还剩12页未读，
继续阅读
浙教版九年级下册第二章 直线与圆的位置关系综合与测试综合训练题
展开
这是一份浙教版九年级下册第二章 直线与圆的位置关系综合与测试综合训练题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共4小题）
1. 已知 ⊙O 是 △ABC 的外接圆，⊙O 的半径为 R，AD 是 △ABC 的高，E 是 BC 的中点，EF 与 ⊙O 相切于点 E，交 AC 的延长线于点 F，则下列结论：① AC⋅AB=2R⋅AD；② EF∥BC；③ CF⋅AC=EF⋅CM；④ CMBM=sinBsinF 其中正确的结论是
A. ①②③B. ①③④C. ②③④D. ①②③④
2. 如图所示，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，以 AC 为直径的 ⊙O 交 AB 于点 D，过点 D 作 ⊙O 的切线，与边 BC 交于点 E．若 AD=95，AC=3，则 DE 长为
A. 32B. 2C. 52D. 5
3. 如图所示，P 为 ⊙O 的直径 BA 延长线上的一点，PC 与 ⊙O 相切，切点为 C，点 D 是 ⊙ 上一点，连接 PD．已知 PC=PD=BC．下列结论：① PD 与 ⊙O 相切；②四边形 PCBD 是菱形；③ PO=AB；④ ∠PDB=120∘．其中正确的结论的个数为
A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个
4. 如图，直线 l1∥l2，⊙O 与 l1 和 l2 分别相切于点 A 和点 B，点 M 和点 N 分别是 l1 和 l2 上的动点，MN 沿 l1 和 l2 平移，若 ⊙O 的半径为 1，∠AMN=60∘，则下列结论不正确的是
A. l1 和 l2 的距离为 2
B. 当 MN 与 ⊙O 相切时，AM=3
C. MN=433
D. 当 ∠MON=90∘ 时，MN 与 ⊙O 相切
二、填空题（共4小题）
5. 如图所示，直线 PB 切 ⊙O 于点 B，PO 交 ⊙O 于点 C，若 PB=23，PC=2，则 ∠BAC= ．
6. 如图所示，AB 是 ⊙O 的直径，点 D，T 是圆上的两点，且 AT 平分 ∠BAD，过点 T 作 AD 延长线的垂线 PQ，垂足为 C．若 ⊙O 的半径为 2，TC=3，则图中阴影部分的面积是 ．
7. 如图所示，正方形 ABCD 的边长为 2，⊙O 的直径为 AD，将正方形沿 EC 折叠，点 B 落在圆上的点 F 处，则 BE 的长为 ．
8. 如图所示，点 P 为 △ABC 的内心，延长 AP 交 △ABC 的外接圆 ⊙O 于点 D，过点 D 作 DE∥BC，交 AC 的延长线于点 E．
（1）则直线 DE 与 ⊙O 的位置关系是 ；
（2）若 AB=4，AD=6，CE=3，则 DE= ．
三、解答题（共8小题）
9. 如图所示，AB，AC 分别是半圆 O 的直径和弦，OD⊥AC 于点 D，过点 A 作半圆 O 的切线 AP，AP 与 OD 的延长线交于点 P．连接 PC 并延长与 AB 的延长线交于点 F．
（1）求证：PC 是半圆 O 的切线；
（2）若 ∠CAB=30∘，AB=10，求线段 BF 的长．
10. 已知，在 Rt△ABC 中，AC=BC=24．⊙O 和 BC 相切于点 D．
（1）如图所示，若 ∠C 的平分线交边 AB 于点 O，求证：AC 与 ⊙O 相切．
（2）当 ⊙O 经过点 A 时，设点 E，F 分别为 ⊙O 与边 AC，AB 的另一个交点，连接 EF，若点 E 正好为 AC 的三等分点，求线段 EF 的长．
11. 如图所示，已知 AB 是 ⊙O 的直径，AD 与 ⊙O 相交，点 C 是 ⊙O 上一点，经过点 C 的直线交 AD 于点 E．
（1）若 AC 平分 ∠BAD，CE⊥AD 于点 E，求证：CE 是 ⊙O 的切线．
（2）若 CE 是 ⊙O 的切线，CE⊥AD 于点 E，AC 是 ∠BAD 的平分线吗?请说明理由．
（3）若 CE 是 ⊙O 的切线，AC 平分 ∠BAD，AB=8，AC=6，求 AE 的长度．
12. 如图所示，已知：AB 是 ⊙O 的直径，C 是 ⊙O 上一点，OD⊥AC 于点 D，过点 C 作 ⊙O 的切线，交 OD 的延长线于点 E，连接 AE．
