数学2 二次函数的图像与性质第4课时教案

教学目标

1.能通过配方把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式．

2.使学生掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

教学重难点

重点：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质．

难点：用配方法确定抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标、对称轴及最值．

教学过程

知识回顾

1.回忆函数y＝ax2，y＝ax2＋c，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k的图象及性质，完成下面的表格：

2.填空：

（1）x2＋6x＋＝（x＋）²；

（2）x2－x＋＝（x－）²；

（3）x2－5x＋8＝（x－）²＋．

设计意图：回顾内容1，通过对这几个函数图象和性质的回顾，为后面学习y＝ax2＋bx＋c的性质作铺垫；回顾内容2，通过复习完全平方公式，为后面用配方法推导y＝ax2＋bx＋c的对称轴和顶点坐标公式作知识准备．

导入新课

引导学生完成上表，对如何求二次函数一般式的顶点坐标、对称轴、最值提出疑问，从而引出本节要研究的课题．

探究新知

一、预习新知

上节课我们已经学习了y＝a(x－h)2＋k的图象和性质，能否小组合作研究二次函数y＝2x2－4x＋5的图象和性质？

(1)要求学生独立完成，教师巡视，对于有困难的学生及时指导；　

(2)叫一位或两位同学板演，学生自纠，教师点评；　

(3)让学生分组总结配方的方法；

(4)让学生思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系？这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系？

多媒体展示做的正确的学生的成果，然后找学生说明研究的思路．

生：研究二次函数y＝2x2－4x＋5的图象和性质的关键是把二次函数y＝2x2－4x＋5转化成y＝a(x－h)2＋k的形式，先提取二次项系数，然后配方，最后整理成顶点式．

设计意图：通过学生复习顶点式y＝a(x－h)2＋k，增强学生利用顶点式的意识，为下面例题的解决奠定了良好的基础．

多媒体展示例题.

求二次函数y＝2x2－8x＋7图象的对称轴和顶点坐标．

根据上面的分析，要求y＝2x2－8x＋7图象的对称轴和顶点坐标，首先要利用配方法把y＝2x2－8x＋7转化成顶点式y＝a(x－h)2＋k的形式．

要求学生先独立解决，然后同伴交流，相互订正，代表展示成果．

教师及时指导．

你感觉利用上面的方法求二次函数图象的对称轴和顶点坐标的方法好吗？如果每次都采取“配方”很麻烦，有没有更好的办法呢？下面我们就来一起探究形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的二次函数图象的对称轴和顶点坐标．

求二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴和顶点坐标．

学生小组讨论后，代表说明解题思路和方法，师生共同解答．

最后将y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h)2＋k的一般形式，

即y＝a（x＋）²＋．

因此，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－，

顶点坐标是（－，）．

设计意图：引导学生利用自己所掌握的配方法的思想逐步把二次函数的一般式转化为顶点式，使学生在推理转化的过程中体会不同形式之间的联系，从而更加喜欢数学．

二、合作探究

我们已经掌握了求二次函数图象的顶点坐标的方法，现在来利用二次函数来解决实际问题．

如图，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于y轴对称．按照图中的直角坐标系，x轴为桥面，左边的一条抛物线可以用y＝x2＋x＋10表示．

(1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少？

(2)两条钢缆最低点之间的距离是多少？

师：解决实际应用问题的关键是什么？

生：解决实际应用问题的关键是把实际问题转化为数学问题．

教师引导学生，本题可以运用不同的方法进行解答．

学生讨论后，得出两种方法：(1)运用配方法转化成顶点式；(2)运用公式法直接写出顶点坐标．

最后教师展示不同的解题方法供学生参考．

设计意图：让学生学会从数学角度提出问题、分析问题，并能综合运用所学知识和技能解决问题，发展学生的应用意识，让学生进一步体会在实际问题中利用数学模型来解决问题的过程．

典型例题

【例】求二次函数y＝2x2－x－1图象的开口方向、对称轴及顶点坐标．

【问题探索】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的开口方向、对称轴、顶点坐标怎么确定？

【解】∵y＝2x2－x－1＝2（x－）²－，

∴二次函数图象的对称轴是直线x＝，顶点坐标为（，－）．

【总结】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)可以通过配方法化成y＝a(x－h)2＋k的形式，即y＝a（x＋）²＋，其图象的对称轴是直线x＝－，顶点坐标是（－，）．

课堂练习

1.对于二次函数y＝(x－1)2＋2的图象，下列说法正确的是(　　)

A.开口向下                  B.对称轴是直线x＝－1

C.顶点坐标是(1，2)           D.与x轴有公共点

2.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是(　　)

A.ab＞0，c＞0  　　　　    B.ab＞0，c＜0

C.ab＜0，c＞0  　　　　    D.ab＜0，c＜0

    3.若抛物线y＝x2＋(4－m)x＋1的顶点在y轴上，则m＝．

4.已知二次函数y＝－x2－2x＋6.

(1)求二次函数图象的顶点坐标和对称轴；

(2)自变量x在什么范围内时，函数值y＞0？自变量x在什么范围内时，y随x的增大而减小？

参考答案

1.C　

2.C

3.4

4.解：(1)∵y＝－x2－2x＋6＝－(x2＋4x)＋6

＝－[(x＋2)2－4]＋6＝－(x＋2)2＋8，

∴顶点坐标为(－2，8)，对称轴为直线x＝－2.

(2)令y＝0，得－x2－2x＋6＝0，解得x1＝－6，x2＝2.

∴当－6＜x＜2时，y＞0.

由（1）知二次函数图象的对称轴为直线x＝－2，

∴当x＞－2时，y随x的增大而减小．

课堂小结

(学生总结，老师点评)

二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质

(1)开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下．

(2)对称轴：直线x＝－.

(3)顶点坐标：（－，）.

(4)增减性：如果a>0，当x<－时，y随x的增大而减小，当x>－时，y随x的增大而增大；如果a<0，当x<－时，y随x的增大而增大，当x>－时，y随x的增大而减小．

板书设计

第二章　二次函数

2　二次函数的图象与性质

第4课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质

求二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴和顶点坐标的方法：

（1）配方法：

一般式：y＝ax2＋bx＋c顶点式：y＝a(x－h)2＋k．

（2）公式法：

对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，有①图象的对称轴是直线x＝－；

②图象的顶点坐标是（－，）．

教学反思

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