初中数学北师大版九年级下册4 二次函数的应用第1课时教案设计

教学目标

1.经历探究矩形最大面积问题和窗户透光最大面积问题的过程,进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验,并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值.

2.能够分析和表示实际问题中变量间的函数关系，并运用二次函数知识解决实际问题的最值，增强解决问题的能力.

教学重难点

重点：会根据不同的条件，利用二次函数解决生活中的实际问题.

难点：从几何背景及实际情景中抽象出函数模型．

教学过程

知识回顾

求下列二次函数的顶点坐标，并说明y随x的变化情况.

（1）y＝x2－4x－1（配方法）；（2）y＝x2＋3x（公式法）.

设计意图：引导学生复习前面所学过的内容，由于学习本节课所用的基本知识点是求二次函数的最值，因此和同学们一起复习二次函数最值的求法以及二次函数的增减性，为本节课的学习做好准备.

导入新课

同学们在路边、闹市区经常会看到很多的大型广告牌，大家平常见到的广告牌一般什么形状的比较多？

多媒体展示生活中常见的广告牌

请学生思考下面的问题

现在一个广告公司接到了一笔业务,需要设计一块周长为12 m的矩形广告牌,由于公司一般根据广告牌面积的大小收取制作设计费,如果你是该公司的设计员,你能否设计出令广告公司老板满意的广告牌？

分析：显然在周长一定的情况下，面积越大，利润就越多，老板越满意,如何能让广告牌的面积最大呢？

设计意图：通过实际情境设置悬念，引入新课，让学生充分感受到最值的概念，让学生亲身实践探究，培养学生思维的缜密性，渗透函数思想.

探究新知

一、预习新知

多媒体展示本节开始的问题

如图所示，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.

教师引导学生思考下面的问题

问题1：△CBE与△FAE有什么关系？

问题2：如果设矩形的一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示？

教师引导学生独立思考，完成下面的填空.

∵BC∥AD，

∴∠CBE＝∠FAE＝.

又∵∠E＝∠E，

∴△CBE∽．

∴＝．

又∵EA＝40，AB＝x，EB＝，

∴＝．

∴BC＝．

∴AD＝BC＝．

问题3：设矩形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？

教师引导学生先表示出矩形ABCD的面积，然后按照下面的思路填空.

∵AB＝x，AD＝，

∴y＝＝，（填顶点式）

∴当x＝时，y有最大值，y最大＝．

问题4：如果设AD边的长为x m，那么问题会怎么样呢？与同伴交流.

教师引导学生分析：要求面积需求AB边的长，而AB＝DC，所以可以求DC的长度，而DC是△FDC中的一边，所以利用三角形相似来求，最后让学生独立完成下面的填空.

∵DC∥AB，

∴∠FDC＝∠FAE＝.

∵∠F＝∠F，

∴△FDC∽．

∴．

又∵FA＝30，AD＝x，FD＝，

∴．

∴DC＝．

∴AB＝DC＝．

在矩形ABCD中，∵AD＝x，AB＝，

∴y＝＝，（填顶点式）

∴当x＝时，y有最大值，y最大＝．

设计意图：从矩形的面积公式入手，利用相似三角形的性质表示出另外一条边，才能列出函数表达式，此题的思路也是解决矩形最大面积问题最常用的方法.

二、合作探究

如果我们将矩形ABCD的位置改变，你能求出最大面积吗？

多媒体展示课本中的议一议.

在上面的问题中，如果把矩形改为图中所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？

师生活动：通过观察，想一想此图形和上面图形的区别，判断是否也可以利用相似解决.经过讨论交流，一部分学生得出：可以利用相似三角形对应高的比等于相似比解决.对于感觉有难度的学生，教师给予提示.

让学生先尝试独立解答，仍感觉有困难的学生可以求助同学或老师.

学生解答后，教师多媒体出示解题过程，供学生订正，规范学生的解题步骤.

