高中数学1.4 充分条件与必要条件优质学案

1.4　充分条件与必要条件

1.4.1  充分条件与必要条件

【学习目标】

【自主学习】

一．充分条件与必要条件的概念

一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个     条件．

数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个       条件．

解读：(1)充分、必要条件的判断讨论的是“若p，则q”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若p，则q”的形式．

(2)不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”．

二．充分条件、必要条件与集合的关系

设A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}

【小试牛刀】

1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)

(1)若p是q的充分条件，则p是唯一的．(　 　)

(2)p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同．(　　)

(3)若q不是p的必要条件，则“p⇏q”成立．(　  　)

(4)q是p的必要条件是指“要使p成立，必须要有q成立”也就是说“若q不成立，则p一定不成立”．(　　)

(5)若A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的充分条件．(　　)

2．“a＝b”是“ac＝bc”的________条件．(充分，必要)

【经典例题】

题型一  充分条件、必要条件的判定

点拨：充分、必要条件的判断方法

1.定义法：首先分清条件和结论，然后判断p⇒q和q⇒p是否成立，最后得出结论．

2.命题判断法：

①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；

②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．

例1 下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形。

（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似。

（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直。

（4）

（5）若a=b，则ac=bc。

（6）若x，y为无理数，则xy为无理数。

【跟踪训练】1 下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？

（1）若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等。

（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例。

（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形。

（5）若ac=bc，则a=b

（6）若xy为无理数，则x，y为无理数

题型二　利用充分条件、必要条件求参数的范围

点拨：

1.利用充分、必要条件求参数的思路

根据充分、必要条件求参数的取值范围时，先将p，q等价转化，再根据充分、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．

2.从集合角度看充分、必要条件：设命题p、q分别对应集合A、B，若A⊆B，则p是q的充分条件；若B⊆A，则p是q的必要条件．

例2 已知集合，，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．

【跟踪训练】2已知条件p：x2＋x－6＝0，条件q：mx＋1＝0(m≠0)，且q是p的充分条件，求m的值．

【当堂达标】

1.(多选)设x∈R，则使x＞3.14成立的一个充分条件是(　　)

A．x＞3.5       B．x＜3        C．x＞4          D．x＜4

2.设集合A＝{x|0≤x≤3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，那么“m∈A”是“m∈B”的(　　)

A．充分条件                       B．必要条件

C．既是充分条件也是必要条件       D．既不充分又不必要条件

3.若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的(　　)

A．充分条件                         B．必要条件

C．既不是充分条件也不是必要条件     D．无法判断

4.俗语云“好人有好报”，这句话的意思中：“好人”是“有好报”的(　　)

A．充分条件   B．必要条件

C．既不充分又不必要条件   D．无法判断

5.设x，y∈R，那么“x>y>0”是“>1”的________条件(填“充分”或“必要”)．

6.已知p：关于x的不等式<x<，q：0<x<3，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．

【课堂小结】

1．能够将一个命题改写成“若p，则q”的形式，并能准确地用语言表述充分条件、必要条件．

2．充分条件、必要条件的判断，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”的真假，“若p，则q”为真命题，则p是q的充分条件，否则p不是q的充分条件．“若q，则p”为真命题，则p是q的必要条件．

3．掌握集合的包含关系与充分条件、必要条件的关系.

【参考答案】

【自主学习】

⇒ ⇏ 充分　必要 充分　必要

【小试牛刀】

1.× √ √ √ √  2.充分

【经典例题】

例1 （1）这是平行四边形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件。

（2）这是一条相似三角形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件。

（3）这是一条菱形的性质定理， p⇒q，所以p是q的充分条件。

（4）由于(-1)2  =1，但是-1≠1，p⇏q，所以p不是q的充分条件。

（5）由等式的性质知， p⇒q，所以p是q的充分条件。

（6）为无理数但是有理数，p⇏q，所以p不是q的充分条件。

【跟踪训练】1

（1）这是平行四边形的性质定理，p⇒q，所以 q是p的必要条件。

（2）这是三角形相似的性质定理，p⇒q，所以 q是p的必要条件。

（3）如图，对角线垂直，但不是菱形，p ⇏q，所以 q不是p的必要条件。

（4）显然p⇒q，所以 q是p的必要条件。

（5）由于 ，但，p ⇏q，所以 q不是p的必要条件。

（6）由于为无理数，但不全是无理数，p ⇏q，所以 q不是p的必要条件。

例2 解：若“”是“”的必要条件，则，

①当时，；

②，则且，.

综上所述，或．

【跟踪训练】2 解：解x2＋x－6＝0得x＝2或x＝－3，

令A＝{2，－3}，B＝，

∵q是p的充分条件，∴B⊆A.

当－＝2时，m＝－；当－＝－3时，m＝.

所以m＝－或m＝.

【当堂达标】

1.AC 解析：∵x>3.5⇒x>3.14，x>4⇒x>3.14.∴x>3.14成立的一个充分条件是x>3.5或x>4.故选AC.

2.B 解析：因为集合A＝{x|0≤x≤3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，则由“m∈A”得不到“m∈B”，反之由“m∈B”可得到“m∈A”，故选B.

3. A解析：当a＝1时，|a|＝1成立，但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立．

∴“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件．

4. A 解析：这句话的意思中，“好人”⇒“有好报”，所以“好人”是“有好报”的充分条件．选A.

5. 充分 解析：x>y>0⇒>1，而由>1推不出x>y>0，如：x＝－5，y＝－4，满足>1，但－5<－4，即x<y<0，不满足x>y>0.故x>y>0是>1的充分条件．

6. 解：记A＝，B＝{x|0<x<3}，

若p是q的充分条件，则A⊆B.

注意到B＝{x|0<x<3}≠∅，分两种情况讨论：

①若A＝∅，即≥，解得m≤0，此时A⊆B，符合题意；

②若A≠∅，即<，解得m>0，

要使A⊆B，应有解得0<m≤3.

综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}．