湖北省黄冈市浠水县兰溪镇兰溪初级中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷（含答案）

这是一份湖北省黄冈市浠水县兰溪镇兰溪初级中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷（含答案），共25页。试卷主要包含了已知抛物线y＝a，在平面直角坐标系中，将点P，二次函数y＝ax2+bx+c等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖北省黄冈市浠水县兰溪中学九年级第一学期期中数学试卷
一．精心选一选（共27分）。
1．一元二次方程x2+8x﹣9＝0配方后得到的方程是（　　）
A．（x﹣4）2+7＝0 B．（x+4）2＝25 C．（x﹣4）2＝25 D．（x+4）2﹣7＝0
2．三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36＝0的两根，则该三角形的周长为（　　）
A．13 B．15 C．18 D．13或18
3．已知抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0，a，k为常数），A（﹣3，y1）B（3，y2）C（4，y3）是抛物线上三点，则y1，y2，y3由小到大依序排列为（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象如图，当﹣5≤x≤0时，下列说法正确的是（　　）

A．有最小值﹣5、最大值0 B．有最小值﹣3、最大值6
C．有最小值0、最大值6 D．有最小值2、最大值6
5．如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，点B的坐标是（﹣2，2），将△OAB绕点O顺时针旋转60°，得到△OA1B1，则点A的对应点A1的坐标是（　　）

A．（2，2） B．（﹣，3） C．（，3） D．（2，﹣2）
6．在平面直角坐标系中，将点P（a，b）关于原点对称得到点P1，再将点P1向左平移2个单位长度得到点P2，则点P2的坐标是（　　）
A．（b﹣2，﹣a） B．（b+2，﹣a） C．（﹣a+2，﹣b） D．（﹣a﹣2，﹣b）
7．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝54°，则∠ABO的度数是（　　）

A．54° B．27° C．36° D．108°
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（　　）

A．125° B．130° C．135° D．140°
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c＝0；④a+b+c＞0．其中正确的是（　　）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④
二、细心填一填（每小题3分，共27分）
10．二次函数y＝x2﹣2x+3的最小值是　 　．
11．若一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，则两根的和x1+x2＝　 　．
12．已知二次函数y＝（x+2）2+h，当x　 　时，y随x的增大而减小．
13．一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0的解是 　 　．
14．把抛物线y＝2x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线的解析式是　 　．
15．二次函数y＝x2﹣bx+1的顶点在x轴上，则b＝　 　．
16．如图，将边长为3cm的正方形ABCD绕顶点B逆时针旋转30°得到正方形EBGF，则两个图形重叠部分（阴影部分）的面积为 　 　cm2．

17．如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为（4，2），点A的坐标为（2，0），则点B的坐标为 　 　．

18．如图，BC为⊙O的直径，AB交⊙O于点E，AC交⊙O于点D，AD＝CD，∠A＝70°，则∠BOE的度数是 　 　．

三．解答题。
19．汽车产业的发展，有效促进了我国现代化建设．某汽车销售公司2016年盈利1000万元，2018年盈利1440万元，且从2016年到2018年，每年盈利的年增长率相同．
（1）求每年盈利的年增长率；
（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2019年盈利多少万元？
20．如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米．
（1）若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？
（2）围成鸡场的面积可能达到200平方米吗？

21．已知二次函数y＝﹣x2+2x+k+2的图象与x轴有两个交点．
（1）求k的取值范围．
（2）当k＝1时，求抛物线与x轴的交点A和B的坐标．
22．二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，0），C（0，3）．
（1）求b、c的值；
（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴方程；
（3）在所给坐标系中画出二次函数y＝x2+bx+c的图象，并根据图象在抛物线的对称轴找点P，使得△ACP周长最短（直接写出点P的坐标）．

23．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件，设每件商品降低x元据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加　 　件，每件商品盈利　 　元（用含x的代数式表示）
（2）在上述条件不变，销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
24．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P′AB．
（1）求点P与点P′之间的距离；
（2）求∠APB的大小．

25．某公司电商平台在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，下表仅列出了该商品的售价x、周销售量y、周销售利润W（元）的三组对应值数据．
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
（2）若该商品进价为a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润．
26．如图1，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M＝∠D．

（1）判断BC，MD的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝16，BE＝4，求线段CD的长；
（3）如图2，若MD恰好经过圆心O，求∠D的度数．
27．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若点P是第一象限内抛物线上的一动点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标．



