2022-2023学年福建省厦门二中八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省厦门二中八年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中图案是轴对称图形的是(    )

A. 打喷嚏  捂口鼻 B. 喷嚏后   慎揉眼
C. 勤洗手   勤通风 D. 戴口罩   讲卫生

2. 下列各式的变形中，是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 下列各式中计算结果为的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知图中的两个三角形全等，则度数是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 如图，在中，，是的平分线，，垂足为，若，，则的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 把多项式分解因式，得，则，的值分别是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

8. 如图所示，已知，，、相交于点，则图中全等三角形共有(    )

A. 对
B. 对
C. 对
D. 对

9. 设，，则与的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 在平面直角坐标系中，点，，，其中，，，若，且，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 计算：______；______．
12. 如图，≌，若，，，则的度数为______．

13. 计算：______．
14. 如图，四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，，则四边形的周长为______．

15. 若，则多项式的值是______．
16. 如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：；；；，其中正确的是______．

三、解答题（本大题共9小题，共86分）

17. 计算：
    ；
    ；
    ；
    ．
18. 因式分解：
    ；
    ；
    ．
19. 如图，点，，，在一条直线上，，，求证：．

20. 化简求值：，其中．
21. 如图，在中，，．
    求作的平分线，交于点；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
    在的条件下，若的面积为，求的面积．

22. 如图，张长为，宽为的长方形纸片拼成一个正方形．
    当正方形的周长是正方形周长的倍时，求的值；
    用含，的代数式表示图中所有阴影部分面积的和．

23. 定义：若数可以表示成为自然数的形式，则称为“希尔伯特”数．例如：，，所以，，是“希尔伯特”数．
    请写出两个以内的“希尔伯特”数．除外
    像，这样的“希尔伯特”数都是可以用连续的两个奇数按定义给出的运算表达出来．已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是，求这两个“希尔伯特”数．
24. 已知：在和中，，，．
    如图，点、、在同一条直线上，延长交于，求证：；
    如图，与交于，在上，若平分，求证：点在直线上．

25. 如图，，在轴上，点在射线上．
    
    若，，，
    求证：点为的中点；
    如图，点在第四象限，，，连接交轴于点，求点和点的坐标直接写出答案；
    如图，点、分别在坐标轴上，，点为的内角平分线的交点，、分别交轴、轴于、两点，若点的纵坐标为，求的周长用含的代数式表示．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】
解：、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选D．  

2.【答案】 

【解析】解：从左边到右边的变形属于整式的乘法，故本选项不符合题意；
B.从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D.从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
 

3.【答案】 

【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、与不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；
D、与不属于同类项，不能合并，故D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的性质有关知识，根据全等三角形对应角相等解答即可．
【解答】
解：两个三角形全等，
．
故选A．  

5.【答案】 

【解析】解：，此选项运算错误；
B.，此选项运算错误；
C.，此选项运算错误；
D.，此选项运算正确；
故选：．
利用积的乘方与幂的乘方、多项式乘多项式法则、完全平方公式和平方差公式分别求解即可．
本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握积的乘方与幂的乘方、多项式乘多项式法则、完全平方公式和平方差公式．
 

6.【答案】 

【解析】解：是的平分线，，，
，

故选：．
根据角平分线的性质求出，即可求出．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，，
故选：．
根据分解因式的结果为，可得，常数项的积是．
本题考查了因式分解十字相乘法．．
 

8.【答案】 

【解析】解：在和中，

≌；
，
，，
，
在和中，

≌；
，
在和中，

≌；
在和中，
 
≌．
故选：．
从已知条件入手，结合全等的判定方法，通过分析推理，一一进行验证，做到由易到难，不重不漏．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：




，

故选：．
根据多项式乘多项式的运算法则化简，然后与进行大小比较．
本题考查多项式乘多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘多项式法则，本题属于基础题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，，若，
点在第一象限，，
过点作轴于点，如图，

，，
，．
，
，
，
．
在和中，
，
≌，
，，
．
，
，
．
，
．
故选：．
依据题意画出图形，过点作轴于点，利用全等三角形的判定与性质解答即可得出结论．
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平面直角坐标系，点的坐标的意义，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
 

