华师大版八年级下册第19章 矩形、菱形与正方形综合与测试习题

这是一份华师大版八年级下册第19章 矩形、菱形与正方形综合与测试习题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(无锡中考)下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是
( C )
A．内角和为360° B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
2．正方形ABCD的对角线长为2，则它的面积为 ( A )
A.2 B．4 C．6 D．8
若矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOD＝120°，AC＝8，则△ABO的周长为 ( B )
A.16 B．12 C．24 D．20
如图，菱形OABC的顶点B在y轴上，顶点C的坐标为(－3，2)，若反比例函数y＝ eq \f(k,x) (x＞0)的图象经过点A，则此反比例函数的表达式为 ( D )
A.y＝ eq \f(3,x) (x＞0) B．y＝－ eq \f(3,x) (x＞0)
C．y＝－ eq \f(6,x) (x＞0) D．y＝ eq \f(6,x) (x＞0)
第4题图
在平面直角坐标系中，已知点A(0，0)，B(2，－2)，C(4，0)，D(2，2)，则以这四个点为顶点的四边形ABCD是 ( A )
A.正方形 B．菱形
C．梯形 D．矩形
6．如图，在菱形ABCD中，∠C＝108°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连结AP，则∠APB等于 ( B )
A.50° B．72° C．70° D．80°
第6题图
7.如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6，点E为BC上一点，ED平分∠AEC，则CE的长为 ( B )
A.1 B．2 C．3 D．4
第7题图
8.(江西中考)如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有
( D )
A.3种 B．4种 C．5种 D．6种
第8题图
如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点E处，且CE与AB交于F，那么S△ACF的值为 ( D )
A.12 B．15 C．6 D．10
第9题图
如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点(不与A，B重合)，对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N.下列结论：①△APE≌△AME；②PM＋PN＝BD；③PE2＋PF2＝PO2.其中正确的有 ( D )
A.0个 B．1个 C．2个 D．3个
第10题图
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，则OB的长度为3．
12．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是22.5°．
第12题图
13．如图，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动．要使四边形CBFE为菱形，还需添加的一个条件是CB＝BF；BE⊥CF；∠EBF＝60°；BD＝BF等(写出一个即可).
第13题图
14．如图，两个全等菱形摆放在一起，其中B，C，D和G，C，F分别在同一条直线上，若菱形的边AB＝13，点A与点E的距离是48，则此菱形的对角线GB的长为10．
第14题图
15．如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC，EF＝EC，DE＝2，矩形的周长为16，则AE的长是3．
第15题图
16．如图，正方形ABCD的边长为3 eq \r(2) ，对角线AC，BD相交于点O，将AC向两个方向延长，分别至点E和点F，且AE＝CF＝3，则四边形BEDF的周长为12 eq \r(5) ．
第16题图
17．如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，BC＝5，若DE∥AC，CE∥BD，则OE的长为5．
第17题图
18．在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ的周长的最小值为6．
三、解答题(共66分)
19．(8分)如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，连结AF，DF，BE，CE，AF与BE交于G，DF与CE交于H.求证：四边形EGFH为菱形．
证明：∵在矩形ABCD中，AD＝BC，且E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE＝DE＝BF＝CF.
又∵AD∥BC，
∴四边形AECF，BEDF是平行四边形．
∴GF∥EH，EG∥FH，∴四边形EGFH是平行四边形．
连结EF，∵AE＝BF，AE∥BF.且∠EAB＝90°，
∴四边形AEFB是矩形，∴GE＝GF.
∴四边形EGFH是菱形．
20．(8分)如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE＝AF.
求证：∠ABF＝∠CBE.
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC，∠A＝∠C，
在△AFB与△CEB中，
∵AB＝BC，CE＝AF，∠A＝∠C，
∴△ABF≌△CBE，
∴∠ABF＝∠CBE.
21．(8分)如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是36，求DP的长．
解：过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，
∵∠DPB＝∠ABC＝∠E＝90°，
∴四边形DPBE是矩形，∴∠CDE＋∠CDP＝90°.
∵∠ADC＝90°，
∴∠ADP＋∠CDP＝90°，∴∠ADP＝∠CDE，
∵∠APD＝∠E＝90°，在△ADP和△CDE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠ADP＝∠CDE，,∠APD＝∠E，,AD＝CD，))
∴△ADP≌△CDE()，
∴DE＝DP，∴矩形DPBE是正方形，
四边形ABCD的面积＝四边形DPBE的面积＝36，
∴DP＝ eq \r(36) ＝6.
22.(8分)如图，已知四边形ABFC为菱形，点D，A，E在直线l上，∠BDA＝∠BAC＝∠CEA.
(1)求证：△ABD≌△CAE；
(2)若∠FBA＝60°，连结DF，EF，判断△DEF的形状，并说明理由．
(1)证明：∵四边形ABFC为菱形，∴AB＝AC.
∵∠BDA＝∠BAC＝∠CEA，
∴∠2＋∠1＝180°－∠BDA，∠3＋∠1＝180°－∠BAC，
∴∠2＝∠3.∴△ABD≌△CAE()；
(2)解：△DEF是等边三角形．
理由：连结AF，
∵四边形ABFC为菱形，∠FBA＝60°，
∴△ABF与△ACF均为等边三角形，
∴BF＝AF，∠FBA＝∠FAC＝∠BFA＝60°.
