2022-2023学年辽宁省沈阳市沈北新区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省沈阳市沈北新区八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共20分）

1.    在平面直角坐标系中，下列坐标所对应的点位于第三象限的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    函数是一次函数，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D. 为任意实数

3.    如图，将边长为的正方形放在平面直角坐标系中，是原点，点的横坐标为，则点的坐标为(    )
    

A.  B.  C.  D.

4.    直角三角形两直角边分别为和，则其斜边的高为(    )

A.  B.  C.  D.

5.    已知等腰三角形的腰长为，底边长为，则它的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

6.    的平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

7.    对于函数，下列结论正确的是(    )

A. 它的图象与两坐标轴围成等腰直角三角形 B. 它的图象经过第一、二、三象限
C. 它的图象必经过点 D. 的值随值的增大而增大

8.    若一个正数的两个平方根分别是与，则的值是(    )

A.  B.  C.  D. 或

9.    如图所示图象中，表示是的函数的有(    )
    

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10. 如图，已知一次函数的图象为直线，则关于的方程的解为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 在函数中，当______时，是的正比例函数．
12. 等边三角形的边长为，则它的高为______ ．
13. 在平面直角坐标系内，已知点在第三象限的角平分线上，则点的坐标为______．
14. 一次函数的图象与轴的交点为，与轴的交点为，坐标原点为，则的面积为______．
15. 如图，根据图中的标注和作图痕迹可知，在数轴上的点所表示的数为______．

16. 如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为______．
     

三、解答题（本大题共10小题，共82分）

17. 计算：
    ；
    ；
    ；
    ．
18. 在边长个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，四边形是格点四边形顶点为网格线的交点
    写出点，，，的坐标；
    求四边形的面积．

19. 求下列各式中的值：
    ；
    ．
20. 设的小数部分为，求的值；
    已知，，求的值．
21. 在四边形中，，，，若四边形的周长为，求它的面积．

22. 在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少？假设绳子是直的，结果保留根号

23. 如图，直线与轴、轴分别交于点，，点的坐标为，是直线在第一象限内一个动点．
    求的面积与的函数关系式，并写出自变量的的取值范围；
    当的面积为时，求点的坐标．

24. 已知等腰三角形的底边，是腰上一点，且，．
    求证：；
    求该三角形的腰的长度．

25. 小明和爸爸进行登山锻炼，两人同时从山脚下出发，沿相同路线匀速上山，小明用分钟登上山顶，此时爸爸距出发地米，小明登上山顶立即按原路匀速下山，与爸爸相遇后，和爸爸一起以原下山速度返回出发地．小明、爸爸在锻炼过程中离出发地的路程米，米与小明出发的时间分的函数关系如图所示．
    图中______，______；
    小明上山的速度______米分；小明下山的速度______米分；爸爸上山的速度______米分．
    小明的爸爸下山所用的时间______．

26. 如图，直线与轴、轴分别交于、两点，于点，点为直线上不与点、重合的一个动点．
    求线段的长；
    当的面积是时，求点的坐标；
    当点在线段上且的面积为时，在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、位于第二象限，故本选项不符合题意；
B、位于第一象限，故本选项不符合题意；
C、位于第四象限，故本选项不符合题意；
D、位于第三象限，故本选项符合题意．
故选：．
四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限根据各象限内点的坐标特征，对各选项分析判断即可得解．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
根据一次函数定义可得，再解不等式即可．
此题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为．
 

3.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，过点作轴于点，

则，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
点的坐标为：．
故选：．
首先过点作轴于点，过点作轴于点，易证得≌，则可得，，继而求得答案．
此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线、证得≌是解此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：直角三角形的两条直角边分别为，，，
斜边为，
设斜边上的高为，则
，
解得．
故选D．
 

5.【答案】 

【解析】解：过点作于，
，
，
，
，
故选：．
过点作于，根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的三线合一是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
又，
的平方根是．
故选：．
首先根据立方根的定义化简，然后根据平方根的定义即可求出结果．
本题考查了平方根的定义注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根．
 

7.【答案】 

【解析】解：由函数可知与坐标轴的交点为和，所以它的图象与两坐标轴围成等腰直角三角形，选项A正确；
B.它的图象经过第一、二、四象限，选项B错误；
C.它的图象必经过点，选项C错误；
D.的值随值的增大而减小，选项D错误；
故选：．
根据一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
 

8.【答案】 

【解析】解：一个正数的两个平方根分别是与，
，
；
故选：．
根据平方根的定义得出，再进行求解即可得出答案．
本题考查了平方根的应用，能得出关于的方程是解此题的关键，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
 

9.【答案】 

【解析】解：第一个图和第二个图：
对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以能表示是的函数，
第三个图和第四个图：
对于自变量的每一个值，因变量不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示是的函数，
所以，如图所示图象中，表示是的函数的有个，
故选：．
根据函数的概念，对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，即可解答．
本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据图象可得，一次函数的图象经过点，
因此关于的方程的解，
故选：．
根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解．
此题主要考查了一次函数与方程，关键是正确利用数形结合的方法从图象中找到正确答案．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：，且，
解得：．
故答案为：．
利用正比例函数定义进行解答．
此题主要考查了正比例函数定义定义，关键是掌握形如是常数，的函数叫做正比例函数．
 

