初中数学北师大版九年级下册2 二次函数的图像与性质教案及反思

2.2　 二次函数的图象与性质

第1课时　二次函数y＝x2和y＝－x2的图象与性质

一、教学目标

1．能够利用描点法作出二次函数y＝x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y＝x2的性质．

2．猜想并能作出二次函数y＝－x2的图象，并能比较它与y＝x2的图象的异同．

3．经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．

二、教学重难点

重点：理解和掌握函数y＝x2和y＝－x2的图象与性质．

难点：比较y＝x2和y＝－x2的图象与性质的异同．

三、教学过程

（一）复习导入

1．二次函数的定义是什么？

2．一次函数的图象是什么？性质是什么？

3．反比例函数的图象是什么？性质是什么？

4．画函数的图象有哪些步骤？

教师提出上述问题，学生讨论后回答问题．

（二）探究新知

1．画二次函数y＝x2的图象

引导学生利用画函数的图象的步骤画出y＝x2的图象：

(1)观察y＝x2的表达式，任意选择x值，并计算相应的y的值，完成下表：

(2)在直角坐标系中描点．

(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数y＝x2的图象．

2．二次函数y＝x2的图象的性质

问题1：图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？

问题2：当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x＞0时呢？

问题3：当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？

问题4：图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点．

问题5：你能描述图象的形状吗？

处理方式：第一步出示问题1、2、3，留给学生足够的时间思考并交流后，让学生自主回答．在学生回答完毕后教师点拨：这三个问题都与一个神秘的点有关，就是点(0，0)，它叫做顶点．

第二步出示问题4，学生自己考虑，并举手回答．在学生回答完毕后教师点拨：二次函数的图象为轴对称图形，对称轴为y轴，也可写成直线x ＝ 0.所以我们以后在列表时可以对称着列出各个点的数据．

第三步出示问题5，学生先交流讨论后，教师利用课件动画演示并点拨：二次函数y＝x2的图象是一条抛物线，并且抛物线的开口向上．如果你在地球的另一端向斜上方扔一件物体，就是这种样子．

3．二次函数y＝－x2的图象与性质

问题1：回顾一下画二次函数y＝x2的图象的步骤，你认为画图时需要注意什么？

问题2：二次函数y＝－x2的图象是什么形状？先猜一猜，然后在教材第33页画出它的图象．

问题3：类比研究y＝x2的图象的方式，请回答：

(1)你能描述y＝－x2的图象的形状吗？开口方向呢？

(2)y＝－x2的图象的顶点坐标是什么？

(3)y有最大值还是最小值？当x取什么值时，y的最值是什么？

(4)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？

(5)当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x＞0时呢？

处理方式：先出示问题1，让学生充分回顾思考后回答：①列表的选点的对称性；②描点的准确性；③连线的平滑性．如果学生回答不全，教师可适当提示或补充．

再出示问题2，先让学生猜一猜，然后带着疑问画图．学生画图完毕后，选取部分学生所画的图进行展示．

最后出示问题3、4、5，选取画图优秀的同学作业作为展示，同时出示5个问题，学生自主思考，如有困难可适当讨论，思考完毕后举手回答．

（三）举例分析

例1　(1)点A(2，4)在二次函数y＝x2的图象上吗？

(2)请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标、关于y轴的对称点C的坐标、关于原点O的对称点D的坐标；

(3)点B，C，D在二次函数y＝x2的图象上吗？在二次函数y＝－x2的图象上吗？

例2　比较y＝x2与y＝－x2的图象有什么关系？

处理方式：本环节问题比较大，可先留出时间让学生充分思考后，再组织交流讨论．学生可以有不同说法，只要意思正确即可．教师可以分别从相同点：开口大小、对称轴、顶点；不同点：开口方向、增减性、最值，联系：轴对称性、中心对称性等方面进行引导．

四、练习巩固

1．在函数y＝x2上有两点(－1，y1)，(－3，y2)，那么y1，y2，0的大小关系是( 　　)

A．y1＜y2＜0　　　B．y2＜y1＜0

C．y1＞y2＞0　　　D．y2＞y1＞0

2．如图，边长为2的正方形ABCD的中心是直角坐标系的原点O，AD∥x轴，抛物线y＝x2和y＝－x2分别经过点A，B，C，D，将正方形成几部分，则图中阴影部分的面积为________．

3．已知正方形的周长为C cm，面积为S cm2.

(1)求S和C之间的函数表达式，并画出图象；

(2)根据图象，求出S＝1 cm2时，正方形的周长；

(3)根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2.

五、课堂小结

1．二次函数y＝x2和y＝－x2的图象的画法：

(1)选择适当的x值，计算相应的y的值；

(2)在坐标系中描点；

(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数的图象．

2．二次函数y＝x2和y＝－x2的图象与性质：

　　（六）布置作业

教材第34～35页习题2.2第1题．

四、教学反思

本节课的设计力求体现使学生学会学习，努力实现学生的主体地位，使数学教学成为一种过程教学，并注意教师角色的转变，为学生创造一种宽松、和谐，适合发展的学习环境，创设一种有利于思考、讨论、探索的学习氛围，根据学生的实际水平，选择恰当的教学起点和教学方法．由此我采用“问题—猜想—探究—应用”的学科教学模式，把主动权充分地还给学生，让学生在自己已有经验的基础上提出问题，明确学习任务，教师引导学生观察、发现、猜想、操作、动手实践、自主探索、合作交流，寻找解决的办法并最终探求到真正的结果，从而体会到数学的奥妙与成功的快乐．