（1）求证：AE 与 ⊙O 相切．
（2）连接 BD，若 ED:DO=3:1，OA=9，求 AE 的长与 tan∠ABD 的值．
13. 如图所示，△ABC 内接于半圆 O，AB 是直径，过点 A 作直线 MN，若 ∠MAC=∠ABC．
（1）求证：MN 是半圆 O 的切线；
（2）设 D 是 AC 的中点，连接 BD 交 AC 于点 G，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，交 AC 于点 F．求证：DE=12AC；
（3）在（2）的条件下，若 △DFG 的面积为 S，且 DG=a，GC=b，试求 △BCG 的面积（用 a，b，S 的代数式表示）．
14. 如图所示，在 △ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的 ⊙O 分别交 AC，BC 于点 D，E，点 F 在 AC 的延长线上，且 ∠CBF=12∠CAB．
（1）求证：直线 BF 是 ⊙O 的切线；
（2）若 AB=5，sin∠CBF=55，求 BC 和 BF 的长．
15. 如图1所示，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A，C 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，且 OA=2，OC=1，矩形对角线 AC，OB 相交于点 E，过点 E 的直线与边 OA，BC 分别相交于点 G，H．
（1）①直接写出点 E 的坐标： ．
②求证：AG=CH．
（2）如图2所示，以 O 点为圆心、 OC 为半径的圆弧交 OA 于点 D，若直线 GH 与 CD 所在的圆相切于矩形内一点 F，求直线 GH 的函数表达式．
（3）在（2）的结论下，梯形 ABHG 的内部有一点 P，当 ⊙P 与 HG，GA，AB 都相切时，求 ⊙P 的半径．
16. 如图所示，四边形 OABC 是平行四边形．以 O 为圆心，OA 为半径的圆交 AB 于点 D，延长 AO 交 ⊙O 于点 E，连接 CD，CE．若 CE 是 ⊙O 的切线，解答下列问题：
（1）求证：CD 是 ⊙O 的切线；
（2）若 BC=3，CD=4，求平行四边形 OABC 的面积．
答案
1. D
2. B
3. A
4. B
【解析】连接 OA，OB，
根据切线的性质和 l1∥l2，得到 AB 为 ⊙O 的直径，则 l1 和 l2 的距离为 2，A 正确．
当 MN 与 ⊙O 相切时，连接 OM，ON，当 MN 在 AB 左侧时，根据切线长定理得 ∠AMO=12∠AMN=30∘，在 Rt△AMO 中，利用正切的定义可计算出 AM=3，在 Rt△OBN 中，由于 ∠ONB=12BNM=60∘，可计算出 BN=33；当 MN 在 AB 右侧时，AM=33，所以 AM 的长为 3 或 33，B 错误．
当 ∠MON=90∘ 时，作 OE⊥MN 于点 E，延长 NO 交 l1 于点 F，易证得 Rt△OAF≌Rt△OBN，则 OF=ON，于是可判断 MO 垂直平分 NF，所以 OM 平分 ∠NMF，根据角平分线的性质得 OE=OA，然后根据切线的判定定理得到 MN 为 ⊙O 的切线，D 正确．
5. 30∘
6. 93-4π6
7. 23
8. 相切，33
9. （1） 如图所示，连接 OC，
∵ OD⊥AC，OD 经过圆心 O，
∴ AD=CD．
∴ PA=PC．
∴ △OAP≌△OCP．
∴ ∠OCP=∠OAP．
∵ PA 是半圆 O 的切线，
∴ ∠OAP=90∘．
∴ ∠OCP=90∘，即 OC⊥PC．
∴ PC 是半圆 O 的切线．
（2） ∵ AB 是直径，
∴ ∠ACB=90∘．
∵ ∠CAB=30∘，
∴ ∠COF=60∘．
∵ PC 是半圆 O 的切线，AB=10．
∴ OC⊥PF，OC=OB=12AB=5．
∴ OF=OCcs∠COF=5cs60∘=10．
∴ BF=OF-OB=5．
10. （1） 如图1所示，连接 OC，OD，过点 O 作 OG⊥AC 于点 E．
∵ Rt△ABC 中，AC=BC=24，OC 平分 ∠ACB，
∴ OA=OB．
