2022-2023学年广东省佛山市顺德区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省佛山市顺德区九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列事件是必然事件的是(    )

A. 刻舟求剑
B. 两个不同温度的物体靠在一起，发生热传递
C. 水溶解金属
D. 受精卵发生了基因突变

2. 已知关于的方程：；；；，其中是一元二次方程的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3. 粤绣凝聚着历代艺人的天才与智慧，从艺术风格到创作思维都充满了岭南特色，在“针尖上的画意广绣精品与岭南绘画展”中，师傅要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是(    )

A. 测量四边形画框的两个角是否为
B. 测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分
C. 测量四边形画框的一组对边是否平行且相等
D. 测量四边形画框的四边是否相等

4. 若将一元二次方程化成为常数的形式，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 将张分别写着“强”“国”“有”“我”的卡片卡片的形状、大小、质地都相同放在盒子中，搅匀后从中随机取出张卡片，则取出的张卡片中，恰好组成“强国”的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，已知菱形的面积为，对角线，相交于点，且，则菱形的边长为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 三年多来，在中央的坚强领导下，粤港澳大湾区三地合作更加深入，综合实力显著增强，在大联通、大发展的道路上，大湾区整体经济实现平稳增长，年经济总量约万亿元，年经济总量约万亿元．若年到年的经济总量年平均增长率相同，那么年到年的年平均增长率为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在中，，为中点，于点，，且，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知一元二次方程的两个根分别为，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在边长为的正方形中，对角线，交于点，在上，连接，作交于点，交于点，连接交于点，延长交于点，连接，则下列结论：点到，的距离相等；；；若，则正确的有个．(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 方程的解是______ ．
12. 近年来，陕西省博物馆推出了一套青铜小分队系列盲盒，深受消费者的喜爱．商家为了估计件盲盒中每种款式的数量，经过抽样数据统计，其中抽到凤鸟的频率稳定在，由此可以估计盲盒里是凤鸟的数量为______件．
13. 如图，在正方形中，，是的中点，连接，作于，延长交于，则的面积为______．

14. 如图，在矩形中，，，点为上一点，将沿折叠得到，使边落在矩形对角线上，若，则______．

15. 若关于的方程的两根满足，均为常数，，则关于的方程的两根，满足的取值范围分别是______，______．

三、计算题（本大题共1小题，共12.0分）

16. 已知实数，，，若关于的方程和有一个相同的实数根，关于的方程和有一个相同的实数根，其中，满足求实数，，的值．

四、解答题（本大题共7小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    解方程：．
18. 本小题分
    佛山是珠江三角洲的“美食之乡”，粤菜发源地之一．某学校要举行“我为佛山美食代言”的宣讲活动，主要介绍佛山的民间特色食品，已知学校给定了个极具特色的主题：双皮奶，盲公饼，大良蹦砂，佛山九层糕，参加的选手从这四个主题中随机抽取一个进行宣讲，小明和小红都参加了这项活动．
    小明抽中“大良蹦砂”的概率是______；
    请用列表法或树状图法中的一种方法，求小明和小红抽中同一个主题的概率．
19. 本小题分
    如图，在中，，过点作的垂线交的延长线于点，连接
    求证：四边形是矩形；
    若，求点到的距离．

20. 本小题分
    已知关于的方程为常数的两个实数根分别是平行四边形的边长，则此平行四边形可能为菱形吗？若能，请求出的值与菱形的边长；若不能，请说明理由．
21. 本小题分
    如图，在中，，点，分别是和的中点，过点作交的延长线于点，连接．
    求证：四边形是菱形；
    若，，求菱形的面积．

22. 本小题分
    佛山市加快建设制造业创新高地，全球每生产两台微波炉就有一台出自顺德．一商场从顺德以每台元的价格进货一批微波炉，计划以每台元销售．在销售过程中发现：每月微波炉的销售量台与每台微波炉上涨价格元之间满足一次函数关系，如图是与的函数图象．
    求与之间的函数解析式；
    若该商场要求微波炉的月销售量不少于台，并且每月销售微波炉的利润率不低于，当该商场每月微波炉的销售利润为元时，微波炉的销售单价应定为多少？

