2022-2023学年辽宁省沈阳市铁西区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省沈阳市铁西区八年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共10小题，共20分）

1. 边长为的正方形的对角线的长是(    )

A. 整数 B. 分数 C. 有理数 D. 无理数

2. 函数的图象不经过(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 在平面直角坐标系中，点在第二象限内，则的取值可以是(    )

A.  B.  C.  D. 或

4. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 如图，已知正方形的面积为平方厘米，厘米，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 按如图的运算程序，能使输出结果为的，的值是(    )
    

A. ， B. ，
C. ， D. ，

7. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点上，则边上的高为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 已知一次函数过点，则下列结论正确的是(    )

A. 随增大而增大
B.
C. 一次函数的图象过点
D. 一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为

10. 如图，在中，，于点，动点从点出发，沿折线方向运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图所示，则的值为(    )
     

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. ______．
12. 若点在轴上，则点的坐标为______．
13. 计算：______．
14. 一只蚂蚁沿着边长为的正方体表面从点出发，按照如图所示经过个面爬到点，则它运动的最短路径长为______．

15. 一条直线与轴，轴的正半轴分别交于点，，点是线段上任意一点不与点，重合，过点分别作两坐标轴的垂线，与两坐标轴围成的长方形的周长为，则点的坐标为______．
16. 如图，长方形中，，，，点是射线上一点不与点，重合，连接，过点作交直线于点，若是等腰三角形，则______．

三、解答题（本大题共9小题，共82分）

17. 计算：
18. 解方程组：．
19. 定义运算“@”的法则为：@，求@@的值．
20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点；，．
    判断的形状，并说明理由；
    若点关于直线的对称点为点，则点的坐标为______；
    连接，，则的周长为______．

21. 如图，中，，，平分交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相
    交于点和点，连接，交于点，求的长．

22. 小刚家、学校、图书馆依次在一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中，小刚离家的距离与他所用的时间的函数关系如图所示．
    求小刚从图书馆返回家的过程中，与之间的关系式；
    小刚出发分钟时，他离家有多远？

23. “互联网”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网”的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地．若要对某地特色花生与茶叶两种产品助销，已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低元，销售
    千克花生与销售千克茶叶的总售价相同．
    求每千克花生、茶叶的售价；
    已知花生的成本为元千克，茶叶的成本为元千克，计划两种产品共助销千克，若花生销售千克，花生和茶叶的销售总利润为元，求的最大值．
24. 如图，已知正方形的边长为，点为边上一点不与点，重合，将沿所在直线折叠得到，延长交边于点，连接，，可得．
    判断与是否相等，并说明理由；
    若，求的长；
    若，请直接写出的值．

25. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点在直线上，过点的另一条直线交轴于点，点是直线上一点．
    求的值；
    设点的横坐标为，的面积为，请直接写出与之间的关系式；
    若直线交坐标轴于点，交直线于点；点，当时，请直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：边长为的正方形的对角线的长，
故选D．
构造直角三角形，利用解直角三角形进行求解，熟悉数的分类也是解题的一个关键．
此题主要是利用勾股定理求斜边长，即正方形的对角线．
 

2.【答案】 

【解析】解：一次函数，
，
函数图象经过第一三象限，
，
函数图象与轴负半轴相交，
函数图象经过第一三四象限，不经过第二象限．
故选：．
根据确定一次函数经过第一三象限，根据确定与轴负半轴相交，从而判断得解．
本题考查了一次函数的性质，对于一次函数，，函数经过第一、三象限，，函数经过第二、四象限．
 

3.【答案】 

【解析】解：点是第二象限内的点，
，
四个选项中符合题意的数是，
故选：．
根据第二象限内点的坐标特点列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了算术平方根的性质以及立方根的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
直接利用算术平方根的性质以及立方根的性质分析得出答案．
【解答】
解：、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，正确．
故选D．  

5.【答案】 

【解析】解：正方形的面积为平方厘米，
，厘米，
厘米，
厘米，
故选：．
根据正方形的性质得出，进而利用勾股定理解答即可．
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质得出解答．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
根据运算程序列出等式，再根据代数式求值对选项对各选项分析判断利用排除法求解。
【解答】
解：由题意得，，
A、时，，故A选项错误；
B、时，，故B选项错误；
C、时，，故C选项错误；
D、时，，故D选项正确。
故选：。  

7.【答案】 

【解析】解：点关于轴对称的点的坐标是．
故选：．
根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设边上的高为，
，，
，
，
故AC边上的高为，
故选：．
根据图形和三角形的面积公式求出的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可．
本题主要考查了勾股定理的知识，解题的关键是利用勾股定理求出的长，此题难度一般．
 

9.【答案】 

【解析】解：一次函数过点，
，
，
一次函数解析式为．
A.，
随的增大而减小，选项A不符合题意；
B.，选项B不符合题意；
C.当时，，
解得：，
一次函数的图象过点，选项C符合题意；
D.当时，，
一次函数的图象与轴交于点，
一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为，选项D不符合题意．
故选：．
由一次函数过点，可求出的值．
A.利用一次函数的性质，可得出随的增大而减小，选项A不符合题意；
B.由前面求出的值，可得出选项B不符合题意；
C.利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出一次函数的图象过点，选项C符合题意；
D.利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出一次函数的图象与轴交于点，再利用三角形的面积计算公式，可求出一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为，选项D不符合题意．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出的值是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图知，，
，
，
，，
，，
在中，，
设点到的距离为，
，
动点从点出发，沿折线方向运动，
当点运动到点时，的面积最大，即，
由图知，的面积最大为，
，
，
得，，
，
负值舍去，
故选：．
先根据结合图得出，进而利用勾股定理得，，再由运动结合的面积的变化，得出点和点重合时，的面积最大，其值为，即，进而建立二元二次方程组求解，即可得出结论．
本题主要考查了动点问题的函数图象，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，判断出和点和点重合时，的面积为是解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
利用二次根式的化简的法则进行求解即可．
本题主要考查二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

