第十六讲 直线与圆的位置关系同步练习

基础巩固

1．已知⊙O和直线L相交，圆心到直线L的距离为10cm，则⊙O的半径可能为（　　）

A．10cm           B．6cm   C．12cm      D．以上都不对

解：∵⊙O和直线L相交，∴d＜r，∵d=10cm ，∴r＞10，∴只有选项C符合条件，

故选C．

2．如图，⊙O的半径为4，点P是⊙O外的一点，PO=10，点A是⊙O上的一个动点，连接PA，直线l垂直平分PA，当直线l与⊙O相切时，PA的长度为（　　）

A．10 B． C．11 D．

解：如图所示．连接OA，OC（C为切点），过点O作OB⊥AP．

设AB的长为x，在Rt△AOB中，OB2=OA2﹣AB2=16﹣x2，∵l与圆相切，∴OC⊥l．

∵∠OBD=∠OCD=∠CDB=90°，∴四边形BOCD为矩形．∴BD=OC=4．

∵直线l垂直平分PA，∴PD=BD+AB=4+x．∴PB=8+x．

在Rt△OBP中，OP2=OB2+PB2，即16﹣x2+（8+x）2=102，解得x=．

PA=2AD=2×=．

故选：B．

3．如图，AB与⊙O相切于点A，BO与⊙O相交于点C，点D是优弧AC上一点，∠CDA=27°，则∠B的大小是（　　）

A．27° B．34° C．36° D．54°

解：∵AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥BA．∴∠OAB=90°．∵∠CDA=27°，

∴∠BOA=54°．∴∠B=90°﹣54°=36°．故选：C．

4．如图，在△ABC中，∠BCA=60°，∠A=45°，AC=2，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点M，N，则线段MN长度的最小值是（　　）

A．3 B．2 C．2 D．

解：如图：作CF⊥AB于点F，以CF为直径作圆交CB，CA分别相交于点M，N，则线段MN的长度最小，∵圆的直径最小，∠MON是定值，∴线段MN此时长度的最小，∵∠CFA=90°，∠A=45°，AC=2，∴CF===2，

∵∠BCA=60°，∴∠MON=120°，作OE⊥MN于点E，则∠MOE=60°，

∵OM=，∴ME=，∴MN=2ME=3，故选：A．

5．如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A，C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点．若∠ADE=19°，则∠AFB的度数为何？（　　）

A．97° B．104° C．116° D．142°

解：∵BD是圆O的直径，∴∠BAD=90°，又∵AC平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF=45°，

∵直线ED为圆O的切线，∴∠ADE=∠ABD=19°，

∴∠AFB=180°﹣∠BAF﹣∠ABD=180°﹣45°﹣19°=116°．

故选C．

6．如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A=70°，∠B=60°，则的度数为何（　　）

A．50° B．60° C．100° D．120°

解：∵∠A=70°，∠B=60°，∴∠C=50°．∵此圆与直线BC相切于C点，

∴的度数=2∠C=100°．故选C．

7．如图，己知△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，作∠ABC的角平分线交AC于D，以D为圆心，DA为半径作圆，与射线交于点E，F．有下列结论：

①△ABC是直角三角形；②⊙D与直线BC相切；③点E是线段BF的黄金分割点；④tan∠CDF=2．

其中正确的结论有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

答案：A．

8．已知，如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于D，E两点，过B点的切线交OE的延长线于点F．下列结论：

①OE∥AC；②两段劣弧=；③FD与⊙O相切；④S△BDE：S△BAC=1：4．

其中一定正确的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

解：①∵AB=AC，OB=OE，∴∠ABC=∠ACB，∠OBE=∠OEB，∴∠OEB=∠ACB，

∴OE∥AC，故①正确；

②连接OD，如图所示：∵OE∥AC，∴∠BOE=∠OAD，∠EOD=∠ADO．

∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠BOE=∠EOD，∴=，故②正确；

③在△OBF和△ODF中，，∴△OBF≌△ODF（SAS），

∴∠OBF=∠ODF，∵BF与⊙O相切于点B，∴∠OBF=90°，∴∠ODF=90°，

∴DF与⊙O相切，故③正确；

④∵OE∥AC，∴△BOE∽△BAC，∴=（）2=（）2=，而△BDE的面积≠△BOE的面积，故④不正确；正确的有3个．

故选C．

9．如图，P是抛物线y=x2﹣4x+3上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线y=0相切时，点P的坐标为　   　．

解：当y=1时，x2﹣4x+3=1，解得：x=2±，∴P（2+，1）或（2﹣，1），

当y=﹣1时，x2﹣4x+3=﹣1，解得：x1=x2=2，∴P（2，﹣1），

则点P的坐标为：（2+，1）或（2﹣，1）或（2，﹣1）．

10．在一次数学课上，柳老师出示了一道题的题干：“如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC，BC边分别交于点E，F，G，连接OD，已知BD=3，AE=4，AC=9，BD：OD=3：4．”

