湖南省常德市安乡县2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷 （含答案）

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2022-2023学年湖南省常德市安乡县八年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 在式子，，，中，分式的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2. 下面是一位同学做的四道题：；；；，其中做对的一道题的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 年月出现的新冠疫情为奥密克戎亚型变异株，其传播性更强．该病毒的直径平均大约是米，主要通过呼吸道进行传播．请你把数用科学记数法表示为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

4. 如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列说法正确的是(    )

A. 若两个三角形全等，则这个两个三角形一定关于一条直线成轴对称
B. 三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等
C. 一条线段关于经过该线段中点且垂直于这条线段的直线成轴对称图形
D. 等腰三角形的高线、角平分线、高线相互重合

6. 如图，在已知的中，按以下步骤作图：
   分别以，为圆心，以大于的一半长为半径作弧，两弧相交于两点，；
   作直线交于点，连接．
   若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知分式为常数满足下列表格中的信息：

其中选项错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9. 分式的最简公分母是______．
10. 若，，，则、、的大小关系是______ ．
11. 命题“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是______ ．
12. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是______．

13. 已知等腰三角形的周长为，其一边长为，那么腰长是______．
14. 已知，则的值等于______．
15. 定义运算“”为：若，则的值是______．
16. 如图，，点是延长线上一点，，动点从点出发沿射线以的速度移动，动点从点出发沿射线以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当______时，是等腰三角形．

三、解答题（本大题共10小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    解分式方程：．
18. 本小题分
    计算：．
19. 本小题分
    先化简：，再从，，，中选取一个合适的数作为的值代入求值．
20. 本小题分
    已知：如图，点是上一点，，如果求证：是的平分线．

21. 本小题分
    年北京冬奥会引起了全民运动的热潮，滑雪场为了吸引儿童们从小健身锻炼，热爱雪上运动，预备开展儿童冬季雪具售卖活动，新进了数量相同的儿童雪车和滑雪板．其中，一个滑雪板的进价比雪车少元；滑雪板和雪车分别花费元和元．请问：每个儿童雪车与滑雪板的进价各是多少元？
22. 本小题分
    如图为某单摆装置示意图，摆线长，当摆线位于位量时，过点作于点，当摆线位于位置时，与恰好垂直，过点作于点，测得．
    试说明；
    求的长．

23. 本小题分
    已知，是等腰三角形，，，高和相交于，猜想与的数量关系是什么？证明你的结论．

24. 本小题分
    如图，，三点在一条直线上，和都是等边三角形，连接和，交点为．
    吗？请说明理由．
    猜想的度数，并说明理由．

25. 本小题分
    某学校数学兴趣小组遇到这样一个问题：若，均不为零，求的值．在交流过程中，小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字，的正负作出讨论，又注意到，在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．”
    即：当两个字母，中有个正，个负时，
    当两个字母，中有个正，个负时，
    当两个字母，中有个正，个负时，
    根据小明的分析，求的值．
    若，，均不为零，且，求代数式的值．
26. 本小题分
    在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．
    当点为的中点时，如图，求证：；
    当点不是的中点时，如图过点作，求证：是等边三角形；
    在第小题的条件下，与还相等吗，请说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，的分母都有字母，故都是分式，其它的都不是分式，
故选：．
判断一个式子是否是分式，关键要看分母中是否含有未知数，然后对分式的个数进行判断．
本题主要考查分式的定义，注意是常数，不是字母，所以不是分式，注意不要搞错了．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
根据合并同类项，可判断，
根据积的乘方，可得答案；
根据同底数幂的除法，可得答案；
根据同底数幂的乘法，可得答案．
本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
【解答】
解：不是同类项不能合并，故错误；
，故错误；
，故错误；
，故正确；
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
绝对值小于的数用科学记数法表示，一般形式为与较大数用科学记数法不同的是其所用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】 

【解析】全等三角形的判定定理有，，，，根据定理得出即可．
解：画一个三角形，使，，，

符合全等三角形的判定定理，
故选A．
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，直角三角形全等还有定理．
 

5.【答案】 

【解析】解：全等的两个三角形不一定关于某直线成轴对称，原说法错误，故本选项不合题意；
B.三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等，原说法错误，故本选项不合题意；
C.一条线段关于经过该线段中点且垂直于这条线段的直线成轴对称图形，说法正确，故本选项符合题意；
D.等腰三角形底边上的的高线、对角的角平分线、底边上的高线相互重合，原说法错误，故本选项不合题意．
故选：．
选项A、根据轴对称图形的性质判断即可；选项B根据三角形三条角平分线的性质判断即可；选项D根据等腰三角形的性质判断即可．
本题考查轴对称图形的定义，全等三角形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质以及轴对称的性质，熟记轴对称的概念以及性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
根据作图过程可知：是的垂直平分线，
，
，
．
故选：．
首先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，根据作图过程可得是的垂直平分线，可得，然后根据三角形内角和定理即可解决问题．
本题考查了作图复杂作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据表格数据可知：
当时，分式无意义，
即，
所以，
解得．
所以选项正确，不符合题意；
B.当时，分式的值为，
即，
解得，
所以选项正确，不符合题意；
C.当时，分式的值为，
即，
解得，
所以选项错误，符合题意；
D.当时，分式的值为，
即，
解得，
所以D正确，不符合题意．
故选：．
将表格数据依次代入已知分式中，进行计算即可判断．
本题考查了分式的值、分式有意义的条件，解决本题的关键是掌握分式相关知识．
 

