2022-2023学年新疆乌鲁木齐109中九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年新疆乌鲁木齐109中九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列图形中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 方程是关于的一元二次方程，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 用配方法解方程，配方后的方程是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 某次聚会，每两个参加聚会的人都互相握了一次手，有人统计一共握了次手．求这次聚会的人数是多少？设这次聚会共有人，可列出的方程为(    )

A.  B.
C.  D.

5. 如图，弧是半径为的圆的圆周，点是上的任意一点，是等边三角形，则四边形的周长的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D.

6. 某学校准备建一个面积为的矩形花圃，它的长比宽多，设花圃的宽为则可列方程为(    )

A.  B.  
C.  D.

7. 如图，已知≌，，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 在平面直角坐标系中，函数与的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

9. 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在与之间不包括这两点，对称轴为直线下列结论：
   ；；若点，点是函数图象上的两点，则；；．
   其中正确结论有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

10. 若函数是二次函数，则______．
11. 关于的二次函数，当时，在时取得最大值，则实数的取值范围是______．
12. 如图，已知等腰，，，以为直径的与边、分别交于、两点，则劣弧的长为______．

13. 如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，的长为半径画弧，则由图中阴影部分的扇形围成的圆锥的高为______．

14. 如图是一个矩形花圃的平面图，花圃由一堵旧墙旧墙的长度不小于和总长为的篱笆围成，中间用篱笆分隔成两个小矩形．设大矩形的垂直于旧墙的一边长为米，花圃总面积为平方米，求关于的函数解析式______用二次函数一般式表示

15. 已知矩形中，，，是中点，将矩形以绕点顺时针旋转一周，、、的对应点分别为、、，当点恰好在直线上时， ______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    解下列方程．
    ；
    ．
17. 本小题分
    已知关于的一元二次方程．
    求证：方程总有两个实数根；
    若时，求这个方程的解．
18. 本小题分
    如图，正方形内接于，为上的一点，连接，．
    求的度数；
    当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值．

19. 本小题分
    如图，要利用一面墙墙长为，用的围栏建羊圈，基本结构为三个大小相同的矩形．
    如果围成的总面积为，求羊圈的边长，各为多少？
    保持羊圈的基本结构，羊圈总面积是否可以达到？请说明理由．

20. 本小题分
    如图，中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，到达点处停止运动，在移动过程中始终保持，点、分别在、上点出发几秒后四边形的面积为？

21. 本小题分
    某某商店销售一种销售成本为元件的商品，销售一段时间后发现，每天的销量件与当天的销售单价元件满足一次函数关系，并且当时，，当时，．
    求出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
    求出每件售价多少元时，商店销售该商品每天能获得最大利润，最大利润是多少元；
    如果该商店要使每天的销售利润不低于元，且每天的总成本不超过元，那么销售单价应控制在什么范围内？
22. 本小题分
    如图，的边为的直径，与交于点，为的中点，连结，过作于．
    求证：为的切线；
    若，，求的长．

23. 本小题分
    如图，顶点在轴上的抛物线于直线相交于、两点，且点在轴上，点的横坐标为，连结、．
    求抛物线的函数关系式；
    点是直线下方抛物线上一点，若的面积是的面积的，求点的坐标；
    若将中抛物线平移，使其顶点为，当满足什么条件时，动点在平移后的抛物线上．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：方程是关于的一元二次方程，
，
，
，
故选：．
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程．由定义求解即可．
本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意得．
故选：．
利用握手的总次数参会人数参会人数，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：是等边三角形
，得
的最大值为当点与重合的时刻，

的取值范围是．
故选：．
四边形的周长就是四边形的四边的和，四边中，，的长是长度确定，因而本题就是确定的范围，一定大于，且小于或等于，只要求出的长就可以．
本题解题的关键是找到临界点，将动态问题转化为普通的几何计算问题．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据长方形的面积公式得到方程是解决本题的基本思路．根据花圃的面积为进而列出方程即可．
【解答】
解：花圃的长比宽多米，花圃的宽为米，
长为米，
花圃的面积为，
可列方程为．
故选C．  

7.【答案】 

【解析】解：≌，，
，，
，
即，
，，
，
，
故选：．
根据全等三角形的性质得出，，求出，根据平行线的性质得出，再求出答案即可．
本题考查了全等三角形的性质和平行线的性质，能熟记全等三角形的对应角相等是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：的图象过第二、三、四象限，的开口向下，顶点在点，
同时符合条件的图象只有选项A故选A．
已知两函数解析式，分别求出它们经过的象限，开口方向，逐一判断即可．
解答此题只要大致画出一次函数和二次函数的图象，就可以直接找出问题的答案．
 

9.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
．
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，正确．
抛物线与轴交点坐标为，对称轴为直线，
抛物线与轴另一交点为，
当时，，正确．
，抛物线开口向下，
，错误．
，
，
时，，
，
，
解得，
正确，
时，，
，正确．
故选：．
根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断，由抛物线与轴交点及抛物线对称轴可得抛物线与轴另一交点坐标，从而可得时，进而判断，根据，两点与抛物线对称轴的距离判断，由抛物线对称轴可得，再根据时及可判断，根据时可判断．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得：
且，
且，
，
故答案为：．
根据二次函数的定义：形如为常数且，可得且，然后进行计算即可解答．
本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质和对称轴公式是解题的关键．
根据题意可得二次函数的对称轴在直线上或其右边，进而可解．
【解答】
解：根据题意可得二次函数的对称轴在直线上或其右边，
即：，即，
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：连接，，，
为的直径，
，
，，
，
，
，
，
劣弧的长，
故答案为：．
连接，，，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形到现在，，根据弧长公式即可得到结论．
本题考查了弧长的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解决问题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：正六边形的外角和为，
每一个外角的度数为，
正六边形的每个内角为．
设这个圆锥底面圆的半径是，
根据题意得，，
解得，．
圆锥的高，
故答案为：．
首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用圆锥的底面圆周长是扇形的弧长计算即可．
本题考查了正多边形和圆及圆锥的计算的知识，解题的关键是求得正六边形的内角的度数并理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．此题难度不大．
 

