2022-2023学年湖北省黄冈市蕲春县九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖北省黄冈市蕲春县九年级（上）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了0分，0分)，【答案】A，【答案】D等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省黄冈市蕲春县九年级（上）期中数学试卷注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。  第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）一元二次方程的二次项系数、一次项系数分别是(    )A. ， B. ， C. ， D. ，下列四幅图案中，属于中心对称图形的是(    )A.  B.  C.  D. 下列各数是一元二次方程的根的是(    )A.  B.  C.  D. 将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是(    )A.  B.
C.  D. 如图，把绕点顺时针旋转得到，则旋转角是(    )
 A.  B.  C.  D. 如图，的半径为，为弦，，垂足为，如果，那么的长是(    )A.
B.
C.
D. 二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是(    )A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴是直线
C. 抛物线的顶点是 D. 当时，随的增大而减小二次函数的图象如图所示，以下结论：；；；其顶点坐标为；当时，随的增大而减小；；方程有实数解，正确的有(    )
 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是          ．方程的根是______．小云家开了一个小文具店，今年一月份的利润是元，三月份的利润是元，计算这个文具店这两个月利润的平均下降率．设这两个月利润的平均下降率为，则可列方程得______．若、是方程的两根，则______．如图，在平面直角坐标系中，将线段绕点顺时针旋转得到线段，其中，则的坐标是______．
抛物线的顶点坐标为______ ．如图，的直径，点在上，，则的长是______ ．
 如图，是等边内一点，且，，，若绕点逆时针旋转后，得到，则______
  三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
解下列方程
；
．本小题分
已知关于的方程．
若，求原方程的根；
求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根．本小题分
某水果商场经销一种高档水果，原价每千克元，连续两次降价后每千克元，若每次下降的百分率相同
求每次下降的百分率；
若每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价元，日销售量将减少千克，现该商场要保证每天盈利元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？本小题分
如图，是的直径，弦于点，，，求的半径的长．
本小题分
如图，半径为的与轴交于点，
求点的坐标；
将绕点顺时针方向旋转后得，交轴于、，求过、、三个点的抛物线的解析式．
本小题分
某水果商店销售一种进价为元千克的优质水果，若售价为元千克，则一个月可售出千克；若售价在元千克的基础上每涨价元，则月销售量就减少千克．
当售价为元千克时，每月销售水果多少千克？
当月利润为元时，每千克水果售价为多少元？
当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？本小题分
在中，，，，，分别交直线、于点、．

如图，当时，求证：；
如图，当时，求证：；
当时，旋转至图位置，请你直接写出线段、、之间的数量关系．本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于，两点，其中，．
求抛物线的函数表达式；
点为直线下方抛物线上任意一点，连接，，求面积的最大值及此时点的坐标；
点为抛物线对称轴上的一点，当以点，，为顶点的三角形为等腰三角形时，直接写出点的坐标．

答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
考查了一元二次方程的一般形式：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
找出所求的二次项系数、一次项系数即可．
【解答】
解：一元二次方程的二次项系数，一次项系数分别是，．
故选A．  2.【答案】 【解析】【分析】
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
根据中心对称图形的概念判断．
【解答】
解：、不是中心对称图形；
B、是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、不是中心对称图形．
故选：．  3.【答案】 【解析】解：，
或，
所以，．
故选：．
先利用因式分解法解方程，然后对各选项进行判断．
本题考查了用因式分解法十字相乘法解一元二次方程，熟练利用十字相乘法进行因式分解是解题的关键。
 4.【答案】 【解析】解：由题意得原抛物线的顶点为，
平移后抛物线的顶点为，
新抛物线解析式为，
故选：．
易得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式．
考查二次函数的几何变换；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数；得多新抛物线的顶点是解决本题的突破点．
 5.【答案】 【解析】解：如图，把绕点顺时针旋转得到，
旋转角是或，
故选：．
根据旋旋转角的定义即可判断；
本题考查旋转变换，旋转角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
 6.【答案】 【解析】【分析】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
连接，由于半径，利用垂径定理可知，又，，易求，在中利用勾股定理易求，进而可求．
【解答】解：连接，
半径，
，
，，
，
在中，，
，
故选：．  7.【答案】 【解析】【分析】
本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
利用二次函数的性质一一判断即可；
【解答】
解：二次函数，
，
抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴是直线，
故A，，C正确，
故选D．  8.【答案】 【解析】【分析】
本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
根据二次函数的性质即可求出答案．
【解答】
解：由图象开口可知：，
由图像与轴交点知：，
，
，
，故正确；
由图象可知：，
，
，故正确；
抛物线与轴交于点，，
抛物线的对称轴为：，
，
，
故正确；
由图象可知顶点坐标的纵坐标小于，故错误；
由可知抛物线的对称轴为，
由图象可知：时，随着的增大而减小，
故正确；
由图象可知：时，，
，
故错误；
由图象可知，顶点的纵坐标大于，
方程无实数解，
故错误；
故选：．  9.【答案】 【解析】解：根据平面直角坐标系内两点关于原点对称则两点的横、纵坐标互为相反数，
点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为．
根据平面直角坐标系内，两点关于原点对称则两点的横、纵坐标互为相反数，即可得出答案．
本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称的坐标特点，熟记关于原点对称的两点的横、纵坐标互为相反数是解题关键．
 10.【答案】， 【解析】解：，
或，
解得：，．
故答案为，．
原方程可直接运用因式分解法求解．
此题主要考查了解一元二次方程因式分解法，只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．
 11.【答案】 【解析】解：设这两个月利润的平均下降率为，则可列方程得：
．
故答案为：．
直接利用一元二次方程中下降率求法得出方程即可．
本题考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为，平均每次增长或降低的百分率为的话，经过第一次调整，就调整到，再经过第二次调整就是增长用“”，下降用“”．
 12.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了根与系数的关系．若二次项系数为，常用以下关系：，是方程的两根时，，，反过来可得，，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
根据根与系数的关系直接得到、的值，然后将其代入所求的代数式进行求值．
【解答】
解：、是方程的两根，
，，
．
故答案是：．  13.【答案】 【解析】解：如图，观察图象可知，．