参考答案
一．精心选一选（共27分）。
1．一元二次方程x2+8x﹣9＝0配方后得到的方程是（　　）
A．（x﹣4）2+7＝0 B．（x+4）2＝25 C．（x﹣4）2＝25 D．（x+4）2﹣7＝0
【分析】在本题中，把常数项﹣9移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数8的一半的平方．
解：把方程x2+8x﹣9＝的常数项移到等号的右边，得到x2+8x＝9，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+8x+16＝9+16，
配方得（x+4）2＝25．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
2．三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36＝0的两根，则该三角形的周长为（　　）
A．13 B．15 C．18 D．13或18
【分析】先求出方程x2﹣13x+36＝0的两根，再根据三角形的三边关系定理，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．
解：解方程x2﹣13x+36＝0得，
x＝9或4，
即第三边长为9或4．
边长为9，3，6不能构成三角形；
而4，3，6能构成三角形，
所以三角形的周长为3+4+6＝13，
故选：A．
【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯．
3．已知抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0，a，k为常数），A（﹣3，y1）B（3，y2）C（4，y3）是抛物线上三点，则y1，y2，y3由小到大依序排列为（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1
【分析】先根据顶点式得到抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0，a，k为常数）的对称轴为直线x＝2，然后二次函数的性质和A点、B点和C点离对称轴的远近进行判断．
解：抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0，a，k为常数）的对称轴为直线x＝2，
所以A（﹣3，y1）到直线x＝2的距离为5，B（3，y2）到直线x＝2的距离为1，C（4，y3）到直线的距离为2，
所以y2＜y3＜y1．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象如图，当﹣5≤x≤0时，下列说法正确的是（　　）

A．有最小值﹣5、最大值0 B．有最小值﹣3、最大值6
C．有最小值0、最大值6 D．有最小值2、最大值6
【分析】直接根据二次函数的图象进行解答即可．
解：由二次函数的图象可知，
∵﹣5≤x≤0，
∴当x＝﹣2时函数有最大值，y最大＝6；
当x＝﹣5时函数值最小，y最小＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的最值问题，能利用数形结合求出函数的最值是解答此题的关键．
5．如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，点B的坐标是（﹣2，2），将△OAB绕点O顺时针旋转60°，得到△OA1B1，则点A的对应点A1的坐标是（　　）

A．（2，2） B．（﹣，3） C．（，3） D．（2，﹣2）
【分析】根据在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，点B的坐标是（﹣2，2），可得OA＝2，AB＝2，再根据△OAB绕点O顺时针旋转60°，得到△OA1B1，过点A1作A1 C⊥y轴于点C，可求得点A1 的坐标．
解：如图，将△OAB绕点O顺时针旋转60°，得到△OA1B1，

过点A1作A1 C⊥y轴于点C，
∵在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，点B的坐标是（﹣2，2），
∴OA＝2，AB＝2，
∴∠AOB＝30°，OB＝4，
∴∠B＝60°，
将△OAB绕点O顺时针旋转60°，得到△OA1B1，
∴∠A1B1C＝60°，A1B1＝AB＝2，OB1＝OB＝4，
∴B1C＝1，A1C＝，
∴OC＝OB1﹣B1 C＝3，
∴A1 （﹣，3）．
故选：B．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
6．在平面直角坐标系中，将点P（a，b）关于原点对称得到点P1，再将点P1向左平移2个单位长度得到点P2，则点P2的坐标是（　　）
A．（b﹣2，﹣a） B．（b+2，﹣a） C．（﹣a+2，﹣b） D．（﹣a﹣2，﹣b）
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，点的坐标向左平移减，可得答案．
解：由点P（a，b）关于原点对称得到点P1，得P1（﹣a，﹣b），
将点P1向左平移2个单位长度得到点P2，则点P2的坐标是（﹣a﹣2，﹣b），
故选：D．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．
7．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝54°，则∠ABO的度数是（　　）

A．54° B．27° C．36° D．108°
【分析】根据圆周角定理求出∠AOB，根据等腰三角形的性质求出∠ABO＝∠BAO，根据三角形内角和定理求出即可．
解：∵∠ACB＝54°，
∴圆心角∠AOB＝2∠ACB＝108°，
∵OB＝OA，
∴∠ABO＝∠BAO＝（180°﹣∠AOB）＝36°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等知识点，能求出圆心角∠AOB的度数是解此题的关键．
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（　　）

A．125° B．130° C．135° D．140°
【分析】连接OA，OB，OC，根据圆周角定理得出∠BOC＝100°，再根据得到∠AOC，从而得到∠ABC，最后利用圆内接四边形的性质得到结果．
解：连接OA，OB，OC，
∵∠BDC＝50°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，
∵，
∴∠BOC＝∠AOC＝100°，
∴∠ABC＝∠AOC＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．