∵∠2＝∠3，∴∠FBA＋∠2＝∠FAC＋∠3，即∠FBD＝∠FAE，
∵△ABD≌△CAE，∴BD＝AE.∴△FBD≌△FAE()，
∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE.
∵∠BFA＝∠BFD＋∠DFA＝60°，
∴∠AFE＋∠DFA＝60°，即∠DFE＝60°.
∴△DEF是等边三角形．
23．(10分)如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连结BE，∠F＝45°.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若AB＝14，DE＝8，求△ABE的周长．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.∴∠DAF＝∠F.
∵∠F＝45°，∴∠DAE＝45°.
∵AF是∠BAD的平分线，
∴∠EAB＝∠DAE＝45°.∴∠DAB＝90°.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠DCB＝∠D＝90°.
∵AB＝14，DE＝8，∴CE＝6.
在Rt△ADE中，∠DAE＝45°，∴∠DEA＝∠DAE＝45°.
∴AD＝DE＝8.∴BC＝8.
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE＝ eq \r(BC2＋CE2) ＝10，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝ eq \r(AD2＋DE2) ＝8 eq \r(2) ，
∴△ABE的周长＝AB＋BE＋AE＝24＋8 eq \r(2) .
24.(12分)如图，在正方形ABCD中，点M在边AB上，点N在边AD的延长线上，且BM＝DN.点E为MN的中点，DE的延长线与AC相交于点F.试猜想线段DF与线段AC的关系，并证明你的猜想．
猜想：线段DF垂直平分线段AC，且DF＝ eq \f(1,2) AC.
证明：过点M作MG∥AD，与DF的延长线相交于点G，作GH⊥BC，垂足为H，连结AG，CG.
则∠EMG＝∠N，∠BMG＝∠BAD，
∵∠MEG＝∠NED，ME＝NE，
∴△MEG≌△NED()，
∴MG＝DN.
∵BM＝DN，
∴MG＝BM.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∵∠GMB＝∠B＝∠GHB＝90°，
∴四边形MBHG是矩形．
∵MG＝MB，
∴四边形MBHG是正方形，
∴MG＝GH＝BH＝MB，∠AMG＝∠CHG＝90°，
∴AM＝CH，
∴△AMG≌△CHG().
∴GA＝GC.
∵DA＝DC，
∴DG是线段AC的垂直平分线．
∵∠ADC＝90°，DA＝DC，
∴∠DAF＝∠ADF＝45°，
∴DF＝AF，
同理：DF＝FC，
∴DF＝ eq \f(1,2) AC.
∴线段DF垂直平分线段AC，且DF＝ eq \f(1,2) AC.
25.(12分)如图①，四边形OABC是菱形，点C在x轴上，AB交y轴于点H，AC交y轴于点M.已知点A(－3，4).
(1)求AO的长；
(2)求直线AC的表达式和点M的坐标；
(3)如图②，点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A－B－C运动，到达点C终止．设点P的运动时间为t秒，△PMB的面积为S.
①求S与t的函数关系式；②求S的最大值．
解：(1)∵A(－3，4)，∴AH＝3，OH＝4，
由勾股定理得AO＝ eq \r(AH2＋OH2) ＝5.
(2)∵四边形OABC是菱形，
∴OA＝OC＝BC＝AB＝5，5－3＝2，∴B(2，4)，C(5，0).
设直线AC的表达式是y＝kx＋b，
把A(－3，4)，C(5，0)代入得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4＝－3k＋b，,0＝5k＋b，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－\f(1,2)，,b＝\f(5,2)，))
∴直线AC的表达式为y＝－ eq \f(1,2) x＋ eq \f(5,2) ，
当x＝0时，y＝2.5，∴M(0，2.5).
(3)①过M作MN⊥BC于点N.
∵四边形OABC是菱形，∴∠BCA＝∠OCA.
∵MO⊥CO，MN⊥BC，∴OM＝MN.
当0≤t＜2.5时，P在AB上，MH＝4－2.5＝ eq \f(3,2) ，
S＝ eq \f(1,2) ×BP×MH＝ eq \f(1,2) ×(5－2t)× eq \f(3,2) ＝－ eq \f(3,2) t＋ eq \f(15,4) ；
当t＝2.5时，P与B重合，△PMB不存在；
当2.5＜t≤5时，P在BC上，S＝ eq \f(1,2) ×PB×MN＝ eq \f(1,2) ×(2t－5)× eq \f(5,2) ＝ eq \f(5,2) t－ eq \f(25,4) .
综上所述，S与t的函数关系式是S＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)t＋\f(15,4)（0≤t＜2.5），,\f(5,2)t－\f(25,4)（2.5＜t≤5）.))
②当P在AB上时，高MH一定，只有BP取最大值即可，即P与A重合，S最大是 eq \f(1,2) ×5× eq \f(3,2) ＝ eq \f(15,4) ；
同理在BC上时，P与C重合时，S最大是 eq \f(1,2) ×5× eq \f(5,2) ＝ eq \f(25,4) ，
综上所述，S的最大值是 eq \f(25,4) .