14.【答案】 

【解析】解：篱笆的总长为米，且米，
米，
花圃总面积为平方米，
关于的函数解析式为．
故答案为：．
根据各边之间的关系，可得出米，再利用矩形的面积计算公式，即可找出关于的函数解析式．
本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出关于的函数解析式是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：如图，过点作于点，

在矩形中，，，
，，
，，
，
，
，；
将矩形以绕点顺时针旋转一周，当点恰好在直线上时，
分两种情况：当点在线段上，连接，如图所示：

设，则，
由旋转可知，
在中，由勾股定理可得，，
即，
解得，负值舍去，
；
当点在线段上，如图所示：

此时点，，，共线；
且，
，
点是的中点，
，
；
综上，符合题意的的长为：或．
故答案为：或．
过点作于点，由矩形的性质可得，，，，；将矩形以绕点顺时针旋转一周，当点恰好在直线上时，分两种情况：当点在线段上，连接，如图所示：设，则，在中，由勾股定理可得，，即，解得，负值舍去，则；当点在线段上，如图所示：此时点，，，共线；且，由等腰三角形三线合一可得，，则．
本题主要考查矩形的性质，旋转的性质，勾股定理等内容；画出对应的图形，作出合适的辅助线是解题关键．
 

16.【答案】解：方程移项得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，；
方程移项得：，
开方得：或，
解得：，． 

【解析】方程移项后，利用完全平方公式配方，计算即可求出解；
方程移项后，利用平方根定义开方即可求出解．
此题考查了解一元二次方程配方法及直接开平方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
 

17.【答案】解：，
方程总有两个实数根；
当时，方程化为．
，
或，
，． 

【解析】先计算判别式的值得到，再根据非负数的性质得到，然后根据判别式的意义即可得到结论；
将代入即可求得一元二次方程为，然后用因式分解法解方程．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

18.【答案】解：连接，，
正方形内接于，
．
；

连接，，
正方形内接于，
，
点为的中点，
，
，
． 

【解析】连接，，根据正方形内接于，结合圆周角定理可得；
结合正多边形的性质以及圆周角定理得出的度数，进而得出答案．
此题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正方形的性质，正确掌握正方形的性质是解题关键．
 

19.【答案】解：设，则，
，
，
由题意知，，即，
解得：，舍，
，，
答：羊圈的边长长为，的长为；

设羊圈的面积为，
则，
当时，有最大值为，
所以羊圈总面积不可能达到． 

【解析】设，则，根据墙长可得的范围，由矩形面积公式列出关于的方程，解之可得；
设羊圈的面积为，由矩形面积公式得出函数解析式，继而配方成顶点式后可得最值．
本题主要考查一元二次方程和二次函数的应用，根据题意列出一元二次方程或函数解析式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：设运动时间为，则，．
，
，
，
，
，
，
，
，
根据题意得：．
整理得，
解得：，．
出发或秒后四边形的面积为． 

【解析】根据四边形的面积的面积的面积的面积，列方程求解即可；
本题主要考查的是一元二次方程的应用，根据四边形的面积的面积的面积的面积列关于的方程是解题的关键．
 

21.【答案】解：设与的函数关系式为：，
将当时，，当时，代入得：
，
解得，
，
成本价为元件，
，
，
，
自变量的取值范围为，
与的函数关系式为，自变量的取值范围为；
设销售利润为元，


，
，抛物线开口向下，
当时，，
答：销商店销售该商品每天获得的最大利润是元；
当时，
，
解得：，，
，抛物线开口向下，
时解集为：，
由每天的总成本不超过元，
得，
解得：，
，
答：销售单价应该控制在元至元之间． 

【解析】根据当时，，当时，，用待定系数法求函数解析式即可；
根据“利润售价成本销售量”列出函数解析，利用二次函数图象的性质进行解答；
每天的销售利润不低于元，根据二次函数与不等式的关系求出的取值范围，再根据每天的总成本不超过元，求解即可．
本题主要考查二次函数的实际应用．数学建模题，借助二次函数以及不等式解决实际问题．
 

22.【答案】证明：连接，
，，
，
，
，
为的切线；
解：为的直径，
，
，
，
，
，
，
解得：，
答：的长为． 

【解析】连接，根据三角形中位线定理得到，进而得出，根据切线的判定定理证明结论；
根据圆周角定理得到，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的判定定理、勾股定理、三角形的面积计算，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
 

23.【答案】解：在中，令得，
，
在中，令得，
，
设抛物线的函数关系式为，将，代入得：
，
解得，
抛物线的函数关系式为；
过作轴交于，设交轴于，如图：

设，则，
，
，
由可得：，
由可得：，
，
，
的面积是的面积的，
，
解得或，
点是直线下方抛物线上一点，
，
；
将抛物线平移，使其顶点为，则平移后抛物线解析式为，
将代入得：，
化简整理得：，
，
，
解得． 

【解析】求出，，设抛物线的函数关系式为，用待定系数法得抛物线的函数关系式为；
过作轴交于，设交轴于，设，则，可得，，根据的面积是的面积的，有，即可解得答案；
平移后抛物线解析式为，将代入得，由，可得满足的条件．
本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、三角形面积等知识，解题的关键是是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．