故答案为．
根据题意画出图形，即可解决问题．
本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
 14.【答案】 【解析】解：物线，
该抛物线的顶点坐标为，
故答案为：．
根据题目中的抛物线，可以写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 15.【答案】 【解析】解：直径，
，
点在上，，
，
故答案为：．
根据圆周角定理得出，进而利用直角三角形中所对直角边等于斜边一半，求出即可．
此题主要考查了圆周角定理，根据已知得出是解题关键．
 16.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理逆定理的应用，作辅助线构造出等边三角形与直角三角形是解题的关键．
连接，根据旋转变换的性质可得和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，然后证明是等边三角形，根据等边三角形的每一个角都是可得，每一条边都相等可得，再根据勾股定理逆定理证明是直角三角形，然后根据代入数据进行计算即可得解．
【解答】
解：如图，连接，

绕点逆时针旋转得到，
≌，
，，
旋转角是，
是等边三角形，
，，
，，
，
是以为直角的直角三角形，
．
故答案为．  17.【答案】解：，
或，
解得，；
，
，
则或，
解得，． 【解析】利用直接开平方法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 18.【答案】解：若，原方程为，
解得：，；
，
，
，
无论为何值，方程总有两个不相等的实数根． 【解析】把代入方程，解一元二次方程即可；
利用根的判别式判定即可．
本题考查了的根的判别式以及解一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
 19.【答案】解：设每次下降的百分率为，根据题意，得：
，
解得：舍或，
答：每次下降的百分率为；

设每千克应涨价元，由题意，得
，
整理，得，
解得：，，
因为要尽快减少库存，所以符合题意．
答：该商场要保证每天盈利元，那么每千克应涨价元． 【解析】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到隐含的相等关系，列出方程，解答即可．
设每次降价的百分率为，为两次降价的百分率，降至就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；
根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值．
 20.【答案】解：连接，如图所示：
是的直径，弦于，
，，，
，
，
在中，，
，，
，，
，
即的半径长是． 【解析】连接，由圆周角定理和垂径定理得出，，由直角三角形的性质得出，，，得出，，求出即可．
本题考查的是垂径定理、圆周角定理、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
 21.【答案】解：连接，，过点作轴于点，如图所示．
，
．
点，，
，，，
．
在中，，，，
，
点的坐标为．
连接，，，设点在点的右边，过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示．
根据旋转的性质，可知：，，
点的坐标为．
在中，，，，
，
．
同理：，，
点的坐标为，点的坐标为．
设过，，三个点的抛物线的解析式为，
将，，代入，得：
，解得：，
过，，三个点的抛物线的解析式为． 【解析】连接，，过点作轴于点，由点，的坐标可得出的长度，利用等腰三角形的三线合一可得出，的长度，在中，利用勾股定理可得出的长度，结合的长度及点所在的象限即可得出点的坐标；
连接，，，设点在点的右边，过点作轴于点，过点作轴于点，根据旋转的性质可得出点的坐标，在中，利用勾股定理可得出的长度，进而可得出，的长，由，在轴负半轴可得出点，的坐标，再由点，，的坐标，利用待定系数法可求出过，，三个点的抛物线的解析式．
本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、旋转的性质以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：利用勾股定理求出点到轴的距离；利用旋转的性质及勾股定理，求出点，，的坐标．
 22.【答案】解：当售价为元千克时，每月销售水果千克；
设每千克水果售价为元，
由题意可得：，
解得：，，
答：每千克水果售价为元或元；
设每千克水果售价为元，获得的月利润为元，
由题意可得：，
当时，有最大值为元，
答：当每千克水果售价为元时，获得的月利润最大值为元． 【解析】本题主要考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握销售问题中关于销售总利润的相等关系，并据此列出函数解析式及熟练掌握二次函数的性质．
由月销售量销售单价，可求解；
设每千克水果售价为元，由利润每千克的利润销售的数量，可列方程，即可求解；
设每千克水果售价为元，获得的月利润为元，由利润每千克的利润销售的数量，可得与的关系式，由二次函数的性质可求解．
 23.【答案】证明：如图，连接，

，，，
，，，
，
，且，，
≌
；

证明：如图，在上截取，连接，，

，，，
，，，
，，，
≌，
，，
，
，
，
，
，，
≌，
，
；

，
理由如下：如图，过点作，连接，

，，，
，，，
，
，
，
，且，，
≌，
，，
，，，
≌，
，
，
． 【解析】如图，连接，由等腰直角三角形可得，，，由“”可证≌，可得；
如图，在上截取，连接，，由“”可证≌，可得，，由“”可证≌，可得，则；
如图，过点作，连接，由“”可证≌，可得，，由“”可证≌，可得，则．
本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
 24.【答案】解：将点、的坐标代入抛物线表达得：，解得，
故抛物线的表达式为；

由点、的坐标得，直线的表达式为，
过点作轴的平行线交直线于点，

设点，则点，
则面积，
，故面积有最大值，
当时，面积的最大值为，此时点；

由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，设点，
由点、、的坐标得：，，，
当时，即，解得；
当时，同理可得：；
当时，同理可得：，
故点的坐标为或或或或 【解析】用待定系数法即可求解；
由面积，即可求解；
分、、三种情况，分别求解即可．
本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．