12.【答案】 

【解析】解：点在轴上，
，
解得，
点的坐标为；
故答案为：．
利用轴上点的坐标特征得到，然后解方程求出即可得到点坐标．
本题考查了点的坐标，熟知轴上的点的横坐标为零是解答本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为：．
直接化简二次根式，再合并同类二次根式得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：把正方体展开在平面上，如图所示，此时最短，

，
，
故答案为：．
把正方体展开在平面上，应用勾股定理即可求解．
本题考查路径最短问题，关键是把正方体展开在平面上，应用勾股定理求解．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，过点分别作轴，轴，垂足分别为、，
设点坐标为，
点在第一象限，
，，
矩形的周长为，
，
，
即该直线的函数表达式是，
把代入得，，
解得，
．
故答案为：．
设点坐标为，由坐标的意义可知，，根据围成的矩形的周长为，可得到、之间的关系式，然后把代入，即可求得的坐标．
本题主要考查矩形的性质及一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式根据坐标的意义得出、之间的关系是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
只存在一种情况，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，且，
，
，
故答案为：．
连接，由四边形是矩形，，得，则，而，所以，可确定是等腰三角形，只存在一种情况，再证明≌，得，由，，得，则是等边三角形，所以，得，由勾股定理得，求得，得到问题的答案．
此题重点考查矩形的四个角都是直角、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】先算乘法，再算加减即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

18.【答案】解：得，，解得；
把代入得，，解得，
故此方程组的解为：． 

【解析】先用加减消元法，再用代入消元法求解即可．
本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：原式@
@



． 

【解析】利用新定义的规定先算括号内的，再算括号外的即可．
本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，本题是新定义型，理解并熟练运用新定义是解题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：，，，
，
是直角三角形；
如图所示：

点坐标为；
故答案为：；
，，的周长为，
故答案为：．
求出各线段长，利用勾股定理逆定理可得答案；
根据对称的性质得出点即可；
根据勾股定理和二次根式的计算解答即可．
此题主要考查了作图--轴对称变换，以及勾股定理逆定理，关键是正确画出图形．
 

21.【答案】解：如图所示：连接，
由作图方法可得：垂直平分，
则，
，，平分交于点，
，，
在中，，
设，则，
在中，
，
即，
解得：，
故DE的长为，
．
故答案为：． 

【解析】直接利用基本作图方法结合线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理分别得出，的长，即可得出、的长．
此题主要考查了基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，正确得出是解题关键．
 

22.【答案】解：由题意得，小刚家与学校的距离为，
小刚骑自行车的速度为：，
小刚从图书馆返回家的时间：，
总时间：，
设小刚从图书馆返回家的过程中，与的函数表达式为，
把，代入得：
，
解得，
；
小刚出发分钟时，即当时，
．
答：他离家． 

【解析】根据函数图象和题意可以求得小刚家与学校的距离为，小刚骑自行车的速度为；先求出小刚从图书馆返回家的时间，进而得出总时间，再利用待定系数法即可求出与之间的函数关系式；
把代入的结论解答即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用该数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答．
 

23.【答案】解：设每千克花生元，每千克茶叶元，
根据题意得：，
解得：，
元，
答：每千克花生元，每千克茶叶元；
设花生销售千克，茶叶销售千克获利最大，利润元，
由题意得：，
，
随的增大而减小，
，
当时，利润最大，
此时花生销售千克，茶叶销售千克，元，
当花生销售千克，茶叶销售千克时利润最大，的最大值为． 

【解析】设每千克花生元，每千克茶叶元，列出一元一次方程求解即可；
设花生销售千克，茶叶销售千克，先根据总成本不高于元，且花生的数量不高于茶叶数量的倍求出的取值范围，再根据利润之和求出函数解析式，根据函数的性质求最大值．
本题考查一次函数的性质和一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．
 

24.【答案】解：，
理由：四边形是正方形，
，，
由折叠得，，，
，，
在和中，
，
≌，
．
如图，，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，，
，且，
，
，
的长是．
如图，，
，
，，
，
，
，
，
，
的值是． 

【解析】由四边形是正方形，得，，由折叠得，，所以，，即可根据直角三角形全等的判定定理“”证明≌，得；
由，得，，由≌，得，所以，则，而，，由勾股定理得，即可求得；
由，得，即可根据等角的余角相等证明，则，即可求得．
此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用等知识，此题综合性强，难度较大，证明≌是解题的关键．
 

25.【答案】解：将点，代入直线，
，
解得．
直线的解析式为：，
将代入解析式，
，
解得．
由知，，
设直线的解析式为：，
，
解得，．
直线的解析式为．
如图，过点作轴交直线于点，
，，




过点作轴于点，交直线于点，过点作于点，
点，
点，
，，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
过点作于点，
则．
，
直线的解析式为：．
直线：，
，
，
点在直线上，
或，
或，
当时，令，
解得，
；
当时，．
解得，

综上，符合题意的点的坐标为：或 

【解析】先根据待定系数法求出直线的解析式，再将点的坐标代入即可求出的值；
先利用待定系数法求出直线的解析式；过点作轴交直线于点，由点的横坐标可得出点，的坐标，进而可得出的长，再根据三角形的面积公式可表达与的之间的关系式；
过点作轴交直线于点，过点作于点，由可得直线，且直线，则点必然在直线上，求出的坐标，可得出点的坐标，可得出的值，进而可得出点的坐标．
本题属于一次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质与判定，平行线的性质，数形结合思想等相关内容，作出辅助线求出直线的解析式是解题关键．