故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，关键在于画出半径，构造圆心角．
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c＝0；④a+b+c＞0．其中正确的是（　　）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【分析】①根据函数图象与x轴的交点可以解答本题；
②根据对称轴的横坐标可以解答本题；
③当x＝﹣2时，看函数图象所对应的y值，可以解答本题；
④当x＝1时，看函数图象所对应的y值，可以解答本题．
解：由图可知，
函数图象与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故①正确；
﹣＝1，可得，2a+b＝0，故②错误；
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，故③错误；
当x＝1时，y＝a+b+c＞0，故④正确；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、细心填一填（每小题3分，共27分）
10．二次函数y＝x2﹣2x+3的最小值是　2　．
【分析】把函数的解析式化为顶点式的形式即可解答．
解：∵二次函数y＝x2﹣2x+3可化为y＝（x﹣1）2+2的形式，
∴二次函数y＝x2﹣2x+3的最小值是2．
【点评】本题由于函数的二次项系数较小，所以可把函数解析式化为顶点式即y＝a（x+h）2+k的形式解答．
11．若一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，则两根的和x1+x2＝　6　．
【分析】利用两根之和等于﹣，即可求出x1+x2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣＝﹣＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
12．已知二次函数y＝（x+2）2+h，当x　＜﹣2　时，y随x的增大而减小．
【分析】用顶点式表示的二次函数可以直接结合其开口方向和对称轴确定其增减性．
解：对于二次函数y＝（x+2）2+h，
∵a＝1，开口向上，对称轴为x＝﹣2，
∴当x＜﹣2时，y随x的增大而减小．
故答案为：＜﹣2．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的所有的图象和性质才能比较熟练解决问题．
13．一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0的解是 　x1＝3+，x2＝3﹣　．
【分析】利用配方法得到（x﹣3）2＝10，然后利用直接开平方法解方程．
解：x2﹣6x﹣1＝0，
x2﹣6x＝1，
x2﹣6x+9＝10，
（x﹣3）2＝10，
x﹣3＝±，
所以x1＝3+，x2＝3﹣．
故答案为：x1＝3+，x2＝3﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
14．把抛物线y＝2x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线的解析式是　y＝2（x+2）2﹣1　．
【分析】直接根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．
解：由“上加下减”的原则可知，二次函数y＝2x2的图象向下平移1个单位得到y＝2x2﹣1，
由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2x2﹣1的图象向左平移2个单位可得到函数y＝2（x+2）2﹣1，
故答案是：y＝2（x+2）2﹣1．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键．
15．二次函数y＝x2﹣bx+1的顶点在x轴上，则b＝　2或﹣2　．
【分析】将解析式配方成顶点式可得顶点坐标为（，1﹣），由顶点在x轴上得1﹣＝0，解之即可．
解：y＝x2﹣bx+1＝（x﹣）2+1﹣，
则抛物线的顶点坐标为（，1﹣），
∵该二次函数的图象的顶点在x轴上，
∴1﹣＝0，
解得：b＝2或b＝﹣2，
故答案为：2或﹣2．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握配方法求二次函数的顶点坐标是解题的关键．
16．如图，将边长为3cm的正方形ABCD绕顶点B逆时针旋转30°得到正方形EBGF，则两个图形重叠部分（阴影部分）的面积为 　3　cm2．

【分析】由正方形的性质和旋转的性质可得AB＝BG，由“HL”可证Rt△ABM≌△GBM，可得∠ABM＝∠GBM＝30°，可求AM＝，由可求阴影部分的面积．
解：如图，设AD与FG相交于点M，连接BM，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝3cm，∠ABC＝90°，
∵正方形ABCD绕顶点B逆时针旋转30°得到正方形EBGF，
∴BG＝BC，∠GBC＝30°，
∴BG＝AB，且BM＝BM，
∴Rt△ABM≌△GBM（HL）
∴∠ABM＝∠GBM，
∵∠ABM+∠GBM＝∠ABC﹣∠GBC＝60°
∴∠ABM＝∠GBM＝30°，
∵tan∠ABM＝
∴AM＝
∴S阴影＝2×S△ABM＝2×3×＝3，
故答案为：3
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定和性质等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
17．如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为（4，2），点A的坐标为（2，0），则点B的坐标为 　（6，0）　．

【分析】由以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，可以想到过点P作PC⊥AB，利用垂径定理，即可求得答案．
解：过点P作PC⊥AB于点C，