8.【答案】 

【解析】解：，

，
，

三个数为一个循环，
，
则，
故选：．
先计算出，，的值，然后从数字找规律，进行计算即可解答．
本题考查了分式的混合运算，规律型：数字的变化类，从数字找规律是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：分式的最简公分母是；
故答案是：．
确定最简公分母的方法是：
取各分母系数的最小公倍数；
凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母或含字母的整式为底数的幂的因式都要取最高次幂．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，，
，
故答案为：．
先求出、、的值，再根据有理数大小比较法则比较即可．
本题考查了有理数的大小比较法则，负整数指数幂，零指数幂的应用，解此题的关键是求出每个式子的值，题目比较典型，难度适中．
 

11.【答案】到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 

【解析】解：逆命题是：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
将命题的条件和结论相互转换，可得到互逆命题．
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
 

12.【答案】 

【解析】解：两个全等三角形，
，
故答案为：．
根据全等三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．
本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
 

13.【答案】或 

【解析】解：当等腰三角形的底长为时，腰长；
则等腰三角形的三边长为、、；能构成三角形．
当等腰三角形的腰长为时，底长；
则等腰三角形的三边长为、、，亦能构成三角形．
故等腰三角形腰长为或．
故答案为：或．
由于已知长度的边没有指明是等腰三角形的底边还是腰，因此要分类讨论，最后要根据三角形三边关系定理判断求出的结果是否符合题意．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
 

14.【答案】 

【解析】解：
，
，
，
解得：，
故答案为：．
先根据分式的加法法则进行计算，根据分母中的系数相等即可得出，求出即可．
本题考查了分式的加减法，能正确运用法则进行计算是解此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意得，
整理得，
解得．
故答案为．
根据题意得，解分式方程即可得出的值．
本题是一道新定义的题目，考查了列分式方程和分式方程的解法，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 

16.【答案】或 

【解析】解：分两种情况：当点在线段上时，
设时后是等腰三角形，
有，
即，
解得，；
当点在的延长线上时，此时经过时的时间已用，
当是等腰三角形时，，
是等边三角形，
，
即，
解得，，
故答案为或．
根据等腰三角形的判定，分两种情况：当点在线段上时；当点在的延长线上时．分别列式计算即可求．
本题考查了等腰三角形的判定；解题时把几何问题转化为方程求解，是常用的方法，注意要分类讨论，当点在点的左侧还是在右侧是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：原方程可化为：，解得，
把代入得，，
故是原分式方程的增根，原方程无解． 

【解析】先去分母，把分式方程化为整式方程，求出的值，再把的值代入分式方程的分母进行检验即可．
本题考查的是解分式方程，解答此类方程时一定要进行验根．
 

18.【答案】解：



． 

【解析】先通分，再进行加减运算即可．
本题主要考查分式的加减，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

19.【答案】解：原式



，
和，
在，，，中，，
当时，原式． 

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

20.【答案】证明：，，且，
，
在和中，
，
≌，
，
即，
是的平分线． 

【解析】根据“等角的补角相等”证明，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌，得，则是的平分线．
此题考查了等角的补角相等、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识，证明≌是解题的关键．
 

21.【答案】解：设每个儿童雪车的进价为元，每个滑雪板的进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：每个儿童雪车的进价为元，每个滑雪板的进价为元． 

【解析】设每个儿童雪车的进价为元，每个滑雪板的进价为元，由题意：新进了数量相同的儿童雪车和滑雪板．滑雪板和雪车分别花费元和元．列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

22.【答案】解：，
，
又，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
≌，
，
，
． 

【解析】由直角三角形的性质证出，利用证明≌，由全等三角形的性质得出结论；
由全等三角形的性质得出，则可得出答案．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
 

23.【答案】解：，
证明：和都是的高，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，
． 

【解析】由和都是的高，得，则，由，得，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌，得，再根据等腰三角形的“三线合一”证明，则．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”等知识，证明≌是解题的关键．
 

24.【答案】解：，
理由：和都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
．
，
理由：≌，
，
，
，
． 

【解析】由和都是等边三角形，得，，，则，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌，得；
由≌，得，可推导出，则．
此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和等于、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明≌是解题的关键．
 

25.【答案】解：当两个字母，中有个正，个负时，，
当两个字母，中有个正，个负时，，
当两个字母，中有个正，个负时，，
的值为或或；
，
，
、、的取值有两种情况：两正一负；两负一正；
当、、中有两正一负时，，
当、、中有两负一正时，，
代数式的值为或． 

【解析】根据所给的阅读材料，分三种情况求解即可；
由已知可将所求的代数式化简为，再根据阅读材料，可将、、的取值分两种情况：两正一负；两负一正；再分别求解即可．
本题考查绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义，根据阅读材料的方法，进行准确的分类是解题的关键．
 

26.【答案】证明：是等边三角形，
，，
是的中点，
，，
，
，
，
，
；
证明：如图，

，
，，
是等边三角形．
解：理由如下：
是等边三角形．

，
又，，
，，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】根据等边三角形的性质得出，，再由是的中点，，证出，得出；
在中，只要证明有两个内角是即可；
只要证明≌，即可推出结论；
本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．