∵ BC 是 ⊙O 的切线，
∴ OD⊥BC．
∴ OD∥AC．
∴ OD=12AC．
∵ OG⊥AC，
∴ OG∥BC．
∴ OG=12BC．
∴ OG=OD．
∴ OG 是 ⊙O 的半径，
∴ AC 与 ⊙O 相切．
（2） 如图 2所示，过点 O 作 OM⊥AE 于点 M，连接 OD．
∵ 点 E 正好为 AC 的三等分点，
∴ AE=23AC=23×24=16．
∴ EC=8．
∴ ME=MA=8．
∴ MC=16．
∵ BC 是 ⊙O 的切线，
∴ OD⊥BC．
∴ 四边形 MCDO 是矩形．
∴ OD=MC=16,
∴ ⊙O 的半径为 16，
∴ EN=32．
∵ Rt△ABC 中，AC=BC=24，
∴ ∠A=∠B=45∘．
∵ ∠A=∠N=45∘，EN 是直径，
∴ ∠EFN=90∘．
∴ △EFN 是等腰直角三角形．
∴ EF=22EN=22×32=162．
11. （1） 如图所示，连接 OC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵AC 平分 ∠BAD，
∴∠OCA=∠CAD．
∴OC∥AD．
∵CE⊥AD，
∴CE⊥OC．
又 ∵OC 是半径，
∴CE 是 ⊙O 的切线．
（2） AC 是 ∠BAD 的平分线．
理由：如图所示，连接 OC．
∵CE 是 ⊙O 的切线，
∴CE⊥OC．
∵CE⊥AD，
∴OC∥AD．
∴∠OCA=∠CAD．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∴∠OCA=∠CAD，
即 AC 是 ∠BAD 的平分线．
（3） 如图所示，连接 OC，BC．
∵CE 是 ⊙O 的切线，
∴CE⊥OC．
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90∘．
∴∠ACE=∠OCB．
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB．
∴∠B=∠ACE．
∵AC 平分 ∠BAD，
∴△ABC∽△ACE．
∴ABAC=ACAE，
即 86=6AE，解得 AE=92．
12. （1） 如图1所示，连接 OC．
∵ OD⊥AC，OC=OA，
∴ ∠AOD=∠COD．
∴ Rt△AOE≌Rt△COE．
∴ ∠EAO=∠ECO．
又 ∵ EC 是 ⊙O 的切线，
∴ ∠ECO=90∘．
∴ ∠EAO=90∘．
∴ AE 与 ⊙O 相切．
（2） 设 DO=t，则 DE=3t，EO=4t，
∵ AODO=EOAO，即 92=4t9，
∴ t=92，即 EO=18．
∴ AE=EO2-AO2=182-92=93．
如图2所示，延长 BD 交 AE 于点 F，过点 O 作 OG∥AE 交 BD 于点 G．
∵ OG∥AE，
∴ ∠FED=∠GOD．
又 ∵ ∠EDF=∠ODG，
∴ △OGD∽△EFD．
∴ EFGO=EDDO=31，即 EF=3GO．
又 ∵ O 是 AB 的中点，
∴ AF=2GO，
∴ AE=AF+FE=5GO，
∴ 5GO=93，
∴ GO=935，
∴ AF=1835．
∵ OA=9，
∴ AB=2OA=18．
∴ tanB=AFAB=35．
13. （1） ∵ AB 是直径，
∴ ∠C=90∘．
∴ ∠ABC+∠BAC=90∘．
又 ∵ ∠MAC=∠ABC，
∴ ∠MAC+∠CAB=90∘，即 ∠BAM=90∘．
∴ OA⊥MN．
∴ MN 是半圆 O 的切线．
（2） 如图所示，连接 OD 交 AC 于点 H．
∵ D 是 AC 的中点，
∴ OD⊥AC，AH=12AC．
∵ ∠DOE=∠AOH，∠OHA=∠OED=90∘，OA=OD，
∴ △OAH≌△ODE．
∴ DE=AH=12AC．
（3） 如图所示，连接 AD．
由（2）知 △OAH≌△ODE，
∴ ∠ODE=∠OAH．
又 ∵ OA=OD，
∴ ∠ODA=∠OAD．
∴ ∠ODA-∠ODE=∠OAD-∠OAH，即 ∠FDA=∠FAD．
∴ FD=FA．
∵ AB 是直径，
∴ ∠BDA=90∘．
∴ ∠FDA+∠GDF=90∘，∠DAF+∠DGF=90∘．
∴ ∠GDF=∠DGF．
∴ FG=DF．
∴ FG=FA=FD．
