高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件精品学案

1.4.2  充要条件

【学习目标】

【自主学习】

一．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有       ，又有        ，就记作         ，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为        条件.

二．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为        条件.

思考：“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？

解读：从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件

①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．

②若p⇔q，则p是q的充要条件．

③若p⇒q，且qp，则称p是q的充分不必要条件．

④若pq，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．

⑤若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．

三．“⇔”的传递性

若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有     ，即p是s的充要条件．

【小试牛刀】

1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)

(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(　　)

(2)符号“⇔”具有传递性．(　　)

(3)若pq和qp有一个成立，则p一定不是q的充要条件．(　　)

(4)数学中的每一个定义都是一个充要条件．(　　)

2．“ab＝0”是“a＝0”的(　　)

A．充分不必要条件                B．必要不充分条件

C．充要条件                       D．既不充分也不必要条件

【经典例题】

题型一  充要条件的判断

点拨：判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法

1.定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.

2.集合法：情形如下：记命题p：集合A，命题q：集合B.

①若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件．

②若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件．

③若A＝B，则p，q互为充要条件．

3.传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性.

例1 下列各组命题中，哪些p是q的充要条件？

（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；

（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；

（3）p：xy>0，q：x>0，y>0；

（4）p：，q：．

【跟踪训练】1已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：

(1)p是r的什么条件？

(2)s是q的什么条件？

(3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？

题型二  充要条件的证明

点拨：充要条件证明的两个思路

(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性.

(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件.

例2 已知ab≠0，求证：a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件.

(提示：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2))

【跟踪训练】2  求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.

题型三 充要条件的应用

点拨：应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤

(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.

(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.

例3　设A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－1＜x＜m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．

【跟踪训练】3 已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．

【当堂达标】

1．设，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2.已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　)

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件

C.充要条件         D.既不充分也不必要条件

3.已知A，B是非空集合，命题p：A∪B＝B，命题q：AB，则p是q的(　　)

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件

4.函数y＝x2－2x－a的图象与x轴无交点的充要条件是________．

5.已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0.

6.求方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．

【课堂小结】

1．充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法．

2．充要条件的证明与探求

(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明．在证明时要注意两种叙述方式的区别：

①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；

②p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性．

(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.

【参考答案】

【自主学习】

一、    p⇒q  q⇒p  p⇔q  充要  

二、    充要

思考：(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论.

(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.

三、p⇔s

【小试牛刀】

1.(1)√　(2)√　(3)√　(4)√  2.B

【经典例题】

例1 解:（1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，所以qp，所以p不是q的充要条件。

（2）因为“若p，则q”是三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，它们均为真命题，既p ⇔ q，所以p是q的充要条件。

（3）因为当xy >0时，x>0,y>0不一定成立，所以pq,所以p不是q的充要条件。

（4）若，则，即；若，则，即，故，

所以p是q的充要条件．

【跟踪训练】1 解：作出“⇒”图，如右图所示，

可知：p⇒q，r⇒q，q⇒s，s⇒r.

(1)p⇒q⇒s⇒r，且r⇒q，q能否推出p未知，∴p是r的充分条件．

(2)∵s⇒r⇒q，q⇒s，∴s是q的充要条件．

(3)共有三对充要条件，q⇔s；s⇔r；r⇔q.

例2 解：设p：a3+b3+ab-a2-b2=0，q：a+b=1.

（1）充分性(p⇒q)：

∵a3+b3+ab-a2-b2=0，

∴(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0，即(a2-ab+b2)(a+b-1)=0，

∵ab≠0，a2-ab+b2=，

∴a+b-1=0，即a+b=1.

（2）必要性(q⇒p)：

∵a+b=1，

∴b=1-a，

∴a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0，

综上所述，a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.

【跟踪训练】2 证明：必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，

∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，

a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.

充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b.

代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得ax2＋bx－a－b＝0.

即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.

故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.

例3  m＞2 解析：因为A＝{x|－1＜x＜3}，x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，所以AB，所以m＋1＞3，即m＞2.

【跟踪训练】3  解：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，则方程有两个大于1的实数根x1，x2：

⇔⇔⇔⇔k<－2.

所以使方程有两个大于1的实根的充要条件是k<－2.

【当堂达标】

1.A 解析：时，，故充分性成立，，解得：或，故必要性不成立，

所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A

2. A 解析：a＝3时，A＝{1，3}，A⊆B，当A⊆B时，a＝2或3.

3.D 解析：由A∪B＝B，得AB或A＝B；反之，由AB，得A∪B＝B，所以p是q的必要不充分条件．

4. a＜－1 解析：Δ＝4＋4a＜0，∴a＜－1.

5. 证明：证法一：①充分性：由xy>0及x>y，得>，即<.

②必要性：由<，得－<0，即<0.

因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0.

所以<的充要条件是xy>0.

证法二：<⇔－<0⇔<0.

由条件x>y⇔y－x<0，故由<0⇔xy>0.

所以<⇔xy>0，

即<的充要条件是xy>0.

6. 解：当a＝0时，方程为2x＋1＝0，∴x＝－为一负根．

当a＜0时，∵Δ＝4－4a＞0，且x1x2＝＜0，x1＋x2＝－＞0，为一正根、一负根．

当a＞0时，得0＜a≤1.

综上：a≤1.