∵以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，
∴AC＝BC，
∵点P的坐标为（4，2），点A的坐标为（2，0），
∴点C的坐标为（4，0），AC＝2，
∴BC＝2，
∴OB＝6，
∴点B的坐标为（6，0）．
故答案为：（6，0）．
【点评】此题考查了垂径定理的应用．此题结合了直角坐标系的知识，有一定的综合性，不过难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用．
18．如图，BC为⊙O的直径，AB交⊙O于点E，AC交⊙O于点D，AD＝CD，∠A＝70°，则∠BOE的度数是 　100°　．

【分析】首先连接BD，CE，OE，由BC为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BDC＝∠BEC＝90°，然后由线段垂直平分线的性质，可得AB＝BC，继而求得∠ABC的度数，则可求得∠BCE的度数．
解：连接BD，CE，OE，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°，
∴BD⊥CD，
∵AD＝CD，
∴AB＝CB，
∵∠A＝70°，
∴∠ACB＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝40°，
∴∠BCE＝90°﹣∠ABC＝50°，
∴∠BOE＝2∠BCE＝100°．
故答案为：100°．

【点评】此题考查了圆周角定理、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
三．解答题。
19．汽车产业的发展，有效促进了我国现代化建设．某汽车销售公司2016年盈利1000万元，2018年盈利1440万元，且从2016年到2018年，每年盈利的年增长率相同．
（1）求每年盈利的年增长率；
（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2019年盈利多少万元？
【分析】（1）设每年盈利的年增长率为x，根据题意列出方程求解即可；
（2）利用2019年盈利＝1440×（1+x），由此计算即可；
解：（1）设每年盈利的年增长率为x，
根据题意得1000（1+x）2＝1440
解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）
答：每年盈利的年增长率为20%．
（2）1440（1+0.2）＝1728
答：预计2009年该公司盈利1728万元．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
20．如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米．
（1）若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？
（2）围成鸡场的面积可能达到200平方米吗？

【分析】（1）若鸡场面积150平方米，求鸡场的长和宽，关键是用一个未知数表示出长或宽，并注意去掉门的宽度；
（2）求二次函数的最值问题，因为a＜0，所以当（x﹣）2＝0时函数式有最大值．
解：（1）设宽为x米，则：x（33﹣2x+2）＝150，
解得：x1＝10，x2＝（不合题意舍去），
∴长为15米，宽为10米；

（2）设面积为w平方米，则：W＝x（33﹣2x+2），
变形为：W＝﹣2（x﹣）2+
故鸡场面积最大值为＜200，即不可能达到200平方米．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，一面靠墙矩形面积求法，以及二次函数最值问题，题目比较典型，是中考中热点问题．
21．已知二次函数y＝﹣x2+2x+k+2的图象与x轴有两个交点．
（1）求k的取值范围．
（2）当k＝1时，求抛物线与x轴的交点A和B的坐标．
【分析】（1）由抛物线与x轴有两个交点可得b2﹣4ac＞0，进而求解．
（2）将k＝1代入函数解析式，将y＝0代入解析式求抛物线与x轴交点坐标．
解：（1）由题意知b2﹣4ac＞0，
∴b2﹣4ac＝22﹣4×（﹣1）（k+2）＝4k+12＞0，
∴k＞﹣3．
（2）把k＝1代入二次函数得y＝﹣x2+2x+3，
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1
∴抛物线与x轴交点坐标为A（﹣1，0），B（3，0）．
【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数图象与x轴交点个数与Δ的关系，掌握二次函数与方程的关系．
22．二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，0），C（0，3）．
（1）求b、c的值；
（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴方程；
（3）在所给坐标系中画出二次函数y＝x2+bx+c的图象，并根据图象在抛物线的对称轴找点P，使得△ACP周长最短（直接写出点P的坐标）．

【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；
（2）根据配方法，可得答案；
（3）根据轴对称的性质，两点之间线段最短，可得答案．
解：（1）将A，C代入解析式，得
，
解得b＝﹣4，c＝3；
（2）函数解析式为y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
顶点坐标为（2，﹣1），对称轴是直线x＝2；
（3）如图，
A与B关于对称轴对称，PA＝PB，
PA+PB＝BC，△PAC的在周长最小，
BC的解析式为y＝﹣x+3，当x＝2时y＝1，
即P（2，1）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的性质得出PA+PB＝BC是解题关键．
23．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件，设每件商品降低x元据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加　2x　件，每件商品盈利　（50﹣x）　元（用含x的代数式表示）
（2）在上述条件不变，销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
【分析】（1）降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数＝原来的盈利﹣降低的钱数；
（2）等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数＝2100，把相关数值代入计算得到合适的解即可．
解：（1）降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数＝50﹣x；
故答案为：2x；（50﹣x）；