∴ S△DGF=12S△ADG，易证 △BCG∽△ADG．
∴ S△BCG:S△ADG=CGDG2=ba2．
∴ S△BCG=2b2Sa2．
14. （1） 如图所示，连接 AE，
因为 AB 是 ⊙O 的直径，
所以 ∠AEB=90∘，
所以 ∠1+∠2=90∘．
因为 AB=AC，
所以 ∠1=12∠CAB．
因为 ∠CBF=12∠CAB，
所以 ∠1=∠CBF，
所以 ∠CBF+∠2=90∘，
即 ∠ABF=90∘．
因为 AB 是 ⊙O 的直径，
所以直线 BF 是 ⊙O 的切线．
（2） 如图所示，过点 C 作 CG⊥AB 于点 G．
因为 sin∠CBF=55，∠1=∠CBF，
所以 sin∠1=55．
因为在 Rt△AEB 中，∠AEB=90∘，AB=5，
所以 BE=AB⋅sin∠1=5．
因为 AB=AC，∠AEB=90∘．
所以 BC=2BE=25．
在 Rt△ABE 中，由勾股定理得 AE=AB2-BE2=25，
所以 sin∠2=AEAB=255=CGBC，cs∠2=BEAB=55=BGBC．
在 Rt△CBG 中，可求得 GC=4，GB=2，
所以 AG=3．
因为 GC∥BF，
所以 △AGC∽△ABF．
所以 GCBF=AGAB．
所以 BF=GC⋅ABAG=203．
15. （1） ① 1,12；
② ∵ 矩形 OABC，
∴ CE=AE，BC∥OA．
∴ ∠HCE=∠EAG．
∴ △CHE≌△AGE．
∴ AG=CH．
（2） 如图1所示，连接 DE 并延长 DE 交 CB 于点 M，连接 AC．
∵ DO=OC=1=12OA，
∴ D 是 OA 的中点．
∵ BC∥OA，
∴ ∠MCE=∠DAE．
∴ △CME≌△ADE．
∴ CM=AD=2-1=1．
∵ BC∥OA，∠COD=90∘，
∴ 四边形 CMDO 是矩形．
∴ MD⊥OD，MD⊥CB．
∴ MD 切 ⊙O 于点 D．
∵ HG 切 ⊙O 于点 F，E1,12．
∴ 可设 CH=HF=x，FE=ED=12MD．
在 Rt△MHE 中，有 MH2+ME2=HE2，即 1-x2+122=12+x2，解得 x=13，
∴ H13,1，OG=2-13=53．
∴ G53,0．设直线 GH 的函数表达式为 y=kx+b，把点 G，H 的坐标代入得 53k+b=0,1=13k+b,
解得 k=-34,b=54,
∴ 直线 GH 的函数表达式为 y=-34x+54．
（3） 如图2所示，连接 BG，过点 P 作 PN⊥GA，垂足为点 N．
∵ △OCH≌△BAG，
∴ ∠CHO=∠AGB，
∵ ∠HCO=90∘，
∴ HC 切 ⊙O 于点 C，HG 切 ⊙O 于点 F．
∴ OH 平分 ∠CHF，
∴ ∠CHO=∠FHO=∠BGA．
∵ 四边形 OCBA 是矩形，
∴ BC∥OA，BC=OA．
∵ CH=AG（已证），
∴ BH=OG，BH∥OG．
∴ 四边形 BHOG 是平行四边形．
∴ OH∥BG．
∴ ∠OHE=∠BGE．
∵ ∠CHO=∠FHO=∠BGA，
∴ ∠BGA=∠BGE，即 BG 平分 ∠FGA．
∵ ⊙P 与 HG，GA，AB 都相切，
∴ 和 ∠HGA 的两边都相切的圆的圆心在 ∠HGA 的平分线上，即在 GB 上．
∴ 圆心 P 必在 BG 上．
∴ △GPN∽△GBA．
∴ PNBA=GNGA．设半径为 r，r1=13-r13，解得 r=14．
16. （1） 如图所示，连接 OD，则 OD=OA=OE．
∴∠ODA=∠A．
∵AB∥OC，
∴∠A=∠EOC，∠ODA=∠DOC，
∴∠DOC=∠EOC．
∵CO=CO，
∴△CEO≌△CDO（SAS）．
∵CE 是 ⊙O 的切线，
∴∠CDO=∠CEO=90∘，
∴CD 为 ⊙O 的切线．
（2） 在平行四边形 OABC 中，OA=BC=3．
∵CE⊥OA，CE=CD=4，
∴S平行四边形OABC=OA⋅CE=3×4=12．
一、选择题（共4小题）
1. 已知 ⊙O 是 △ABC 的外接圆，⊙O 的半径为 R，AD 是 △ABC 的高，E 是 BC 的中点，EF 与 ⊙O 相切于点 E，交 AC 的延长线于点 F，则下列结论：① AC⋅AB=2R⋅AD；② EF∥BC；③ CF⋅AC=EF⋅CM；④ CMBM=sinBsinF 其中正确的结论是