23. 本小题分
    已知正方形，是对角线，是对角线一个动点，如图，连接，作于，交于点，以，为邻边作矩形．
    线段与的数量关系是______；
    如图，当交的延长线于点时，也以，为邻边作矩形请问矩形是正方形吗？请说明理由；
    如图，连接，若正方形的边长为，设，，请求出关于的函数关系式，并直接写出的取值范围．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、刻舟求剑，是不可能事件，不符合题意；
B、两个不同温度的物体靠在一起，发生热传递，是必然事件，符合题意；
C、水溶解金属，是不可能事件，不符合题意；
D、受精卵发生了基因突变，是随机事件，不符合题意．
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

2.【答案】 

【解析】解：符合一元二次方程的定义，符合题意；
由得到，未知数的最高次数是，不是一元二次方程，不符合题意；
中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
当时，不是一元二次方程，不符合题意．
综上所述，其中是一元二次方程的有个．
故选：．
根据一元二次方程的定义逐项判断即可．
本题主要考查一元二次方程的定义，即只含有一个未知数且未知数的次数为的整式方程，注意如果是字母系数的方程必须满足二次项的系数不等于才可以．
 

3.【答案】 

【解析】解：、四边形画框的两个角是否为，不能判定为矩形，故选项A不符合题意；
B、测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分，能判定为矩形，故选项B符合题意；
C、测量四边形画框的一组对边是否平行且相等，可以判定为平行四边形，不可以判定是否为矩形，故选项C不符合题意；
D、测量四边形画框的四边是否相等，可以判定为菱形，故选项D不符合题意；
故选：．
由平行四边形的判定与性质、菱形的判定，矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟记“对角线互相平分的四边形为平行四边形”是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
将一元二次方程化成为常数的形式，
，，
，
故选：．
利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程配方法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中取出的张卡片中，恰好组成“强国”的结果有种，
取出的张卡片中，恰好组成“强国”的概率为．
故选：．
画树状图得出所有等可能的结果数，以及取出的张卡片中，恰好组成“强国”的结果数，再利用概率公式求解即可．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，，
，
，
，
，
菱形的边长为．
故选：．
根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得，，在中，根据勾股定理可以求得的长，即可求得菱形的边长．
本题考查了勾股定理、菱形的性质以及菱形面积和周长的计算；熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解决问题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设年到年的年平均增长率为，
依题意得：，
解得：，不符合题意，舍去，
年到年的年平均增长率为．
故选：．
设年到年的年平均增长率为，利用年经济总量年经济总量年到年的年平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，为中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
先利用直角三角形斜边上的中线可得，从而可得，再根据垂直定义可得，从而可得，然后在中，求出的长，从而求出的长，即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，含度角的直角三角形，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质，以及含度角的直角三角形性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的两个根分别为，，
，，，




．
故选：．
先根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到，，，则变形为，然后利用整体的方法计算即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接，设交于点，
四边形是正方形，
，，
，，
，
点到，的距离相等，
故正确；
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故正确；
，
，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
故正确；
作于点，则，设，
，
，
，
，
，，
，，
∽，
，
，，
，
，
解得，不符合题意，舍去，
，
故错误，
故选：．
连接，设交于点，先证明，则点到，的距离相等，可判断正确；
证明≌，得，，由得，于是，，得，则，，则，可判断正确；
证明∽，得，变形为，而，所以∽，则；
作于点，设，则，由勾股定理求得，，由∽得，则，，再求得，可列方程，符合题意的值为，则，可判断错误．
此题重点考查正方形的性质、同角的补角相等、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
．
．
故答案为：．
先求得的值，然后利用平方根的定义求解即可．
本题主要考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：估计从这批盲盒中任意抽到凤鸟的概率为，
件．
故答案为：．
根据多次重复试验中事件发生的频率估计事件发生的概率即可．
本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，，
，，
是的中点，
，
，
于，
，
，
在和中，
，
≌，
，
的面积为，
故答案为：．
由四边形是正方形，，得，，而，则，再证明≌，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明≌是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设，
将沿折叠得到，，，，
，
，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
设，将沿折叠得到，得出，再根据勾股定理，求解即可．
本题考查了矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练应用勾股定理列方程解决问题．
 

