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是二次函数y＝﹣2x2﹣8x+m图象上的点，则（　　）
A．y2＞y1＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1
【分析】把原函数解析式化成顶点式，然后根据三点与对称轴的位置关系，开口方向判断y1，y2，y3的大小．
【解答】解：∵y＝﹣2x2﹣8x+m＝﹣2（x+2）2+8+m，
∴抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣2，
∵（﹣3，y1），（﹣2，y2）与（1，y3）三点中，点（﹣3，y1）离对称轴较近，点（﹣2，y2）在对称轴上，点（1，y3）离对称轴较远，
∴y3＜y1＜y2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了抛物线线上点坐标的特征，找准对称轴以及抛物线的增减性是解题的关键．
8．（3分）如图，已知点A，B，C依次在⊙O上，∠B﹣∠A＝40°，则∠AOB的度数为（　　）

A．70° B．72° C．80° D．84°
【分析】利用三角形内角和定理得到∠O+∠A＝∠C+∠B，所以∠O﹣∠C＝40°，再根据圆周角定理得到∠C＝∠O，所以∠O﹣∠O＝40°，从而得到∠O的度数．
【解答】解：∵∠O+∠A＝∠C+∠B，
∴∠O﹣∠C＝∠B﹣∠A＝40°，
∵∠C＝∠O，
∴∠O﹣∠O＝40°，
∴∠O＝80°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
9．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①a−b+c＜0；②a+b＞0；③a+b≥ax2+bx；④4ac＜b2中正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①由抛物线的开口方向、对称轴及抛物线与y轴交点的位置，可得出a＜0，b＞0，c＞0，当x＝﹣1时，y＜0进而可得出a−b+c＜0；
②由抛物线的开口方向、对称轴a＜0，﹣＝1，c＞0，b＝﹣2a，a+b＝a﹣2a＝﹣a＞0；
③由抛物线的开口方向、a，b间的关系及抛物线的顶点总坐标，可得出a+b+c≥ax2+bx+c，进而可得出≥a+b，即a+b≥ax2+bx；
④由抛物线与x轴有两个交点，可得出b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac．
【解答】解：①∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与y轴交于正半轴，
∴a＜0，﹣＝1，c＞0
∴b＝﹣2a＜0，
当x＝﹣1时，y＜0，
∴a−b+c＜0；结论①正确；
②∵a＜0，﹣＝1，c＞0
∴b＝﹣2a，
∴a+b＝a﹣2a＝﹣a＞0，结论，②正确；
③∵当x＝1时抛物线y＝ax2+bx+c有最大值，
∴a+b+c≥ax2+bx+c，
即a+b≥ax2+bx，结论③正确；
④∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴4ac＜b2，结论④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象与系数的关系，逐一分析各结论的正误是解题的关键．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣1（a，b是常数，a≠0）的图象经过A（2，1），B（4，3），C（4，﹣1）三个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线y＝x﹣1上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的（　　）
A．最大值为﹣1 B．最小值为﹣1
C．最大值为 D．最小值为
【分析】先判断抛物线经过点A、C，然后利用待定系数法求得解析式，根据题意设出平移后的抛物线的解析式，令x＝0，得到解得是纵坐标与平移距离之间的函数关系，根据此函数关系即可求得结论．
【解答】解：∵A（2，1），B（4，3）在直线y＝x﹣1上，
∴A或B是抛物线的顶点，
∵B（4，3），C（4，﹣1）的横坐标相同，
∴抛物线不会同时经过B、C点，
∴抛物线过点A和C两点，
把A（2，1），C（4，﹣1）代入y＝ax2+bx﹣1得，
解得，
∴二次函数为y＝﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣2）2+1，
∵顶点始终在直线y＝x﹣1上，
∴抛物线向左、向下平移的距离相同，
∴设平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣2+m）2+1﹣m，
令x＝0，则y＝﹣（﹣2+m）2+1﹣m＝﹣﹣，
∴抛物线与y轴交点纵坐标最大值为﹣，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，正确求得抛物线平移前后的解析式是解题的关键．
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）将函数y＝（x+1）2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到函数图象的表达式为 　y＝（x﹣1）2+1　．
【分析】先确定抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），再确定平移后顶点坐标，然后写出平移的顶点式．
【解答】解：函数y＝（x+1）2的顶点坐标为（﹣1，0），
把点（﹣1，0）向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点（1，1），
所以平移后的抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2+1．
故答案为：y＝（x﹣1）2+1．
【点评】本题考查了函数图象与几何变换：抛物线的平移转化为顶点的平移．
12．（4分）甲、乙、丙三个人相互传一个球，由甲开始发球，并作为第一次传球，则经过两次传球后，球回到甲手中的概率是 　　．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与经过二次传球后，球仍回到甲手中的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图如下：