12.【答案】 

【解析】解：底边的一半是再根据勾股定理，得它的高为．
作底边上的高．根据等腰三角形的三线合一，以及勾股定即可求解．
考查了等腰三角形的三线合一性质以及勾股定理．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
解得，
故点坐标为．
故答案为：．
根据第三象限角平分线上点的特点解答即可．
本题主要考查第三象限角平分线上点的特点：点的横、纵坐标相等．
 

14.【答案】 

【解析】解：令，则，令，则，
、，
，，
．
故答案为：．
先令求出的值，再令求出的值即可得出、两点的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据勾股定理可求出圆的半径为：，即点到表示的点的距离为，
那么点到原点的距离为个单位，
点在原点的右侧，
点所表示的数为：，
故答案为：．
根据勾股定理可求出圆的半径，进而求出点到原点的距离，再根据点的位置确定点所表示的数．
考查数轴表示数，勾股定理等知识，理解一个有理数是由符号和绝对值组成的，确定一个数先确定符号，再确定它的绝对值．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理的正确运用，本题中设，根据直角三角形中运用勾股定理求是解题的关键．
因为为边上的高，要求的面积，求得即可，求证≌，得，设，则在中，根据勾股定理求，．
因为为边上的高，要求的面积，求得即可，求证≌，得，设，则在中，根据勾股定理求，．
【解答】
解：易证≌，
，
设，则，
在中，，
解之得：，
，
．
故答案为．  

17.【答案】解：



；


；



；
．


． 

【解析】利用乘法分配律，进行计算即可解答；
利用平方差公式，进行计算即可解答；
先计算二次根式的乘除法，再算加减法，即可解答；
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：由图可知点、、、；

四边形的面积． 

【解析】根据各点所在的象限，对应的横坐标、纵坐标，分别写出点的坐标．
利用割补法求解可得．
本题考查了坐标与图形的性质，正确把握横纵坐标对应数字及割补法求四边形的面积是解题关键．
 

19.【答案】解：，
．
．
．
，
．
．
． 

【解析】根据平方根的定义解决此题．
根据立方根的定义解决此题．
本题主要考查平方根、立方根，熟练掌握平方根以及立方根的定义解决此题．
 

20.【答案】解：，
．
的小数部分为．




；
当，时，



． 

【解析】先确定的值，再代入计算；
把、的值代入计算即可．
本题考查了实数的运算，确定的值，掌握实数的运算法则是解决本题的关键．
 

21.【答案】解：连接，过点作于，
，，
为等边三角形，
，，
，，，
，，
，
，
，，
，
，
四边形的周长为，，
，
，
解得：，
，
． 

【解析】连接，过点作于，根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，进而求出，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质、三角形的面积计算，根据勾股定理列方程求出是解题的关键．
 

22.【答案】解：在中，，，，
，
此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，
，
，
．
答：船向岸边移动了． 

【解析】在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
 

23.【答案】解
，
，；
当时，则，解得，
当时，，
当的面积为时，点的坐标为． 

【解析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
根据题意可以得到关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
根据中的函数解析式可以求得点的坐标．
 

24.【答案】解：，，，
满足，
根据勾股定理逆定理可知，，
即；
设腰长为，则，
由可知，
即：，
解得，
腰长为． 

【解析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
依据勾股定理的逆定理，即可得到，即可得到；
设腰长为，则，由可知，解方程，即可得到腰长．
 

25.【答案】           

【解析】解：由图象可以得到，，，
故答案为：，；
由图象可以得出爸爸上山的速度是：米分，
小明上山的速度为：米分，
小明下山的速度是：米分，
故答案为：，，；
小明从下山到与爸爸相遇用的时间是：分，
小明与爸爸相遇后，和爸爸一起以原下山速度返回出发地，
小明的爸爸下山所用的时间：分．
故答案为：．
根据图象可判断出小明到达山顶的时间，爸爸距离山脚下的路程；
由图象可以得出爸爸上山的路程与时间，小明上、下山的路程与时间，进而得到爸爸上山的速度以及小明上、下山的速度；
求出小明从下山到与爸爸相遇用的时间，小与爸爸相遇后，和爸爸一起以原下山速度返回出发地，利用小明下山所用总时间减去小明独自下山的时间即可．
本题考查了一次函数的应用，解答本题目的关键是根据图象获得关键的信息，计算出小明下山的速度及爸爸上山的路程．
 

26.【答案】解：对于直线，
令，则，令，则，
解得：，
点、的坐标分别是，，
，，
，
，
；
过作轴于，如图，
，
，
点的横坐标为或，
或；
存在，理由如下：
点在线段上，
，
设，
，，，
当时，，
解得或，
或；
当时，，
解得舍或，
；
综上所述：点坐标为或或． 

【解析】先求得点、的坐标，可求得、、的长，利用面积法即可求得的长；
先画图，确定面积可以为底，到轴距离为高求得到轴距离，再分类讨论求得答案；
设，求出，，，根据题意分两种情况讨论：当时，或；当时，．
本题是一次函数的综合题，考查了一次函数图象上的点的坐标特征，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，坐标与图形的性质，正确进行分类讨论是解题的关键．