2022-2023学年福建省厦门市同安区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省厦门市同安区九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 抛物线的对称轴是(    )

A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线

2. 没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形展现一系列完备且完美的世界．下面是由个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是(    )

A. 笛卡尔心形线 B. 三叶玫瑰形曲线
C. 蝴蝶形曲线 D. 太极曲线

3. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列选项中，能通过旋转把图变换为图的是(    )

A.   B.
C.  D.

5. 抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得到的抛物线是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 用配方法解一元二次方程，配方后的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 根据下列表格中关于的代数式的值与对应值，

那么你认为方程、、为常数的一个解最接近于下面的(    )

A.  B.  C.  D.

8. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，已知点，，将线段绕点逆时针旋转到，点与是对应点，则点的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线则下列结论正确的有(    )
    ；
    ；
    函数的最大值为；
    若关于的方程无实数根，则．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 一元二次方程的解是______．
12. 平面直角坐标系中，一点关于原点的对称点的坐标是          ．
13. 若函数是关于的二次函数，则的值为______．
14. 已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为______．
15. 如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转至
    的位置，点恰好落在边的中点处，则的长为          ．

16. 已知二次函数的图象经过，两点．若该二次函数的最大值为，当时，，则的取值范围为______．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    解关于的一元二次方程：．
18. 本小题分
    用配方法将二次函数化成的形式，并在直角坐标系中画出该二次函数的图象．
19. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
    若和关于原点成中心对称图形，作出；
    将绕着点按顺时针方向旋转得到，作出．

20. 本小题分
    市人民政府为了解决群众看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品，经过连续两次降价后，由每盒元调至元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？
21. 本小题分
    如图，是由在平面内绕点逆时针旋转而得，且，，连接求证：≌．

22. 本小题分
    已知一元二次方程．
    若方程有两个实数根，求的范围；
    若方程的两个实数根为，且，求的值．
23. 本小题分
    某文具店购进一批纪念册，每本进价为元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于元且不高于元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量本与每本纪念册的售价元之间满足一次函数关系：当销售单价为元时，销售量为本；当销售单价为元时，销售量为本．
    求与之间的函数关系式；
    设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获得利润最大？最大利润是多少？
24. 本小题分
    若二次函数的图象记为，其顶点为，二次函数的图象记为，其顶点为，且满足点在上，点在上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”．
    写出二次函数的一个“伴侣二次函数”；
    设二次函数与轴的交点为，求以点为顶点的二次函数的“伴侣二次函数”；
    若二次函数与其“伴侣二次函数”的顶点不重合，试求该“伴侣二次函数”的二次项系数．
25. 本小题分
    如图，直线分别与轴、轴交于点与点，函数的图象经过点．点是抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，过点作于点．
    求该二次函数的解析式；
    连接，当为直角三角形时，求的长；
    将绕点逆时针旋转，得到，当点的对应点落在坐标轴上时，请求出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴是直线．
故选：．
二次函数的顶点式，对称轴为．
本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点式中，对称轴为．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：把代入方程，得，
所以．
故选：．
把代入方程可得的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

4.【答案】 

【解析】解：、可将图绕直角顶点顺时针旋转可得，正确；
B、可通过轴对称得到，错误；
C、图形形状、大小均不同，任何变换都得不到，错误；
D、旋转变换得不到，错误；
故选：．
根据几种变换的定义即可判断．
本题主要考查旋转变换，掌握旋转变换的定义和性质是关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得到的抛物线是，
故选：．
根据图象向下平移减，向右平移减，可得答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，即，
故选：．
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据表格可得方程、、为常数的一个解的范围为，
，，且，
方程的解最接近于．
故选：．
观察表格确定出解的范围，进而求出近似解即可．
此题考查了解一元二次方程公式法，以及解三元一次方程组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：抛物线的开口向下，对称轴为直线，
而离直线的距离最远，点离直线最近，
．
故选：．
根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，点的坐标是，
故选：．
作出对应点连续的垂直平分线，它们的交点就是点．
本题考查了坐标与图形变化旋转，确定的位置是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线交轴于正半轴，
，
，
，
，故错误．
抛物线的对称轴是直线，
，
，故正确．
抛物线交轴于点，，
可以假设抛物线的解析式为，
当时，的值最大，最大值为，故正确．
无实数根，
无实数根，
，，
，
，
，故正确，
故选：．
错误．根据抛物线的位置一一判断即可；
正确．利用抛物线的对称轴公式求解；
正确．设抛物线的解析式为，当时，的值最大，最大值为；
正确．把问题转化为一元二次方程，利用判别式，解不等式即可．
本题考查二次函数的性质，根的判别式，二次函数的最值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型，
 

11.【答案】， 

【解析】解：
解得：，．
故答案为：，．
直接利用开平方法解方程得出答案．
此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据中心对称的性质，得点关于原点对称的点的坐标是．
故答案为：．
平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，从而可得出答案．
本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得：
且，
解得：或且，
，
故答案为：．
根据二次函数的定义：形如为常数且，可得且，然后进行计算即可解答．
本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：将代入得，即，
，
故答案为：．
将代入函数解析式可得的值，进而求解．
本题考查抛物线与轴的交点，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
由旋转的性质得出是等边三角形，求出的长，则可得出答案．
此题主要考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识，得出是等边三角形是解题关键．
【解答】
解：在中，，将该三角形绕点按顺时针方向旋转到的位置，点恰好落在边的中点处，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
将绕点按顺时针方向旋转至的位置，
，
是等边三角形，
，
，
，
．
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】解：将，代入抛物线表达式得：，
整理得，
并整理得：；
，
把代入并解得：，
故，
当时，，
，
故，
故答案为：．
推导出：，当时，，求出．
本题综合考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，求得是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
，
，
，
，
所以，． 

