高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制优秀导学案

5.1.2   弧度制

【学习目标】

【自主学习】

一．度量角的两种单位制

1.角度制：

(1)定义：用    作为单位来度量角的单位制．

(2)1度的角：周角的    .

2.弧度制：

(1)定义：以     作为单位来度量角的单位制．

(2)1弧度的角：长度等于      的圆弧所对的圆心角．

3.弧度数

　一般地，正角的弧度数是一个    ，负角的弧度数是一个    ，零角的弧度数是   .

如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝    .

这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．

思考1：比值与所取的圆的半径大小是否有关？

4.弧度制与角度制的换算公式

5.一些特殊角与弧度数的对应关系

6.角的集合与实数集R的关系

角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起        的关系：每一个角都有    的一个实数(等于这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有    的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应，如图．

二．扇形的弧长和面积公式

设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则

1.弧长公式：l＝   .

2.扇形面积公式：S＝     ＝      .

注意：(1)α为弧度制．

(2)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：

①l＝|α|·r，|α|＝，r＝；②S＝|α|r2，|α|＝.

思考2：扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似？对应的图形是否也类似？

【小试牛刀】

1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)1弧度的角大于1度的角. (　　)

(2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值．(　　)

(3)1弧度的角是周角的. (　　)

(4)与45°终边相同的角可以写成α＝2kπ＋45°，k∈Z.(　　)

2.2 rad的角的终边在(　　)

A．第一象限　　B．第二象限      C．第三象限     D．第四象限

3.半径为2，圆心角为的扇形的面积是________．

【经典例题】

题型一  角度制与弧度制的互化

点拨：角度制与弧度制互化的关键与方法

1.关键：抓住互化公式π rad＝180°是关键；

2.方法：度数×＝弧度数；弧度数×°＝度数；

3.角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.

例1 将下列角度与弧度进行互化．

(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－.

【跟踪训练】1 (1)已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝π，试比较它们的大小．

(2)把－1 480°写成2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？

题型二  用弧度制表示终边相同的角

点拨：1.弧度制下与角α终边相同的角的表示

在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．

2.根据已知图形写出区域角的集合的步骤

(1)仔细观察图形．

(2)写出区域边界作为终边时角的表示．

(3)用不等式表示区域范围内的角．

例2　将－1125°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π.并判断它是第几象限角？

【跟踪训练】2 用弧度制表示终边落在如图（右）所示阴影部分内的角θ的集合.

题型三 弧长公式与扇形面积公式的应用

点拨：弧度制下解决扇形相关问题的步骤

1.明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝αr2和S＝lr.(这里α必须是弧度制下的角)

2.分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式．

3.根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．

注意：看清角的度量制，恰当选用公式．

例3 (1)求半径为2，圆心角为的圆弧的长度．

 (2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．

【跟踪训练】3 已知扇形AOB的周长为10 cm，求该扇形的面积的最大值及取得最大值时圆心角的大小及弧长．

【当堂达标】

1.圆的半径为r，该圆上长为r的弧所对的圆心角是(　　)

A. rad　          B． rad            C. rad              D． rad

2.(多选)下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是(    )

A.2kπ＋45°(k∈Z)   B.k·360°＋(k∈Z)   C.k·360°－315°(k∈Z) D.2kπ＋(k∈Z)

3.－135°化为弧度为______，化为角度为________.

4.已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2，则扇形的面积为________ cm2.

5.用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．

6.已知扇形OAB的周长是60 cm，求扇形OAB的最大面积及此时弧长AB.

【参考答案】

【自主学习】

一．1.度   2.弧度 半径长 3.正数 负数 0  

思考1：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．

4. 2π  π  360°  180° 6. 一一对应  唯一  唯一

二．αR   lR   αR2

思考2：扇形的面积公式与三角形的面积公式类似．实际上，扇形可看作是一个曲边三角形，弧是底，半径是底上的高

【小试牛刀】

1. (1) √　(2)√　(3)×　(4)×

2.B

3.　解析：由已知得S扇＝××22＝.

【经典例题】

例1  解：(1)20°＝＝.

(2)－15°＝－＝－.

(3)＝×180°＝105°.

(4)－＝－×180°＝－396°.

【跟踪训练】1 解析：(1)法一：(化为弧度)：

α＝15°＝15×＝，

θ＝105°＝105×＝，

显然＜＜1＜.故α＜β＜γ＜θ＝φ.

法二：(化为角度)：

β＝＝×()°＝18°，γ＝1≈57.30°，

φ＝×()°＝105°.

显然，15°＜18°＜57.30°＜105°.故α＜β＜γ＜θ＝φ.

(2)－1 480°＝－1 480×＝－＝－10π＋，其中0≤<2π，因为是第四象限角，所以－1 480°是第四象限角．

例2 解：－1 125°＝－1 125×＝－＝－8π＋.

其中<<2π，因为是第四象限角，所以－1 125°是第四象限角.

【跟踪训练】2 解：终边落在射线OA上的角为θ＝135°＋k·360°，k∈Z，

即θ＝＋2kπ，k∈Z.

终边落在射线OB上的角为θ＝－30°＋k·360°，k∈Z，即θ＝－＋2kπ，k∈Z，

故终边落在阴影部分的角θ的集合为

例3  解：(1)∵半径R＝2，圆心角α＝，

∴弧长l＝|α|·R＝.

(2)设扇形的半径为r，弧长为l，所对圆心角为α(0<α<2π)．

则解得或

当r＝1时，l＝8，此时α＝＝8(rad)>2π，不符合，舍去；

当r＝4时，l＝2，此时α＝＝＝(rad)．

∴所求圆心角的弧度数为rad.

【跟踪训练】3 解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，

由l＋2r＝10得l＝10－2r，

S＝lr＝(10－2r)·r＝5r－r2＝－2＋，0<r<5.

当r＝时，S取得最大值，

这时l＝10－2×＝5，∴θ＝＝＝2.

故该扇形的面积的最大值为cm2，取得最大值时圆心角为2 rad，弧长为5 cm.

【当堂达标】

1.B 解析：由弧度数公式α＝，得α＝＝，因此圆弧所对的圆心角是 rad.

2.CD 解析：A、B中弧度与角度混用，不正确；＝2π＋，所以与终边相同.

－315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°终边相同，即与终边相同.

3. －  660° 解析：－135°＝－135×＝－；＝×180°＝660°.

4. 4 解析：设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，由圆心角为2 rad，依据弧长公式可得l＝2r，从而扇形的周长为l＋2r＝4r＝8，解得r＝2，则l＝4.

故扇形的面积S＝lr＝×4×2＝4 cm2.

5. 解：对于题图(1)，225°角的终边可以看作是－135°角的终边，化为弧度，即－，60°角的终边即的终边，

∴所求集合.

对于题图(2)，同理可得，所求集合为

∪

＝.

6. 解：设弧长为l，半径为r，由已知l＋2r＝60，

所以l＝60－2r，|α|＝＝，

从而S＝|α|r2＝··r2＝－r2＋30r＝－(r－15)2＋225，

当r＝15时，S取最大值为225，这时圆心角α＝＝＝2 rad，

可得弧长AB＝αr＝2×15＝30 (cm)．