高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算精品第2课时学案

1.3　集合的基本运算

第2课时 补集及综合应用

【学习目标】

【自主学习】

一．全集

二．补集

解读：∁UA的三层含义：

(1)∁UA表示一个集合；

(2)A是U的子集，即A⊆U；

(3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．

三．补集与全集的性质：

(1)∁UU＝  ；(2)∁U∅＝   ；(3)∁U(∁UA)＝  ；

(4)A∪∁UA＝  ；(5)A∩∁UA＝  。

【小试牛刀】

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)设全集是U，集合A⊆U，若x是U中的任一元素，则要么x∈A，要么x∈∁UA，二者必居其一且只具其一．(  )

(2)全集没有补集．(  )

(3)同一个集合，对于不同的全集，其补集也不相同．(  )

(4)已知集合A＝{x| x＜1}，则∁RA＝{ x | x＞1}    (　　)

(5)集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素．(　　)

2．设集合U＝R，M＝{x|x＞2或x＜0}，则∁UM＝(　　)

A．{x|0≤x≤2}  B．{x|0＜x＜2}

C．{x|x＜0，或x＞2}  D．{x|x≤0，或x≥2}

【经典例题】

题型一  补集定义的应用

点拨：求集合补集的两种方法

(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；

(2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．

例1 设U={x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5,6}，求∁UA，∁UB.

【跟踪训练】1 若集合A＝{x|－1≤x＜1}，当S分别取下列集合时，求∁SA.

(1)S＝R；(2)S＝{x|x≤2}；(3)S＝{x|－4≤x≤1}．

题型二  交、并、补的综合运算

点拨：求集合交、并、补运算的方法
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．

(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算，解答过程中要注意边界问题．

例2 已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}．求∁UA，A∩B，∁U(A∩B)，(∁UA)∩B.

【跟踪训练】2 设全集U＝{3,6，m2－m－1}，A＝{|3－2m|,6}，∁UA＝{5}，求实数m.

题型三  利用集合间的关系求参数

例3 已知U＝R，A＝{x|x2＋px＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若(∁UA)∩B＝{2}，(∁UB)∩A＝{4}，求A∪B.

【跟踪训练】3 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围．

【当堂达标】

1.已知三个集合U，A，B之间的关系如图所示，则(∁UB)∩A＝(　　)

A．{3}     B．{0,1,2,4,7,8}    C．{1,2}    D．{1,2,3}

2.设全集U＝R，A＝{x|0≤x≤6}，则∁RA等于(　　)

A．{0,1,2,3,4,5,6}   B．{x|x<0或x>6}    C．{x|0<x<6}      D．{x|x≤0或x≥6}

3.已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝(　　)

A．{x|x≥0}        B．{x|x≤1}          C．{x|0≤x≤1}       D．{x|0＜x＜1}

4．设全集U＝{0,1,2,3}，集合A＝{x|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝________.

5.已知全集U＝R，A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，求A∪B，(∁UA)∩B.

【课堂小结】

一．全集、补集概念的理解

1.全集的相对性：全集只是一个相对性的概念，只包含所研究问题中涉及的所有元素，全集因所研究问题的不同而不同。

2.补集的相对性：集合A的补集的前提是A是全集U的自己，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的。

二．补集的性质

1.∁UA∪A=U, ∁UA∩A=∅.

2.∁U∅=U, ∁UU=∅.

【参考答案】

【自主学习】

一．全集， U.

二．不属于全集U  ∁UA  ∉

三．(1) ∅；(2) U；(3) A；(4) U；(5) ∅.

【小试牛刀】

1.(1)√ (2)× (3)√ (4) × (5)√  2.A

【经典例题】

例1解：根据题意可知，U={1,2,3,4,5,6,7,8}，所以∁UA={4,5,6,7,8}，∁UB={1,2,7,8}。

【跟踪训练】1解：(1)把集合S和A表示在数轴上如图所示：

由图知∁SA＝{x|x＜－1，或x≥1}．

(2)把集合S和A表示在数轴上，如图所示：

由图易知∁SA＝{x|x＜－1，或1≤x≤2}．

(3)把集合S和A表示在数轴上，如图所示：

由图知∁SA＝{x|－4≤x＜－1，或x＝1}．

例2 解：把全集U和集合A，B在数轴上表示如下 ：

由图可知∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，

A∩B＝{x|－2<x<3}，

∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，  (∁UA)∩B＝{x|－3<x≤－2或x＝3}．

【跟踪训练】2 解：因为∁UA＝{5}，所以5∈U但5∉A，所以m2－m－1＝5，解得m＝3或m＝－2.

当m＝3时，|3－2m|＝3≠5，此时U＝{3,5,6}，A＝{3,6}，满足∁UA＝{5}；

当m＝－2时，|3－2m|＝7≠5，此时U＝{3,5,6}，A＝{6,7}，不符合题意舍去．

综上，可知m＝3.

例3 解：由(∁UA)∩B＝{2}，得2∈B且2∉A.

由A∩(∁UB)＝{4}，得4∈A且4∉B.

分别代入得，

∴p＝－7，q＝6，∴A＝{3，4}，B＝{2，3}，

∴A∪B＝{2，3，4}．

【跟踪训练】3 解：由已知A＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}，

因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅，

所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是m≥2.

【当堂达标】

1.C解析：由Venn图可知U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,3}，B＝{3,5,6}，所以(∁UB)∩A＝{1,2}．

2.B 解析：由补集定义并结合数轴易知∁RA＝{ x | x <0或x >6}，故选B.

3. D 解析：∵A∪B＝{ x | x≤0或x≥1}，∴∁U(A∪B)＝{ x |0＜x＜1}．故选D.3. 4

4. －3 解析：∵U＝{0,1,2,3}，∁UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故m＝－3.

5.解：∵B＝{x|x≥3}，∁UA＝{x|x＜2或x≥4}，

∴A∪B＝{x|x≥2}，(∁UA)∩B＝{x|x≥4}．