A. ①②③B. ①③④C. ②③④D. ①②③④
2. 如图所示，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，以 AC 为直径的 ⊙O 交 AB 于点 D，过点 D 作 ⊙O 的切线，与边 BC 交于点 E．若 AD=95，AC=3，则 DE 长为
A. 32B. 2C. 52D. 5
3. 如图所示，P 为 ⊙O 的直径 BA 延长线上的一点，PC 与 ⊙O 相切，切点为 C，点 D 是 ⊙ 上一点，连接 PD．已知 PC=PD=BC．下列结论：① PD 与 ⊙O 相切；②四边形 PCBD 是菱形；③ PO=AB；④ ∠PDB=120∘．其中正确的结论的个数为
A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个
4. 如图，直线 l1∥l2，⊙O 与 l1 和 l2 分别相切于点 A 和点 B，点 M 和点 N 分别是 l1 和 l2 上的动点，MN 沿 l1 和 l2 平移，若 ⊙O 的半径为 1，∠AMN=60∘，则下列结论不正确的是
A. l1 和 l2 的距离为 2
B. 当 MN 与 ⊙O 相切时，AM=3
C. MN=433
D. 当 ∠MON=90∘ 时，MN 与 ⊙O 相切
二、填空题（共4小题）
5. 如图所示，直线 PB 切 ⊙O 于点 B，PO 交 ⊙O 于点 C，若 PB=23，PC=2，则 ∠BAC= ．
6. 如图所示，AB 是 ⊙O 的直径，点 D，T 是圆上的两点，且 AT 平分 ∠BAD，过点 T 作 AD 延长线的垂线 PQ，垂足为 C．若 ⊙O 的半径为 2，TC=3，则图中阴影部分的面积是 ．
7. 如图所示，正方形 ABCD 的边长为 2，⊙O 的直径为 AD，将正方形沿 EC 折叠，点 B 落在圆上的点 F 处，则 BE 的长为 ．
8. 如图所示，点 P 为 △ABC 的内心，延长 AP 交 △ABC 的外接圆 ⊙O 于点 D，过点 D 作 DE∥BC，交 AC 的延长线于点 E．
（1）则直线 DE 与 ⊙O 的位置关系是 ；
（2）若 AB=4，AD=6，CE=3，则 DE= ．
三、解答题（共8小题）
9. 如图所示，AB，AC 分别是半圆 O 的直径和弦，OD⊥AC 于点 D，过点 A 作半圆 O 的切线 AP，AP 与 OD 的延长线交于点 P．连接 PC 并延长与 AB 的延长线交于点 F．
（1）求证：PC 是半圆 O 的切线；
（2）若 ∠CAB=30∘，AB=10，求线段 BF 的长．
10. 已知，在 Rt△ABC 中，AC=BC=24．⊙O 和 BC 相切于点 D．
（1）如图所示，若 ∠C 的平分线交边 AB 于点 O，求证：AC 与 ⊙O 相切．
（2）当 ⊙O 经过点 A 时，设点 E，F 分别为 ⊙O 与边 AC，AB 的另一个交点，连接 EF，若点 E 正好为 AC 的三等分点，求线段 EF 的长．
11. 如图所示，已知 AB 是 ⊙O 的直径，AD 与 ⊙O 相交，点 C 是 ⊙O 上一点，经过点 C 的直线交 AD 于点 E．
（1）若 AC 平分 ∠BAD，CE⊥AD 于点 E，求证：CE 是 ⊙O 的切线．
（2）若 CE 是 ⊙O 的切线，CE⊥AD 于点 E，AC 是 ∠BAD 的平分线吗?请说明理由．
（3）若 CE 是 ⊙O 的切线，AC 平分 ∠BAD，AB=8，AC=6，求 AE 的长度．
12. 如图所示，已知：AB 是 ⊙O 的直径，C 是 ⊙O 上一点，OD⊥AC 于点 D，过点 C 作 ⊙O 的切线，交 OD 的延长线于点 E，连接 AE．
（1）求证：AE 与 ⊙O 相切．
（2）连接 BD，若 ED:DO=3:1，OA=9，求 AE 的长与 tan∠ABD 的值．
13. 如图所示，△ABC 内接于半圆 O，AB 是直径，过点 A 作直线 MN，若 ∠MAC=∠ABC．
（1）求证：MN 是半圆 O 的切线；
（2）设 D 是 AC 的中点，连接 BD 交 AC 于点 G，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，交 AC 于点 F．求证：DE=12AC；