由树状图知，共有4种等可能结果，其中经过两次传球后，球回到甲手中的有2种结果，
∴经过两次传球后，球回到甲手中的概率为＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（4分）如图，BD、CE是⊙O的直径，弦AE∥BD，AD交CE于点F，∠A＝25°，则∠AFC＝　75°　．

【分析】根据平行线的性质和已知条件求出∠D＝∠A＝25°，根据圆周角定理求出∠EOD＝2∠A，再根据三角形的外角性质求出答案即可．
【解答】解：∵弦AE∥BD，∠A＝25°，
∴∠D＝∠A＝25°，
∵对的圆周角是∠A，圆心角是∠EOD，
∴∠A＝EOD，
∵∠A＝25°，
∴∠EOD＝50°，
∴∠AFC＝∠D+∠EOD＝25°+50°＝75°，
故答案为：75°．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，圆周角定理，平行线的性质等知识点，注意：一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
14．（4分）已知点A（0，3），点B（2，3）是抛物线y＝−x2+bx+c上两点，则该二次函数的最 　大　值是 　4　．
【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式，然后化为顶点式解答．
【解答】解：把点A（0，3）和点B（2，3）y＝−x2+bx+c得，
，解得，
函数解析式为y＝−x2+2x+3，
化为顶点式为y＝−（x2﹣2x）+3＝−（x﹣1）2+4，
可见，二次函数有最大值4．
故答案为：大，4．
【点评】本题考查了二次函数最值，求出函数解析式是解题的关键．
15．（4分）如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，＝，∠D＝128°，则∠B＝　116　°．

【分析】连接AC、CE，根据圆内接四边形的性质求出∠CAE，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理求出∠ACE，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
【解答】解：连接AC、CE，
∵点A、C、D、E都是⊙O上的点，
∴∠CAE+∠D＝180°，
∴∠CAE＝180°﹣128°＝52°，
∵，
∴∠ACE＝∠AEC＝（180°﹣52°）＝64°，
∵点A、B、C、E都是⊙O上的点，
∴∠AEC+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣64°＝116°，
故答案为：116．

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
16．（4分）已知二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x
…
0
1
2
3
…
y
…
5
2
1
2
…
若A（m，y1），B（m+6，y2）两点都在该函数图象上，当y1＞y2时，m的取值范围是 　m＜﹣1　．
【分析】根据表中的对应值得到x＝1和x＝3时函数值相等，则得到抛物线的对称轴为直线x＝2，由于抛物线开口向上，且y1＞y2，所以A（m，y1）到对称轴的距离大于点B（m+6，y2）到对称轴的距离，则＜2，然后解不等式即可．
【解答】解：∵x＝1时，y＝2；x＝3时，y＝2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵抛物线开口向上，A（m，y1），B（m+6，y2）两点都在该函数图象上，且y1＞y2，
∴＜2，
解得m＜﹣1．
故答案为m＜﹣1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
三、解答题：本题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）如图，已知正方形ABCD，点E在AB边上，点F在BC边的延长线上，且CF＝AE．以图中某一点为旋转中心，将△DAE按逆时针方向旋转一定角度后恰好与△DCF重合．
（1）旋转中心是点 　D　，旋转角的度数为 　90　°．
（2）判断△DFE的形状并说明理由．

【分析】（1）由旋转的定义可直接求解；
（2）由旋转的性质可得∠ADC＝∠EDF＝90°，DE＝DF，即可求解．
【解答】解：（1）∵将△DAE按逆时针方向旋转一定角度后恰好与△DCF重合，
∴∠ADC＝∠EDF＝90°，DE＝DF，
∴旋转中心是点D，旋转角的度数为90°，
故答案为：D，90；
（2）△DEF是等腰直角三角形，
理由如下：∵将△DAE按逆时针方向旋转一定角度后恰好与△DCF重合，
∴∠ADC＝∠EDF＝90°，DE＝DF，
∴△DEF是等腰直角三角形．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
18．（8分）已知⊙O中的弦AB＝CD，求证：AD＝BC．

【分析】由AB＝CD，得：，即可推出，即可推出AD＝BC．
【解答】解：∵⊙O中的弦AB＝CD，
∴，
∴，
∴AD＝BC．
【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，关键在于运用数形结合的思想，结合相关的定理推论推出．
19．（8分）一个不透明的布袋中装有3个只有颜色不同的球，其中1个黄球、2个红球．
（1）任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球，求两次摸出的球恰好都是红球的概率（要求画树状图或列表）；
（2）现再将n个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为，求n的值．
【分析】（1）画树状图，共有6种等可能的结果，两次摸出的球恰好都是红球的结果有2种，再由概率公式求解即可；
（2）由概率公式得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）画树状图如下：

