初中数学北师大版九年级下册第二章 二次函数2 二次函数的图像与性质第3课时教学设计

教学目标

1.能够画出函数y＝a(x－h)2和函数y＝a(x－h)2＋k的图象，并能理解它们与y＝ax2的图象的关系，理解a，h和k对二次函数图象的影响．

2.能正确说出y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

3.探索函数y＝a(x－h)2和函数y＝a(x－h)2＋k的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系，理解抛物线的平移规律．

教学重难点

重点：能够作出函数y＝a(x－h)2和函数y＝a(x－h)2＋k的图象，并能理解它与y＝ax2的图象的关系，理解a，h和k对二次函数图象的影响．

难点：理解y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的图象之间的关系．

教学过程

知识回顾

1.回顾：

二次函数y＝2x2图象的开口方向是________，对称轴是________，顶点坐标是________ ．

二次函数y＝2x2＋3图象的开口方向是________，对称轴是________，顶点坐标是________，它的图象可以由y＝2x2的图象向________平移________个单位长度得到．

2.提出问题：我们已经学习过两种类型的二次函数y＝ax2与y＝ax2＋c，知道它们都是轴对称图形，对称轴都是y轴，还知道y＝ax2＋c的图象是由函数y＝ax2的图象经过上下平移得到的，那么如果将函数y＝ax2的图象左右平移呢？它左右平移后又会得到怎样的函数形式，它又有哪些性质呢？本节课我们就来研究有关问题．

设计意图：回顾上节课所学的知识，使学生从已有的知识出发进行学习，“温故”而“知新”，为新课的学习打好基础．

探究新知

一、预习新知

多媒体出示：画二次函数y＝2(x－1)2的图象．

（1）完成下表：

观察上表，比较2x2与2(x－1)2的值，它们有什么样的关系？

（2）要求学生在课本图2-5中作出y＝2(x－1)2的图象．

要求独立完成，同伴相互检查．教师巡视，对作图能力差的学生进行指导.

教师多媒体展示所画图象，解决下列问题：

二次函数y＝2(x－1)2的图象与二次函数y＝2x2的图象有什么关系？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？

学生先独立观察，再小组讨论，然后小组代表阐述观点，最后总结：

二次函数y＝2(x－1)2的图象也是抛物线．

生1：(1)开口方向相同，开口大小相同．

(2)在对称轴的左侧，都是y值随x值的增大而减小；在对称轴的右侧，都是y值随x值的增大而增大．

(3)都有最低点，即函数都有最小值．

生2：(1)对称轴：y＝2x2的图象的对称轴是y轴(或直线x＝0)，y＝2(x－1)2的图象的对称轴是直线x＝1．

(2)顶点坐标：y＝2x2图象的顶点坐标是(0，0)，y＝2(x－1)2图象的顶点坐标是(1，0)．

(3)最值：y＝2x2，当x＝0时，y最小＝0，而y＝2(x－1)2，当x＝1时，

y最小＝0．

生3：二次函数y＝2(x－1)2的图象是由二次函数y＝2x2的图象向右平移1个单位长度得到的．

提出问题：类似地，你能发现二次函数y＝2(x＋1)2的图象与二次函数y＝2x2的图象有什么关系吗？

学生自己动手画出二次函数y＝2(x＋1)2的图象后，教师多媒体出示图象，供学生参考．

学生通过观察，类比总结二次函数y＝2(x＋1)2的图象与二次函数y＝2x2的图象之间的关系．

总结：二次函数y＝a(x－h)2的图象与y＝ax2的图象的关系．

学生小组交流后，代表发言，教师多媒体展示表格，帮助学生记忆．

设计意图：让学生经历独立画图、观察、探究的完整过程，能加深学生对函数性质的理解，培养学生的动手能力、探究能力、抽象归纳能力．

二、合作探究

师：由二次函数y＝2x2的图象，你能得到二次函数y＝2x2－，y＝2(x＋3)2，y＝2(x＋3)2－的图象吗？你是怎样得到的？与同伴进行交流．

教师引导学生根据前面的探究过程，先独立思考，再分组讨论，最后由学生代表发言．

生1：将二次函数y＝2x2的图象向下平移个单位长度，就得到二次函数y＝2x2－的图象．

生2：将二次函数y＝2x2的图象向左平移3个单位长度，就得到二次函数y＝2(x＋3)2的图象．

生3：将二次函数y＝2x2的图象先向下平移个单位长度，再向左平移3个单位长度(或先向左平移3个单位长度，再向下平移个单位长度)，就得到二次函数y＝2(x＋3)2－的图象．

师：探究了上面几个函数后，现在思考二次函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的图象有什么关系？

学生小组讨论，然后小组代表发言，对于回答正确的小组给予表扬，回答不完整的小组教师及时补充．

师生共同总结：

一般地，平移二次函数y＝ax2的图象便可以得到二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象，因此，二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a，h，k的值有关．

二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质：

设计意图：让学生通过类比学习，利用数形结合进一步体验二次函数的系数对图象的影响，加强对二次函数性质的巩固，从图象直观理解函数图象之间的平移关系，培养学生的动态思维和自主学习的意识．

拓展：　

1.y＝ax2y＝a(x-h)2

y＝a(x-h)2+k

2.y＝a(x－h)2＋k被称之为“顶点式”．

3.平移规律：上加下减，左加右减.

典型例题

【例】已知抛物线y＝a(x－h)2＋k，将它沿x轴向右平移3个单位长度后，又沿y轴向下平移2个单位长度，得到抛物线的表达式为y＝－2(x＋1)2－4，则原抛物线的表达式为________．

【问题探索】抛物线y＝－2(x＋1)2－4的顶点坐标为(－1，－4)，它是由原抛物线向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度而得到的，所以把现在抛物线的顶点向相反方向移动就可得到原抛物线顶点坐标为(－4，－2)．故原抛物线的表达式为y＝－2(x＋4)2－2.

【答案】y＝－2(x＋4)2－2

【总结】抛物线平移不改变形状及大小，所以a值不变，解题时抓住关键：顶点的变化．

课堂练习

1.对于抛物线y＝－(x＋2)2＋3，下列结论中正确的个数为(　　)

①抛物线的开口向下； ②对称轴是直线x＝－2；③图象不经过第一象限； ④当x＞2时，y随x的增大而减小．

A.4         B.3C.2D.1

2.将抛物线y＝－x2向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度后，所得抛物线的表达式为(　　)

A.y＝－(x＋3)2＋4               B.y＝－(x－3)2＋4

C.y＝－(x＋3)2－4               D.y＝－(x－3)2－4

  3.已知二次函数y＝－2(x－3)2＋1，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是　　　　．

4.已知将二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线y＝－(x＋1)2＋3.

(1)试确定a、h、k的值；

(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

参考答案

1.A　

2.B

3.x<3

4.解：(1)抛物线y＝－(x＋1)2＋3的顶点坐标为(－1，3)，把点(－1，3)先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点(1，－1)，

∴原二次函数的表达式为y＝－(x－1)2－1，

∴a＝－，h＝1，k＝－1.

(2)∵y＝a(x－h)2＋k＝－(x－1)2－1，

∴图象的开口方向向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－1)．

课堂小结

(学生总结，老师点评)

1.会画二次函数y＝a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的图象．

2.理解二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标与a，h，k之间的关系．

3.二次函数图象之间的平移规律．

板书设计

第二章　二次函数

2　二次函数的图象与性质

第3课时　二次函数y＝a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的图象与性质

1.二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质：

2.平移规律：上加下减，左加右减.

教学反思

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