（3）在（2）的条件下，若 △DFG 的面积为 S，且 DG=a，GC=b，试求 △BCG 的面积（用 a，b，S 的代数式表示）．
14. 如图所示，在 △ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的 ⊙O 分别交 AC，BC 于点 D，E，点 F 在 AC 的延长线上，且 ∠CBF=12∠CAB．
（1）求证：直线 BF 是 ⊙O 的切线；
（2）若 AB=5，sin∠CBF=55，求 BC 和 BF 的长．
15. 如图1所示，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A，C 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，且 OA=2，OC=1，矩形对角线 AC，OB 相交于点 E，过点 E 的直线与边 OA，BC 分别相交于点 G，H．
（1）①直接写出点 E 的坐标： ．
②求证：AG=CH．
（2）如图2所示，以 O 点为圆心、 OC 为半径的圆弧交 OA 于点 D，若直线 GH 与 CD 所在的圆相切于矩形内一点 F，求直线 GH 的函数表达式．
（3）在（2）的结论下，梯形 ABHG 的内部有一点 P，当 ⊙P 与 HG，GA，AB 都相切时，求 ⊙P 的半径．
16. 如图所示，四边形 OABC 是平行四边形．以 O 为圆心，OA 为半径的圆交 AB 于点 D，延长 AO 交 ⊙O 于点 E，连接 CD，CE．若 CE 是 ⊙O 的切线，解答下列问题：
（1）求证：CD 是 ⊙O 的切线；
（2）若 BC=3，CD=4，求平行四边形 OABC 的面积．
答案
1. D
2. B
3. A
4. B
【解析】连接 OA，OB，
根据切线的性质和 l1∥l2，得到 AB 为 ⊙O 的直径，则 l1 和 l2 的距离为 2，A 正确．
当 MN 与 ⊙O 相切时，连接 OM，ON，当 MN 在 AB 左侧时，根据切线长定理得 ∠AMO=12∠AMN=30∘，在 Rt△AMO 中，利用正切的定义可计算出 AM=3，在 Rt△OBN 中，由于 ∠ONB=12BNM=60∘，可计算出 BN=33；当 MN 在 AB 右侧时，AM=33，所以 AM 的长为 3 或 33，B 错误．
当 ∠MON=90∘ 时，作 OE⊥MN 于点 E，延长 NO 交 l1 于点 F，易证得 Rt△OAF≌Rt△OBN，则 OF=ON，于是可判断 MO 垂直平分 NF，所以 OM 平分 ∠NMF，根据角平分线的性质得 OE=OA，然后根据切线的判定定理得到 MN 为 ⊙O 的切线，D 正确．
5. 30∘
6. 93-4π6
7. 23
8. 相切，33
9. （1） 如图所示，连接 OC，
∵ OD⊥AC，OD 经过圆心 O，
∴ AD=CD．
∴ PA=PC．
∴ △OAP≌△OCP．
∴ ∠OCP=∠OAP．
∵ PA 是半圆 O 的切线，
∴ ∠OAP=90∘．
∴ ∠OCP=90∘，即 OC⊥PC．
∴ PC 是半圆 O 的切线．
（2） ∵ AB 是直径，
∴ ∠ACB=90∘．
∵ ∠CAB=30∘，
∴ ∠COF=60∘．
∵ PC 是半圆 O 的切线，AB=10．
∴ OC⊥PF，OC=OB=12AB=5．
∴ OF=OCcs∠COF=5cs60∘=10．
∴ BF=OF-OB=5．
10. （1） 如图1所示，连接 OC，OD，过点 O 作 OG⊥AC 于点 E．
∵ Rt△ABC 中，AC=BC=24，OC 平分 ∠ACB，
∴ OA=OB．
∵ BC 是 ⊙O 的切线，
∴ OD⊥BC．
∴ OD∥AC．
∴ OD=12AC．
∵ OG⊥AC，
∴ OG∥BC．
∴ OG=12BC．
∴ OG=OD．
∴ OG 是 ⊙O 的半径，
∴ AC 与 ⊙O 相切．
（2） 如图 2所示，过点 O 作 OM⊥AE 于点 M，连接 OD．
∵ 点 E 正好为 AC 的三等分点，
∴ AE=23AC=23×24=16．
∴ EC=8．
∴ ME=MA=8．
∴ MC=16．
∵ BC 是 ⊙O 的切线，
∴ OD⊥BC．
∴ 四边形 MCDO 是矩形．
∴ OD=MC=16,
∴ ⊙O 的半径为 16，