小慧根据该题干写出了三个结论：①⊙的半径为5；②AE是⊙O的切线；③图中两部分阴影面积的和为15﹣4π．

其中正确的是　   　．（只填序号）

解：①∵BD=3，BD：OD=3：4，∴OD=4．∴⊙的半径为4，故①错误．

②连接OE．

∵以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，∴OD⊥AB．又∵AE⊥AB，

∴OD∥AE．又∵AE=OD=4，∴四边形DAEO为平行四边形．

又∵∠A=90°，∴四边形DAEO为矩形．∴∠OEA=90°．

∴AE是⊙O的切线，故②正确．

③阴影部分的面积=△ABC的面积﹣正方形ADOE的面积﹣扇形DOF的面积﹣扇形EOG的面积=×7×9﹣4×4﹣π×42=15.5﹣4π．故③错误．

故答案为：②．

11．如图，PA，PB分别切圆O于A，B，并与圆O的切线，分别相交于C，D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA=　   　 cm．

解：如图，设DC与⊙O的切点为E；∵PA，PB分别是⊙O的切线，且切点为A，B；∴PA=PB；同理，可得：DE=DA，CE=CB；

则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10（cm）；∴PA=PB=5cm，

故答案为：5．

12．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD=∠A．

①判断直线BD与圆O的位置关系，并证明你的结论；②若AD：AO=6：5，BC=2，求BD的长．

　解：（1）BD与⊙O的位置关系为相切．理由如下：连接OD，如图1所示：

∵OA=OD，∴∠A=∠ODA，∵∠C=90°∴∠CBD+∠CDB=90°，而∠A=∠CBD，

∴∠ODA+∠CDB=90°，∴∠ODB=90°，∴OD⊥BD，∴BD为⊙O的切线；

（2）连结DE，如图2所示：∵AE为直径，∴∠ADE=90°，∵AD：AO=6：5，

∴设AD=6t，AO=5t，则AE=10t，∴DE==8t，∴cosA===，

∵∠DAE=∠CAB，∴△ADE∽△ACB，∴=，∴===，

∴AC=BC=×2=，∵∠A=∠CBD，∴cos∠CBD=cosA==，∴BD=BC=．

13．如图，点B，C，D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=cm．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）求由弦CD，BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）

【解答】（1）证明：如图所示：连接OC与BD交于点M．

根据圆周角定理得：∠COB=2∠CDB=2×30°=60°，

∵AC∥BD，∴∠A=∠OBD=30°，∴∠OCA=180°﹣30°﹣60°=90°，即OC⊥AC，

∵OC为半径，∴AC是⊙O的切线；

（2）解：由（1）知，AC为⊙O的切线，∴OC⊥AC．∵AC∥BD，∴OC⊥BD．

由垂径定理得：MD=MB=BD=，在Rt△OBM中，∠COB=60°，

∴OB=，在△CDM和△OBM中，

∴△CDM≌△OBM（ASA），∴S△CDM=S△OBM，

∴阴影部分的面积

14．如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OD⊥AB，与AC交于点E，与过点C的⊙O的切线交于点D．

（1）若AC=4，BC=2，求OE的长．（2）试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．

解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB===2，∴OA=AB=，

∵OD⊥AB，∴∠AOE=∠ACB=90°，又∵∠A=∠A，∴△AOE∽△ACB，

∴，即，解得：OE=；

（2）∠CDE=2∠A，理由如下：连接OC，如图所示：∵OA=OC，∴∠1=∠A，

∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∴∠2+∠CDE=90°，∵OD⊥AB，

∴∠2+∠3=90°，∴∠3=∠CDE，∵∠3=∠A+∠1=2∠A，∴∠CDE=2∠A．

拓展提高题

15．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F．点E在⊙O外，作直线AE，且∠EAC=∠D．

（1）求证：直线AE是⊙O的切线．

（2）若BC=4，cos∠BAD=，CF=，求BF的长．

证明：（1）连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ADC+∠CDB=90°，

∵∠EAC=∠ADC，∠CDB=∠BAC，∴∠EAC+∠BAC=90°，即∠BAE=90°，

∴直线AE是⊙O的切线；

（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，Rt△ACB中，∠BAC=30°，

∴AB=2BC=2×4=8，由勾股定理得：AC==4，

Rt△ADB中，cos∠BAD==，∴，∴AD=6，∴BD==2，

∵∠ADC=∠ABC，∠AFD=∠CFB，∴△ADF∽△CBF，∴，∴=，

∴AF=5，∵AF+BF=AB=8，∴BF=8﹣5=3．过点B作CF边的垂线交CF于点H，

∵cos∠BAD=，∴cos∠BCD=，∵BC=4，∴CH=3，∴BH=，

∴FH=CF﹣CH=，在Rt△BFH中，BF=．