教师总结：虽然这两个内接矩形情形不同，但得到最大面积都是300 m2.

设计意图：既加深了旧知的复习应用，又在比较中总结表示线段的多种方法，让学生体会到类比解题，在同中找异.

拓展：求二次函数最大(小)值的方法：(1)利用顶点坐标公式，求最大(小)值；(2)利用配方法化为顶点式，求最大(小)值；(3)利用图象找顶点，求最大(小)值.

典型例题

【例1】某建筑的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长为15 m(图中所有黑线长度和).当x等于多少时，窗户通过的光线最多？(结果精确到0.01 m)此时，窗户的面积是多少？(结果精确到0.01 m2)

【问题探索】要求窗户通过的光线最多，即求窗户面积的最大值，因此需要建立窗户的面积S与x的表达式，再利用二次函数的性质求解．

【解】由题意可知4y＋×2πx＋7x＝15.

化简，得y＝.

∵0＜x＜15，0＜y＜15，∴0＜x＜1.48.

设窗户的面积为S m2，

则S＝πx2＋2x·＝－3.5x2＋7.5x.

∵a＝－3.5<0，∴S有最大值，

∴当x＝－＝≈1.07时，

S最大＝＝≈4.02.

即当x≈1.07时，窗户通过的光线最多，此时，窗户的面积约是4.02 m2.

【总结】此题较复杂，特别要注意：中间线段用含x的代数式来表示时，要充分利用几何关系．要注意抛物线顶点的横坐标是否在自变量的实际取值范围内．

【例2】如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8 m，宽AB为2 m，以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6 m.

(1)求抛物线的解析式.

(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆卡车高4.2 m，宽2.4 m，这辆卡车能否通过该隧道？说明理由．

【问题探索】要求抛物线的解析式，需根据函数图象特点，设出顶点式进行求解．要判断这辆卡车能否通过该隧道，即求当x＝2.4时，该抛物线的函数值是否大于4.2.

【解】(1)由题意，得E(0，6)，D(4，2)．

∵点E为顶点，

∴可设抛物线的解析式为y＝ax2＋6.

将点D的坐标代入，得16a＋6＝2，

解得a＝－.

∴y＝－x2＋6.[来源:学.科.网Z.X.X.K]

(2)这辆卡车能通过该隧道．理由如下：

∵当x＝2.4时，y＝－×2.42＋6＝4.56>4.2，

∴这辆卡车能通过该隧道．

【总结】解决这类问题的关键是根据已知条件在已建立的平面直角坐标系中求出各点坐标，再结合函数解析式，利用方程去解决问题．

课堂练习

1.某中学计划用20m的围栏靠墙围成一个如图所示的矩形花园ABCD，设AB＝xm，矩形的面积为Sm²，S的最大值是（        ）

A.20  m²B.30 m²

C.40m²D.50m²

2.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m，则能建成的饲养室面积最大为m2.

3.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝x m.

(1)若花园的面积为192 m2，求x的值；

(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值.

参考答案

1.D

2.75

3.解：(1)∵AB＝x m，∴BC＝(28－x)m，∴x(28－x)＝192，

解得x1＝12，x2＝16.　

(2)由题意可得S＝x(28－x)＝－x2＋28x＝－(x－14)2+196.

∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，

∴当28－x＝15，即x＝13时，S取到最大值为－(13－14)2+196＝195.

课堂小结

(学生总结，老师点评)

如何将面积最大问题转化为二次函数最值问题求解.

板书设计

第二章　二次函数

4　二次函数的应用

第1课时　面积最大问题

1.利用相似三角形的性质表示矩形的另一边,是列矩形面积与一边长的函数表达式的关键.

2.几何图形最大面积问题,实质上是二次函数的最值问题.

3.解决此类问题,理解问题,分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系是难点,用数学的方式表示它们间的关系是关键,化归为二次函数并运用公式求解是易错点.

教学反思

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