∴ EN=32．
∵ Rt△ABC 中，AC=BC=24，
∴ ∠A=∠B=45∘．
∵ ∠A=∠N=45∘，EN 是直径，
∴ ∠EFN=90∘．
∴ △EFN 是等腰直角三角形．
∴ EF=22EN=22×32=162．
11. （1） 如图所示，连接 OC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵AC 平分 ∠BAD，
∴∠OCA=∠CAD．
∴OC∥AD．
∵CE⊥AD，
∴CE⊥OC．
又 ∵OC 是半径，
∴CE 是 ⊙O 的切线．
（2） AC 是 ∠BAD 的平分线．
理由：如图所示，连接 OC．
∵CE 是 ⊙O 的切线，
∴CE⊥OC．
∵CE⊥AD，
∴OC∥AD．
∴∠OCA=∠CAD．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∴∠OCA=∠CAD，
即 AC 是 ∠BAD 的平分线．
（3） 如图所示，连接 OC，BC．
∵CE 是 ⊙O 的切线，
∴CE⊥OC．
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90∘．
∴∠ACE=∠OCB．
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB．
∴∠B=∠ACE．
∵AC 平分 ∠BAD，
∴△ABC∽△ACE．
∴ABAC=ACAE，
即 86=6AE，解得 AE=92．
12. （1） 如图1所示，连接 OC．
∵ OD⊥AC，OC=OA，
∴ ∠AOD=∠COD．
∴ Rt△AOE≌Rt△COE．
∴ ∠EAO=∠ECO．
又 ∵ EC 是 ⊙O 的切线，
∴ ∠ECO=90∘．
∴ ∠EAO=90∘．
∴ AE 与 ⊙O 相切．
（2） 设 DO=t，则 DE=3t，EO=4t，
∵ AODO=EOAO，即 92=4t9，
∴ t=92，即 EO=18．
∴ AE=EO2-AO2=182-92=93．
如图2所示，延长 BD 交 AE 于点 F，过点 O 作 OG∥AE 交 BD 于点 G．
∵ OG∥AE，
∴ ∠FED=∠GOD．
又 ∵ ∠EDF=∠ODG，
∴ △OGD∽△EFD．
∴ EFGO=EDDO=31，即 EF=3GO．
又 ∵ O 是 AB 的中点，
∴ AF=2GO，
∴ AE=AF+FE=5GO，
∴ 5GO=93，
∴ GO=935，
∴ AF=1835．
∵ OA=9，
∴ AB=2OA=18．
∴ tanB=AFAB=35．
13. （1） ∵ AB 是直径，
∴ ∠C=90∘．
∴ ∠ABC+∠BAC=90∘．
又 ∵ ∠MAC=∠ABC，
∴ ∠MAC+∠CAB=90∘，即 ∠BAM=90∘．
∴ OA⊥MN．
∴ MN 是半圆 O 的切线．
（2） 如图所示，连接 OD 交 AC 于点 H．
∵ D 是 AC 的中点，
∴ OD⊥AC，AH=12AC．
∵ ∠DOE=∠AOH，∠OHA=∠OED=90∘，OA=OD，
∴ △OAH≌△ODE．
∴ DE=AH=12AC．
（3） 如图所示，连接 AD．
由（2）知 △OAH≌△ODE，
∴ ∠ODE=∠OAH．
又 ∵ OA=OD，
∴ ∠ODA=∠OAD．
∴ ∠ODA-∠ODE=∠OAD-∠OAH，即 ∠FDA=∠FAD．
∴ FD=FA．
∵ AB 是直径，
∴ ∠BDA=90∘．
∴ ∠FDA+∠GDF=90∘，∠DAF+∠DGF=90∘．
∴ ∠GDF=∠DGF．
∴ FG=DF．
∴ FG=FA=FD．
∴ S△DGF=12S△ADG，易证 △BCG∽△ADG．
∴ S△BCG:S△ADG=CGDG2=ba2．
∴ S△BCG=2b2Sa2．
14. （1） 如图所示，连接 AE，
因为 AB 是 ⊙O 的直径，
所以 ∠AEB=90∘，
所以 ∠1+∠2=90∘．
因为 AB=AC，
所以 ∠1=12∠CAB．
因为 ∠CBF=12∠CAB，
所以 ∠1=∠CBF，
所以 ∠CBF+∠2=90∘，
即 ∠ABF=90∘．
因为 AB 是 ⊙O 的直径，
所以直线 BF 是 ⊙O 的切线．
（2） 如图所示，过点 C 作 CG⊥AB 于点 G．
