八年级下册数学期末全真模拟试卷01（原卷+解析版）

2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【沪科版】

期末全真模拟试卷01

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共26题，选择10道、填空5道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题(共10小题,每题3分,满分30分)

1．下列二次根式中，最简二次根式是　　

A． B． C． D．

【分析】分别化简二次根式，从而根据最简二次根式的概念进行分析判断．

【解答】解：、原式，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

、原式，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

、是最简二次根式，故此选项符合题意；

、原式，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

故选：．

2．如果，，为直角三角形的三边，那么以，，为边的三角形是　　

A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定

【分析】根据勾股定理的逆定理即可得到结论．

【解答】解：，，为直角三角形的三边，

，

，

以，，为边的三角形是直角三角形，

故选：．

3．用配方法解方程时，原方程应变形为　　

A． B． C． D．

【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可．

【解答】解：，

，

则，即，

故选：．

4．实数①，②，③，④中，与是同类二次根式的有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据同类二次根式的定义即可求出答案．

【解答】解：，，，，

①③④与是同类二次根式，

故选：．

5．一个正多边形，它的每一个外角都等于，则该正多边形是　　

A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形

【分析】根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数．

【解答】解：，

这个正多边形的边数是9．

故选：．

6．某校男篮队员的年龄分布如表所示：

对于不同的，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是　　

A．众数，中位数 B．众数，方差 

C．平均数，中位数 D．平均数，方差

【分析】由频数分布表可知前两组的频数和为4，即可得知总人数，结合频数分布表知出现次数最多的数据及第5、6个数据的平均数求出中位数，可得答案．

【解答】解：由表可知，年龄为13岁与年龄为14岁的频数和为，

则总人数为：，

故该组数据的众数为15岁；

按大小排列后，第5个和第6个数据为：15，15，则中位数为：岁，

即对于不同的，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，

故选：．

7．某种商品经过两次降价，由原来每件25元调至16元，设平均每次下降的百分率为，那么的值为　　

A． B．20 C．25 D．

【分析】根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．

【解答】解：依题意，得：，

解得：，（舍去，不合题意）．

故选：．

8．如图，在平行四边形中，，，于，则　　

A． B． C． D．

【分析】根据平行四边形性质求出，，求出的度数，求出，根据得出，求出，即可求出答案．

【解答】解：平行四边形，

，，

，

，

，

，

，

，

，

故选：．

9．如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，则下列说法正确的是　　

A．若四边形是平行四边形，则与相等 

B．若四边形是正方形，则与互相垂直且相等 

C．若，则四边形是矩形 

D．若，则四边形是菱形

【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．

【解答】解：、分别是边、的中点，

，，

同理可知，，，

，，

四边形是平行四边形，与不一定相等，说法错误；

四边形是正方形时，与互相垂直且相等，说法正确；

若，则四边形是菱形，说法错误；

若，则四边形是矩形，说法错误；

故选：．

10．如图，点在边上，点、两点在边上，若与相交于点，与相交于点，则下列三角形面积的大小关系正确的是　　

A．， B．， 

C．， D．，

【分析】根据平行四边形性质和平行线间距离相等的性质，可得，再结合，，，即可得出答案．

【解答】解：四边形是平行四边形，

，

、、的边上的高相等，

，

，

，

，

故选：．

二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）

11．使二次根式有意义的的取值范围是　　．

【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出的范围．

【解答】解：根据题意得：，

解得．

故答案为：．

12．北京冬奥会金牌榜前十位的金牌数分别为16，12，9，8，8，8，7，7，6，5．这组数据的平均数、众数和中位数中，最大的是 　平均数　．

【分析】要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．

【解答】解：这组数据的平均数是．

观察数据可知，最中间的那两个数的平均数为8，所以中位数是8．

众数是数据中出现最多的一个数即8．

所以这组数据的平均数、众数和中位数中，最大的是平均数．

故答案为：平均数．

13．在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，根据这个规则，方程的解为　，　．

【分析】先根据新定义得到，再移项得，然后利用直接开平方法求解．

【解答】解：，

，

，

，

所以，．

故答案为，．

14．如图，与均是等腰直角三角形，点，，在同一直线上，，，，则　　．

【分析】由“”可证，可得，，在中，由勾股定理可求的长．

【解答】解：，，，

，，，，

在和中，

，

，

，，

，

，

，

解得：，（不合题意舍去），

故答案为：．

15．如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，的长为　或3　．

【分析】当为直角三角形时，有两种情况：

①当点落在矩形内部时，如答图1所示．

连接，先利用勾股定理计算出，根据折叠的性质得，而当为直角三角形时，只能得到，所以点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，则，，可计算出，设，则，，然后在中运用勾股定理可计算出．

②当点落在边上时，如答图2所示．此时为正方形．

【解答】解：当为直角三角形时，有两种情况：

①当点落在矩形内部时，如答图1所示．

连接，

在中，，，

，

沿折叠，使点落在点处，

，

当为直角三角形时，只能得到，

点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，

，，

，

设，则，，

在中，

，

，解得，

；

②当点落在边上时，如答图2所示．

此时为正方形，．

综上所述，的长为或3．

故答案为：或3．

三、解答题(共7大题,满分55分)