共有6种等可能的结果，两次摸出的球恰好都是红球的结果有2种，
∴两次摸出的球恰好都是红球的概率为＝；
（2）根据题意得：＝，
解得：n＝5，
经检验：n＝5是原分式方程的解，
∴n＝5．
【点评】此题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（10分）如图，抛物线分别经过点A（﹣2，0），B（3，0），C（1，6）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求当y＞4时，自变量x的取值范围．
【分析】（1）设交点式y＝a（x+2）（x﹣3），然后把C点坐标代入其a即可；
（2）结合函数图象，写出抛物线在直线y＝4上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣3），
把C（1，6）代入得6＝a×3×（﹣2），解得a＝﹣1，
所以抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣3），
即y＝﹣x2+x+6；
（2）把y＝4代入y＝﹣x2+x+6得，4＝﹣x2+x+6，
解得x＝2或x＝﹣1，
∴交点为（2，4），（﹣1，4），
∵抛物线y＝﹣x2+x+6开口向下，
∴当y＞4时，自变量x的取值范围为﹣1＜x＜2．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD，OD相交于点E，F．
（1）求证：点D为的中点；
（2）若DF＝4，AC＝16，求⊙O的直径．

【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠C＝90°，从而利用平行线的性质可得∠OFA＝∠C＝90°，从而可得OF⊥AC，然后利用垂径定理即可解答；
（2）利用垂径定理可得AF＝AC＝8，然后在Rt△AFO中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠OFA＝∠C＝90°，
∴OF⊥AC，
∴＝，
∴点D为的中点；
（2）解：∵OF⊥AC，
∴AF＝AC＝8，
在Rt△AFO中，AO2＝AF2+OF2，
∴OA2＝64+（OD﹣DF）2，
∴OA2＝64+（OA﹣4）2，
∴OA＝10，
∴⊙O的直径为20．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理以及垂径定理是解题的关键．
22．（12分）在校园嘉年华中，九年级同学将对一块长20m，宽10m的场地进行布置，设计方案如图所示．阴影区域为绿化区（四块全等的矩形），空白区域为活动区，且4个出口宽度相同，其宽度不小于4m，不大于8m．设出口长均为x（m），活动区面积为y（m2）．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当x取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？
（3）若活动区布置成本为10元/m2，绿化区布置成本为8元/m2，布置场地的预算不超过1850元，当x为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本．

【分析】（1）根据活动区域的面积等于矩形的面积减去绿化区的面积，可得y与x的关系式；
（2）根据二次函数的增减性可得结论；
（3）根据列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝20×10﹣4××
＝200﹣（20﹣x）（10﹣x）
＝200﹣200+30x﹣x2
＝﹣x2+30x，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣x2+30x（4≤x≤8）；
（2）由（1）知：y＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣15）2+225，
∵﹣1＜0，
∵当x＜15时，y随x的增大而增大，
∵4≤x≤8，
∴当x＝8时，y有最大值，最大值为176，
∴当x取8m时，活动区面积最大，最大面积是176m2；
（3）设布置场地所用费用为w元，
则w＝10（﹣x2+30x）+8[200﹣（﹣x2+30x）]
＝﹣10x2+300x+1600+8x2﹣240x
＝﹣2x2+60x+1600，
令w＝1850，
﹣2x2+60x+1600＝1850，
解得：x＝25或x＝5，
∵4≤x≤8，
∴4≤x≤5，
∵活动区域面积为y＝﹣x2+30x，﹣1＜0，对称轴为直线x＝15，
∴当x＝5时，活动区面积最大，此时的布置成本为1850元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，此题关键是求得短边的长度，再利用矩形的面积求得各部分面积，进一步列不等式（组）解决问题．
23．（12分）已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点（2，3），求函数y的表达式．
（2）若a＞0，当x＜时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
（3）若二次函数在−3≤x≤1时有最大值3，求a的值．
【分析】（1）把（2，3）代入y＝ax2+4ax+3a，即可求得a的值；
（2）由a＞0可知抛物线开口向上，求得对称轴为直线x＝﹣2，根据二次函数的性质得到≤﹣2，解得m≤﹣6；
（3）分两种情况讨论，得到关于a的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）把（2，3）代入y＝ax2+4ax+3a，得3＝4a+8a+3a，
解得：a＝，
∴函数y的表达式y＝x2+x+；
（2）∵抛物线得对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，a＞0，
∴抛物线开口向上，当x≤﹣2时，二次函数y随x的增大而减小，
∵当x＜时，此二次函数y随着x的增大而减小，
∴≤﹣2，即m≤﹣6；
（3）由题意得：y＝a（x+2）2﹣a，
∵二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3
①当a＞0 时，开口向上
∴当x＝1时，y有最大值8a，
∴8a＝3，
∴a＝；
②当a＜0 时，开口向下，
∴当x＝﹣2时，y有最大值﹣a，
∴﹣a＝3，
∴a＝﹣3，
综上，a的值为或﹣3．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键：（1）把（2，3）代入y＝ax2+4ax+3a；（2）根据二次函数的性质得到≤﹣2；（3）分开口向上和开口向下两种情况讨论．
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