因为 sin∠CBF=55，∠1=∠CBF，
所以 sin∠1=55．
因为在 Rt△AEB 中，∠AEB=90∘，AB=5，
所以 BE=AB⋅sin∠1=5．
因为 AB=AC，∠AEB=90∘．
所以 BC=2BE=25．
在 Rt△ABE 中，由勾股定理得 AE=AB2-BE2=25，
所以 sin∠2=AEAB=255=CGBC，cs∠2=BEAB=55=BGBC．
在 Rt△CBG 中，可求得 GC=4，GB=2，
所以 AG=3．
因为 GC∥BF，
所以 △AGC∽△ABF．
所以 GCBF=AGAB．
所以 BF=GC⋅ABAG=203．
15. （1） ① 1,12；
② ∵ 矩形 OABC，
∴ CE=AE，BC∥OA．
∴ ∠HCE=∠EAG．
∴ △CHE≌△AGE．
∴ AG=CH．
（2） 如图1所示，连接 DE 并延长 DE 交 CB 于点 M，连接 AC．
∵ DO=OC=1=12OA，
∴ D 是 OA 的中点．
∵ BC∥OA，
∴ ∠MCE=∠DAE．
∴ △CME≌△ADE．
∴ CM=AD=2-1=1．
∵ BC∥OA，∠COD=90∘，
∴ 四边形 CMDO 是矩形．
∴ MD⊥OD，MD⊥CB．
∴ MD 切 ⊙O 于点 D．
∵ HG 切 ⊙O 于点 F，E1,12．
∴ 可设 CH=HF=x，FE=ED=12MD．
在 Rt△MHE 中，有 MH2+ME2=HE2，即 1-x2+122=12+x2，解得 x=13，
∴ H13,1，OG=2-13=53．
∴ G53,0．设直线 GH 的函数表达式为 y=kx+b，把点 G，H 的坐标代入得 53k+b=0,1=13k+b,
解得 k=-34,b=54,
∴ 直线 GH 的函数表达式为 y=-34x+54．
（3） 如图2所示，连接 BG，过点 P 作 PN⊥GA，垂足为点 N．
∵ △OCH≌△BAG，
∴ ∠CHO=∠AGB，
∵ ∠HCO=90∘，
∴ HC 切 ⊙O 于点 C，HG 切 ⊙O 于点 F．
∴ OH 平分 ∠CHF，
∴ ∠CHO=∠FHO=∠BGA．
∵ 四边形 OCBA 是矩形，
∴ BC∥OA，BC=OA．
∵ CH=AG（已证），
∴ BH=OG，BH∥OG．
∴ 四边形 BHOG 是平行四边形．
∴ OH∥BG．
∴ ∠OHE=∠BGE．
∵ ∠CHO=∠FHO=∠BGA，
∴ ∠BGA=∠BGE，即 BG 平分 ∠FGA．
∵ ⊙P 与 HG，GA，AB 都相切，
∴ 和 ∠HGA 的两边都相切的圆的圆心在 ∠HGA 的平分线上，即在 GB 上．
∴ 圆心 P 必在 BG 上．
∴ △GPN∽△GBA．
∴ PNBA=GNGA．设半径为 r，r1=13-r13，解得 r=14．
16. （1） 如图所示，连接 OD，则 OD=OA=OE．
∴∠ODA=∠A．
∵AB∥OC，
∴∠A=∠EOC，∠ODA=∠DOC，
∴∠DOC=∠EOC．
∵CO=CO，
∴△CEO≌△CDO（SAS）．
∵CE 是 ⊙O 的切线，
∴∠CDO=∠CEO=90∘，
∴CD 为 ⊙O 的切线．
（2） 在平行四边形 OABC 中，OA=BC=3．
∵CE⊥OA，CE=CD=4，
∴S平行四边形OABC=OA⋅CE=3×4=12．
相关试卷
初中数学华师大版九年级下册3. 切线一课一练： 这是一份初中数学华师大版九年级下册<a href="/sx/tb_c21377_t7/?tag_id=28" target="_blank">3. 切线一课一练</a>，共5页。
2023学年二轮复习解答题专题十一：与圆的切线有关的证明与计算： 这是一份2023学年二轮复习解答题专题十一：与圆的切线有关的证明与计算，文件包含2023年二轮复习解答题专题十一与圆的切线有关的证明与计算原卷版docx、2023年二轮复习解答题专题十一与圆的切线有关的证明与计算解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共65页， 欢迎下载使用。
数学九年级上册九年级数学上册专题十+有关切线的辅助线作法同步测试+新人教版： 这是一份数学九年级上册九年级数学上册专题十+有关切线的辅助线作法同步测试+新人教版，共12页。试卷主要包含了2第5题)等内容，欢迎下载使用。