【解析】利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程．
本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
 

18.【答案】解：

，
该抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线；
当时，则，
解得，，
该抛物线与轴的两个交点的坐标分别为，；
当时，，
该抛物线与轴的交点的坐标为，
画出该函数的图象如图所示．
． 

【解析】将配成顶点式得，求出抛物线的顶点坐标、对称轴及抛物线与坐标轴的交点，再画出函数的图象即可．
此题重点考查二次函数的三种形式，二次函数的图象与性质，正确地画出函数的图象是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图，即为所求．
如图，即为所求．
 

【解析】利用中心对称的性质分别作出，，的对应点，，即可．
利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
本题考查作图旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是掌握旋转变换，中心对称的性质，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：设平均每次降价的百分率为，由题意得
解得，不合题意舍去
答：这种药品平均每次降价率是． 

【解析】因为该药品经过连续两次降价后由每盒元调至元，所以可设平均每次的降价率为，则经过两次降价后的价格是，即可列方程求解．
本题只需仔细分析题意，利用方程即可解决问题，但应注意解的取舍．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
 

21.【答案】证明：由旋转的性质可知，≌，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌． 

【解析】根据旋转变换的性质得到≌，根据全等三角形的性质得到，，得到，根据全等三角形的判定定理证明即可．
本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定，掌握旋转前、后的图形全等以及全等三角形的判定定理是解题的关键．
 

22.【答案】解：一元二次方程，方程有两个实数根，
，
解得，，
即的取值范围是；
一元二次方程，方程的两个实数根为，，
，，
，
，
，
解得，，
即的值是． 

【解析】根据方程有两个实数根，可知，从而可以求得的取值范围；
根据根与系数的关系和，可以求得的值．
本题考查根与系数的关系、根的判别式，解答本题的关键是明确题意，利用一元二次方程的知识解答．
 

23.【答案】解：设与的关系式为，
把与代入，
得：，
解得：，
与之间的函数关系式为；
由题意可得：


，
此时当时，最大，
即当时，元，
答：该纪念册销售单价定为元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是元． 

【解析】利用待定系数法求解可得；
根据所获得总利润每本利润销售数量列出函数解析式，配方成顶点式可得答案．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，根据销售问题中关于利润的相等关系列出函数解析式及二次函数的性质．
 

24.【答案】解：，
顶点坐标为且经过点．
设以为顶点且经过的抛物线的函数关系式为，
将，代入，解得．
二次函数的一个“伴侣二次函数”为答案不唯一；
令，则，
所以二次函数与轴的交点坐标为；
，
顶点坐标为．
设以为顶点且经过的抛物线的函数关系式为，
将，代入，解得．
以点为顶点的二次函数的“伴侣二次函数”为；
设的“伴侣二次函数”为，其顶点为，
，其顶点为，
二次函数与其伴侣二次函数的顶点不重合，
时，
根据“伴侣二次函数”定义可得：点在上，且点在上，
且，

，
该“伴侣二次函数”的二次项系数为． 

【解析】本题考查了新定义问题，二次函数的性质，掌握伴侣二次函数的顶点在对方的图象上是解题关键．
根据解析式求得顶点坐标和经过的任意点的坐标，根据“伴侣二次函数”定义，设关系式为，代入坐标，即可求得系数，可得答案；
令，则，得到与轴的交点坐标，然后求得顶点坐标，然后根据“伴侣二次函数”的定义，可求解；
设的“伴侣二次函数”为根据“伴侣二次函数”的顶点在对方的图象上，得出且，进而得出，可得．
 

25.【答案】解：直线分别与轴、轴交于点与点，
，，
抛物线经过点，
，
抛物线解析式为；
当点在对称轴左侧时，不可能为直角三角形，当点在对称轴右侧时，为锐角，
分两种情况：
当时，

，，
点坐标为，
；
当时，设，

，，
，
，
，
在中，，
，解得，
；
综上所述，当为直角三角形时，的长为或；
当点落在轴上时，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，交于点，

设点的坐标为，
，
轴，，
轴，
由旋转得，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
同理，
，
，
整理得，
解得或舍去，
当时，，
点的坐标为；
当点落在轴上时，如图，
过点作轴，交于，过点作轴，交的延长线于点，

设点的坐标为，
，
由旋转得，
是等腰直角三角形，
，
，
解得或舍去，
当时，，
点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或，． 

【解析】先确定出点、的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；
当点在对称轴左侧时，不可能为直角三角形，当点在对称轴右侧时，为锐角，分两种情况：当时，当时，根据直角三角形的性质分别求解即可；
分点落在轴和轴两种情况计算即可．当点落在轴上时，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，交于点，先利用互余和旋转角相等得出是等腰直角三角形，根据，建立方程即可；根据等腰直角三角形的性质即可得出结论．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，锐角三角函数，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是构造直角三角形．