高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示精品第2课时学案

3.1 函数的概念及其表示

3.1.1 第2课时 函数的概念（二）

【学习目标】

【自主学习】

一．函数的三要素

由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：       、        和      ．

二．同一函数

值域是由       和      决定的，如果两个函数的定义域和      相同，我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同，但定义域不同，则它们     相同的函数．

【小试牛刀】

1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．(　　)

(2)两个函数相同指定义域和值域相同的函数．(　　)

(3)f(x)＝3x＋4与f(t)＝3t＋4是相同的函数．(　　)

(4)两个函数的定义域和值域相同就表示同一函数．(　　)

2.已知函数f(x)＝.

(1)函数f(x)的定义域是什么？

(2)函数f(x)的值域是什么？

【经典例题】

题型一　同一函数的判断

点拨：判断两个函数为同一函数的方法

判断两个函数是否为同一函数，要先求定义域，若定义域不同，则不是同一函数；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．

注意：（1）在化简解析式时，必须是等价变形.（2）函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.

例1 下列各组式子是否表示同一函数？为什么？

(1)f(x)＝|x|，φ(t)＝；

(2)y＝，y＝()2；

(3)y＝·，u＝；

(4)y＝，y＝x－3.

【跟踪训练】1 与函数y＝x－1为同一函数的是(　　)

A．y＝    B．m＝()2   C．y＝x－x0  D．y＝

题型二　求函数值

点拨：求函数值的方法

①已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．

②求f[g(a)]的值应遵循由里往外的原则．

例2 已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).

(1)求f(2)，g(2)的值；    (2)求f(g(3))的值.

【跟踪训练】2已知函数f(x)＝.

(1)求f(2)；(2)求f(f(1)).

题型三　求函数值域

点拨：求函数值域常用的4种方法

①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；

②配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；

③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；

④换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法．

例3 求下列函数的值域：

（1）y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；    （2）y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；

（3）y＝；                  (4)y＝x＋.

【跟踪训练】3 求下列函数的值域：

(1)y＝－1；   (2)y＝；   (3)y＝2x－.

【当堂达标】

1.(多选)下列函数中，值域为(0，＋∞)的是(　　)

A．y＝     B．y＝     C．y＝ D．y＝x2＋1

2.函数f(x)＝(x∈R)的值域是(　　)

A．(0,1)      B．(0,1]       C．[0,1)      D．[0,1]

3.设函数f(x)＝，若f(a)＝2，则实数a＝________.

4.下列各组函数：

①f(x)＝，g(x)＝x－1；②f(x)＝，g(x)＝；③f(x)＝，g(x)＝x＋3；

④f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0；

⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5).

其中表示相等函数的是________(填上所有正确的序号).

5.已知函数f(x)＝x2＋x－1.

(1)求f(2)，f ；  (2)若f(x)＝5，求x的值.

6.求下列函数的值域：

(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；   (2)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)；

(3)y＝；                 (4)y＝x－.

【课堂小结】

1.对同一函数的概念的理解

(1)函数有三个要素：定义域、值域、对应关系．函数的定义域和对应关系共同确定函数的值域，因此当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数．

(2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定

是同一函数，因为函数对应关系不一定相同．如y＝x与y＝3x的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数．

2.求函数值域的常用方法有：观察法、配方法、分离常数法、换元法.

【参考答案】

【自主学习】

一．定义域 对应关系 值域

二．定义域 对应关系 对应关系   不是 

【小试牛刀】

1.(1) √　(2)×  (3)√　(4)×

2. (1)(－∞，－1]∪[1，＋∞)　(2)[0，＋∞)

【经典例题】

例1 解：(1)f(x)与φ(t)的定义域相同，又φ(t)＝＝|t|，即f(x)与φ(t)的对应关系也相同，∴f(x)与φ(t)是同一函数．

(2)y＝的定义域为R，y＝()2的定义域为{x|x≥0}，两者定义域不同，故y＝与y＝()2不是同一函数．

(3)y＝·的定义域为{x|－1≤x≤1}，u＝的定义域为{v|－1≤v≤1}，即两者定义域相同．又∵y＝·＝，∴两函数的对应关系也相同．故y＝·与u＝是同一函数．

(4)∵y＝＝|x－3|与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同，

∴y＝与y＝x－3不是同一函数．

例2 解：(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝. 又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.

(2)∵g(3)＝32＋2＝11，∴f(g(3))＝f(11)＝＝.

【跟踪训练】2解：(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝.

(2)f(1)＝＝，f(f(1))＝f＝＝.

例3解：（1）(观察法)∵x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．

（2）(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，可得函数的值域为[2,6)．

（3）(分离常数法)y＝＝＝2＋，显然≠0，∴y≠2.

故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．

 (4)(换元法)设u＝，则x＝(u≥0)，∴y＝＋u＝(u≥0)

由u≥0知(u＋1)2≥1，∴y≥.∴函数y＝x＋的值域为.

【跟踪训练】3 解：(1)(观察法)∵≥0，∴－1≥－1.∴y＝－1的值域为[－1，＋∞)．

(2)(分离常数法) y＝＝＝＝－.

∵≠0， ∴y≠.  ∴函数的值域为.

（3）(换元法)设＝t，则t≥0，且x＝t2＋1.

∴y＝2(t2＋1)－t＝2t2－t＋2＝22＋.∵t≥0，∴y≥.

故函数的值域为.

【当堂达标】

1.BC 解析： y＝的值域为[0，＋∞)， y＝x2＋1的值域为[1，＋∞)．

2.B 解析：由于x∈R，所以x2＋1≥1,0<≤1，即0<y≤1.

3. －1解析：由f(a)＝＝2，得a＝－1.

4. ⑤ 解析：①f(x)与g(x)的定义域不同，不是相等函数；②f(x)与g(x)的解析式不同，不是相等函数；③f(x)＝|x＋3|，与g(x)的解析式不同，不是相等函数；④f(x)与g(x)的定义域不同，不是相等函数；⑤f(t)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同，故是相等函数.

5.解:(1)f(2)＝22＋2－1＝5， f ＝＋－1＝.

(2)∵f(x)＝x2＋x－1＝5，∴x2＋x－6＝0， ∴x＝2或x＝－3.

6.解： (1)∵x∈{1,2,3,4,5}，∴(2x＋1)∈{3,5,7,9,11}，即所求函数的值域为{3,5,7,9,11}．

(2)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2.

∵x∈[1,5)，∴其图象如图所示，

当x＝2时，y＝2；当x＝5时，y＝11.∴所求函数的值域为[2,11)．

(3)函数的定义域为{x|x≠1}，y＝＝－＝－5－，所以函数的值域为{y|y≠－5}．

(4)要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域为{x|x≥－1}．设t＝，则x＝t2－1(t≥0)，于是y＝t2－1－t＝2－，又t≥0，故y≥－，所以函数的值域为{y|y≥－}．