15.【答案】   

【解析】解：把方程看作关于的一元二次方程，
关于的方程的两根满足，，
或，
或，
故答案为：或．
把方程看作关于的一元二次方程，利用关于的方程的两根满足，，得到或，从而得到方程的两根，满足的取值范围．
本题考查了一元二次方程的解，理解两个方程的根的关系是关键．
 

16.【答案】解：设是方程和的一个相同的实数根，
则，
解得，
设是方程和的一个相同的实数根，
则，
解得，
，
方程的两根之积等于，
也是方程的根，
则，
解得，
把代入方程和，
得，，
，
，，
，，． 

【解析】设是方程和的一个相同的实数根，设是方程和的一个相同的实数根，得，方程的两根之积等于，所以也是方程的根，解得，把代入方程和，进而可以解决问题．
此题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的一般形式，熟练掌握新定义是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
，
，
或，
所以，． 

【解析】先把方程变形为，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
 

18.【答案】 

【解析】解：共有个主题，
小明抽中“大良蹦砂”的概率是．
故答案为：．
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小明和小红抽中同一个主题的结果有种，
小明和小红抽中同一个主题的概率为．
直接利用概率公式求解即可．
画树状图得出所有等可能的结果数以及小明和小红抽中同一个主题的结果数，再利用概率公式求解即可．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

19.【答案】证明：，
，，
，
，
，
即，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；

解：过作于，

四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
即点到的距离是． 

【解析】求出，求出，根据平行线的性质得出，根据全等三角形的判定得出≌，根据全等三角形的性质得出，再根据矩形的判定定理证明即可；
过作于，求出是的中位线，再根据三角形的中位线性质求出答案即可．
本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，三角形的中位线性质等知识点，能熟记矩形的判定定理和性质定理是解此题的关键．
 

20.【答案】解：方程，
，
，，
关于的方程为常数的两个实数根分别是平行四边形的边长，
平行四边形相邻的两边分别为和，
当时，此平行四边形为菱形，
，
故的值为，菱形的边长为． 

【解析】利用因式分解法求得方程的根，根据菱形的性质即可得到，解得，从而得到的值为，菱形的边长为．
本题考查了因式分解法求一元二次方程的根，菱形的性质，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
 

21.【答案】证明：，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
是的中点，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，点是的中点，
，
四边形是菱形；
解：，，，
，
，
由得：四边形是菱形，
． 

【解析】证明≌，得出，由平行四边形的判定证出四边形是平行四边形，由直角三角形的性质得出，则可得出结论；
求出三角形的面积，由菱形的性质可得出答案．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：设与之间的函数解析式为，
将，代入得：，
解得：，
与之间的函数解析式为．
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，利润率为，不符合题意；
当时，，利润率为，符合题意，
．
答：微波炉的销售单价应定为元． 

【解析】观察函数图象，根据函数图象上的点的坐标，利用待定系数法可求出与之间的函数解析式；
根据该商场每月微波炉的销售利润为元，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合“该商场要求微波炉的月销售量不少于台，并且每月销售微波炉的利润率不低于”，即可确定的值，再将其代入中即可求出微波炉的销售单价．
本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：利用待定系数法，求出与之间的函数解析式；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
 

23.【答案】 

【解析】解：过作于点，过作于点，如图所示：

四边形是正方形，
，，
，，
四边形为矩形，，
，
四边形为正方形，
，，
四边形是矩形，
，
，
又，
在和中，
，
≌，
，
故答案为：；
矩形是正方形，理由如下：
如图，过点作于，于，

四边形是正方形，
，，
又，，
，，
，
≌
，
四边形是正方形；
当时，如图，连接，交于，

正方形的边长为，
，，，
在正方形中，，
，
，
，
，
当时，如图，连接，交于，

同理可求：，
综上所述：
由“”可证≌，可得；
由“”可证≌，可得；
分两种情况讨论，由正方形的性质可求，，的长，由勾股定理可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．