16．计算下列各题：

（1）（用适当方法解方程）；

（2）．

【分析】（1）利用因式分解法将原方程分解因式，进而解一元二次方程得出即可．

（2）先化简二次根式、计算二次根式的乘除法，再计算加减即可．

【解答】解：（1），

，

，

，

；

（2）原式

．

17．已知：关于的方程．

（1）试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若，请解此方程．

【分析】（1）由△可得结论；

（2）将代入方程得，利用配方法解方程即可．

【解答】解：（1）△，

无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

（2）当时，原方程为：，

，

，．

18．用无刻度的直尺按要求作图．（请保留作图痕迹，不写作法，标上字母）

（1）如图1，已知，，点在边上，四边形是矩形，请你在图中画出的平分线；

（2）如图2，在的正方形网格中，请以为边画一个与面积相等，且各顶点均在格点上的．

【分析】（1）连接，交于点，作射线即可．

（2）判断出平行四边形的面积为10，作出平行四边形即可．

【解答】解：（1）如图，射线即为所求．

（2）如图，平行四边形即为所求．

19．2020年，新型冠状病毒肆虐全球，疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼，学习和身体健康状况都有一定的影响．为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳远水平测试．随机抽取50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．

学生立定跳远测试成绩的频数分布表

请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：

（1）表中　8　，　　；

（2）样本成绩的中位数落在 　　范围内；

（3）请把频数分布直方图补充完整；

（4）该校共有1200名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在范围内的有多少人？

【分析】（1）由频数分布直方图可得，由频数之和为50求出的值；

（2）根据中位数的意义，找出第25、26位的两个数落在哪个范围即可；

（3）求出的值，就可以补全频数分布直方图；

（4）样本估计总体，样本中立定跳远成绩在范围内的占，因此估计总体1200人的是立定跳远成绩在范围内的人数．

【解答】解：（1）由统计图得，，，

故答案为：8，20；

（2）由中位数的意义可得，50个数据从小到大排列处在中间位置的两个数在组内，

故答案为：；

（3）补全频数分布直方图如图所示：

（4）（人，

答：估计该校1200名学生中立定跳远成绩在范围内的有240人．

20．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨元．

（1）售价上涨元后，该商场平均每月可售出　　个台灯（用含的代数式表示）；

（2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？

【分析】（1）根据原销售量结合售价每上涨1元销售量就将减少10个，即可得出售价上涨元后的月销售量；

（2）根据总利润单台利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．

【解答】解：（1）售价上涨元后，该商场平均每月可售出个台灯．

故答案为：．

（2）依题意，得：，

整理，得：，

解得：，（不合题意，舍去），

，．

答：这种台灯的售价应定为50元，这时应进台灯500个．

21．如图，斜靠墙上的一根竹竿长为，端点离墙角的水平距离长为．

（1）已知端沿向下移动到，，端将沿方向移动到，．

①当时，求的值；

②当时，求的值．

（2）在竹竿滑动的过程中，面积有最 　大　值（填“大”或“小” ，该最值是 　　．

【分析】（1）①在直角中利用勾股定理求得；然后在直角△中，再次利用勾股定理求得线段的长度；最后结合图形求解；

②当时，利用勾股定理列出方程，通过解该方程求得答案．

（2）以为底，过作的垂线，为垂足，取的中点，结合得到当为△的中线时，△的面积最大．

【解答】解：（1）①由题意可知是直角三角形，

，，

，

，

．

；

②当时，，，

由勾股定理得：，

即，

化简得，

，

；

（2）大，理由如下：

以为底，过作的垂线，为垂足，取的中点，

，

在竹竿下滑过程中，当为△的中线时，△的面积最大，

最大值．

故答案是：大；25．

22．已知：如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接．

（1）求证：是的中点；

（2）如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论．

【分析】（1）可证，得出，进而根据，得出是中点的结论；

（证法2：可根据平行且相等于，得出四边形是平行四边形，从而证得是的中位线，由此得出是中点）

（2）若，则是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知；而与平行且相等，故四边形是平行四边形，又，则四边形是矩形．

【解答】（1）证明：是的中点，

．

，

，．

在和中，

，

．

．

，

．

即：是的中点．

（2）解：四边形是矩形；

证明：，，

四边形是平行四边形．

，，

即．

平行四边形是矩形．

23．在中，点为的中点．

（1）如图1，若，连接且，试探究与的数量关系；

（2）如图2，若为锐角，过点作于点，连接，，

①求证：；

②若，求的值．

【分析】（1）由，可得，，从而是等腰直角三角形，，根据四边形是平行四边形，是中点，即得；

（2）①取的中点，连接并延长交于，先证明四边形、四边形是平行四边形，可得，根据于点，可得是的垂直平分线，从而，设，则，，由，即可得，；

②设，，则，，，中，，有，解得或，即可得．

【解答】解：（1），理由如下：

，

，

，

，

，

是等腰直角三角形，

，

四边形是平行四边形，是中点，

，，

；

（2）①取的中点，连接并延长交于，如图：

四边形是平行四边形，是中点，是的中点，

，，

四边形、四边形是平行四边形，

，

，，，

，

于点，

，

是的垂直平分线，

，

，

设，则，，

，

，

，

，

，

；

②如图：

由①知：，

设，，则，，，

中，，

，

化简整理得：，

解得或，

，

，

，即．