11.【答案】   

【解析】解：；
故答案为：；
．
根据同底数幂的乘法法则计算即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
根据积的乘方运算法则计算即可，积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
，
≌，
，
，
，
故答案为：．
根据三角形内角和定理求出，根据全等得出，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
 

13.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
直接利用平方差公式计算，进而得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，
，，
四边形的周长为：．
故答案为：．
直接利用轴对称图形的性质得出答案．
此题主要考查了轴对称变换，正确得出对应线段长度是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，




，
故答案为：．
把化为的形式，再整体代入计算．
本题考查平方差公式，掌握平方差公式的应用是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
、分别平分、，
，，
，故正确．
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，，故正确．
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
又，
．
，
，
故不正确．
连接，，

≌，≌，
，，，
，
，
，
，





，故正确．
故答案为：．
根据三角形全等的判定和性质、三角形内角和定理以及角平分线的判定与性质分别对各个结论分析判断即可．
本题是三角形综合题，考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，证明三角形全等是解题的关键．
 

17.【答案】解：

；


；


；



． 

【解析】利用多项式乘多项式的法则进行运算即可；
利用整式的除法的法则进行运算即可；
先算完全平方，单项式乘多项式，再合并同类项即可；
利用平方差公式及多项式乘多项式的法则进行运算，再合并同类项即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

18.【答案】解：；
；


． 

【解析】根据提公因式法因式分解即可；
根据十字相乘法因式分解即可；
先提公因式，再用公式法因式分解即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
 

19.【答案】证明：，
，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】证明≌，即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：，


当时，
原式． 

【解析】直接利用整式乘法运算法则去括号，进而合并同类项，再将已知代入求出答案．
此题主要考查了整式的混合运算化简求值，正确掌握多项式乘法运算是解题关键．
 

21.【答案】解：如图，即为所求；

由知：平分，
如图，过点作，于点，，
，
的面积，
，
的面积． 

【解析】根据角平分线的作法即可完成作图；
过点作，于点，，根据角平分线的性质可得，由的面积为，即可求的面积．
本题考查了作图基本作图，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
 

22.【答案】解：由题意得：，
解得，
；
如图，



． 

【解析】根据正方形的周长是正方形周长的倍列等式可得：，从而得结论；
利用面积差可得阴影部分的面积和．
本题主要考查了完全平方式和整式的混合运算及列代数式，读懂题意列出代数式是解决本题的关键．
 

23.【答案】解：，，，，，，
以内的“希尔伯特”数有，，，，，，
故以内的“希尔伯特”数是：，答案不唯一；
设两个“希尔伯特”数分别为：和为自然数．
由题意：，
，
，
可得整数解：或，
这两个“希尔伯特”数分别为：和或和． 

【解析】根据“希尔伯特”数的定义即可解决问题；
设两个“希尔伯特”数分别为：和为自然数构建二元方程，求整数解即可解决问题．
本题考查有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．
 

24.【答案】证明：在和中，
，
≌，
，
，
，
，
；
如图，连接，设交于点，过点作，，垂足分别为、，

，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
平分，
，
，
，
平分，
，
，
、、在一条直线上，
点在直线上． 

【解析】证明≌，即可得，再由，可得，从而得到；
连接，设交于点，过点作，，垂足分别为、，利用证明≌，根据全等三角形的性质得出，，进而推出，根据三角形面积公式推出，则平分，根据角平分线的定义得出，进而得出、、在一条直线上．
此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形面积公式、角平分线的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】证明：，，，
，，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
，
是的中点；
解：过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
；
连接、、，过点作轴交于点，过点作轴交于点，
点为的内角平分线的交点，
，，，
，，
，
点的纵坐标为，
，
，
≌，≌，
，



，
，
，
将绕点逆时针旋转，得到，
，，
，
，
≌，
，
的周长




． 

【解析】求出直线的解析式，能够得到点坐标，再结合、点坐标即可证明；
过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，通过证明≌，求得，再用待定系数法求求出直线的解析式即可求；
连接、、，过点作轴交于点，过点作轴交于点，根据题意先证明≌，≌，再由三角形内角和推导出，从而得到，再推导出，将绕点逆时针旋转，得到，可证明≌，则的周长．
本题考查三角形的综合应用，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定及性质，角平分线的性质，图形旋转的性质，三角形内角和定理是解题的关键．