初中数学北师大版九年级下册2 二次函数的图像与性质教学设计及反思

2.2　 二次函数的图象与性质

第4课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质

一、教学目标

1．能够熟练运用配方法确定二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴和顶点坐标．

2．掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象及性质．

3．能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题．

二、教学重难点

重点：能用配方法确定二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴和顶点坐标．

难点：利用二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象及性质解决实际问题．

三、教学过程

（一）复习导入

1．说出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标：

(1)y＝－(x－5)2＋3；　　　(2)y＝3(x＋7)2－4；

(3)y＝－2(x－3)2－6;  (4)y＝5(x＋9)2＋10.

 2.我们发现，根据二次函数的顶点式很容易确定二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．如果给你一个一般形式的二次函数y＝2x2－8x＋7，你还能确定其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？如何确定？

（二）探究新知

1．用配方法确定二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴和顶点坐标

(1)课件出示教材第39页例1：

求二次函数y＝2x2－8x＋7图象的对称轴和顶点坐标．

处理方式：学生对比一般式和顶点式的形式特点，将一般式通过配方化成顶点式，从而确定二次函数图象的对称轴、顶点坐标．指名学生板演后，师生共同规范解题过程．当然，还有部分同学对配方的过程有些淡忘，可以引导学生小组交流、合作，完成对配方法过程的理解．

解：  y＝2x2－8x＋7

＝2(x2－4x)＋7(提取二次项系数)

＝2(x2－4x＋4－4)＋7

(配方：括号内加上再减去一次项系数一半的平方)

＝2(x－2)2－8＋7

＝2(x－2)2－1　　(整理)

因此，二次函数y＝2x2－8x＋7图象的对称轴是直线x＝2，顶点坐标为(2，－1)．

(2)课件出示教材第40页“做一做”：

确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：

y＝3x2－6x＋7;  y＝2x2－12x＋8.

处理方式：学生板演解题过程，师生共同评价，并对配方过程进行强化．

2．用配方法确定二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的顶点坐标公式

课件出示教材第40页例2：

求二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴和顶点坐标．

处理方式：学生对比以上数字系数的配方过程，完成此例，教师用多媒体进一步强化．

教师强调：二次函数y＝ax2＋bx＋c通过配方可化为y＝a(x＋)2＋，其图象的对称轴是直线x＝－，顶点坐标是(－，)．

3．用配方法解决与二次函数有关的实际问题

课件出示教材第40页“做一做”：

如图所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y＝x2＋x＋10表示，而且左、右两条抛物线关于y轴对称．

(1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少？

(2)两条钢缆最低点之间的距离是多少？

处理方式：先给学生1 min时间审题，让学生将实际问题转化为数学问题，即求抛物线的顶点纵坐标和顶点横坐标绝对值的2倍．然后让学生板书解题过程，并说明自己的思考过程．由于本题的系数是分数，学生在配方的过程中可能会产生困难，教师应给学生足够的思考和交流的时间．

师：你能利用二次函数的顶点坐标公式再次确定上面“钢缆的最低点”问题的答案吗？

处理方式：引导学生依据二次函数图象顶点坐标公式的特点，尝试用公式法进行计算，并口述解题思路．

        　　解：这里a＝，b＝，c＝10.

∴－＝－＝ －20，

＝＝1.

∴对称轴是直线x＝－20，顶点坐标为(－20，1)．

∴钢缆的最低点到桥面的距离是1 m，

两条钢缆最低点之间的距离是2×20＝40 m.

（三）举例分析

例1　确定下列函数图象的对称轴和顶点坐标：

(1)y＝2x2－12x＋3；

(2)y＝2(x－)(x－2)；

(3)y＝2(x－)(x－2)；

(4)y＝3(2x＋1)(2－x)．

处理方式：学生选择能够理解的方法(配方法或公式法)确定函数图象的对称轴和顶点坐标，指两名学生板演，5 min后学生共同纠错，教师强化．

例2　当火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h＝－5t2＋150t＋10表示．经过多长时间，火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？

处理方式：学生自主审题，并将实际问题转化为数学问题后，选择自己理解的方法书写解题过程，一学生板演并说明自己的思考过程，教师再强化解决与函数有关的实际问题的一般思路．

解： h＝－5t2＋150t＋10

 ＝－5(t2－30t－2)

 ＝－5(t2－30t＋152－152－2)

 ＝－5(t－15)2＋1 135

∴当t＝15时，h最大，最大值是1135.

∴经过15 s，火箭到达它的最高点．最高点的高度是1135 m.

（四）练习巩固

1．二次函数y＝－2x2－x＋1图象的顶点在第________象限．

2．若二次函数y＝－2x2－x＋1的图象中，y随x的增大而增大，则x的取值范围是____________．

3．如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y＝4x－x2刻画，则小球到达的最高点的坐标是____________．

（五）课堂小结

1．通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．

2．确定二次函数图象的对称轴及顶点坐标的方法有哪些？

3．二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的顶点坐标是什么？

(－，)

（六）课外作业

教材第41页习题2.5第1、2、4题．

四、教学反思

本节的学习内容是在前面学过二次函数的概念和二次函数y＝ax2，y＝ax2＋h，y＝a(x－h)2的图象和性质的基础上，运用图象变换的观点把二次函数y＝ax2的图象经过一定的平移变换，而得到二次函数y＝a(x－h)2＋k(h≠0，k≠0)的图象．二次函数是初中阶段所学的最后一类最重要、图象性质最复杂、应用难度最大的函数，是学业达标考试中的重要考查内容之一．教材中主要运用数形结合的方法从学生熟悉的知识入手进行知识探究的．这是教学发现与学习的常用方法．另外，在本节内容学习中学生还要注意“类比”前几节的内容学习，在对比中加强联系和区别．在学习过程中加强利用配方法将二次函数一般式化顶点式、判断抛物线对称轴、借图象分析函数增减性等的训练．