（2）由题意得：（50﹣x）（30+2x）＝2100
化简得：x2﹣35x+300＝0，
即（x﹣15）（x﹣20）＝0
解得：x1＝15，x2＝20
由于该商场为了尽快减少库存，因此降的越多，越吸引顾客，
故选x＝20，
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．
【点评】考查一元二次方程的应用；得到可卖出商品数量是解决本题的易错点；得到总盈利2100的等量关系是解决本题的关键．
24．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P′AB．
（1）求点P与点P′之间的距离；
（2）求∠APB的大小．

【分析】（1）根据旋转的性质即可求出两点之间的距离
（2）由旋转可知：P′B＝PC＝10，PB＝8，P′B2＝P′P2+PB2，从而可知△P′PB为直角三角形，从而求出∠APB的大小
解：（1）由旋转的性质知AP′＝AP＝6，∠P′AB＝∠PAC，
∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，
∴△P′AP是等边三角形，
∴PP′＝6；
（2）∵P′B＝PC＝10，PB＝8，
∴P′B2＝P′P2+PB2，
∴△P′PB为直角三角形，且∠P′PB＝90°，
∴∠APB＝∠P′PB+∠P′PA＝90°+60°＝150°．
【点评】本题考查旋转的性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质，本题属于基础题型．
25．某公司电商平台在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，下表仅列出了该商品的售价x、周销售量y、周销售利润W（元）的三组对应值数据．
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
（2）若该商品进价为a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润．
【分析】（1）设y＝kx+b，把x＝40，y＝180和x＝70，y＝90，代入可得解析式；
（2）根据利润＝（售价﹣进价）×数量，得W＝（﹣3x+300）（x﹣a），把x＝40，W＝3600，代入上式可得关系式W＝﹣3（x﹣60）2+4800，顶点的纵坐标即为利润的最大值．
解：（1）设y＝kx+b，
根据题意得：，
解得，
∴y关于x的函数解析式为y＝﹣3x+300；
（2）结合（1）得：W＝（﹣3x+300）（x﹣a），
把x＝40，W＝3600，代入上式可得：3600＝（﹣3×40+300）（40﹣a），
解得a＝20，
∴W＝（﹣3x+300）（x﹣20）＝﹣3x2+360x﹣6000＝﹣3（x﹣60）2+4800，
∴售价为60元时，周销售利润W最大，最大利润为4800元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解本题的关键理解题意，掌握二次函数的性质和销售问题中利润公式．
26．如图1，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M＝∠D．

（1）判断BC，MD的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝16，BE＝4，求线段CD的长；
（3）如图2，若MD恰好经过圆心O，求∠D的度数．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠M＝∠C，得到∠C＝∠D，根据平行线的判定定理证明；
（2）连接OD，根据勾股定理求出ED，根据垂径定理计算；
（3）根据圆周角定理计算．
解：（1）BC∥MD，
理由如下：由圆周角定理得，∠M＝∠C，又∠M＝∠D，
∴∠C＝∠D，
∴BC∥MD；
（2）连接OD，
∵AE＝16，BE＝4，
∴OB＝10，
∴OE＝10﹣4＝6，
∴ED＝＝8，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CD＝2ED＝16；
（3）∠M＝∠BOD，∠M＝∠D，
∴∠D＝∠BOD，
∴∠D＝30°．

【点评】本题考查的是圆周角定理、垂径定理以及勾股定理，掌握同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
27．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若点P是第一象限内抛物线上的一动点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标．

【分析】先求出点A，B，C三点的坐标，利点B与点C的坐标可以知道△OBC是等腰直角三角形，过点P作PH⊥BC，垂足为H，过点P作PD⊥x轴，交BC于点D，可证明△△△PHD是等腰直角三角形，可以得到，要使点P到直线BC的距离即最大，则PD要最大，设点P（m，﹣m2+4m+5），利用BC解析式可以表示出点D（m，﹣m+5），则PD＝﹣m2+5m，把二次函数化成顶点式即可求出PH的最大值．
解：把y＝0代入y＝﹣x2+4x+5，
则﹣x2+4x+5＝0，
解得：x1＝﹣1或x2＝5，
则点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（5，0），
把x＝0代入y＝﹣x2+4x+5，
则y＝5，
∴点C的坐标为（0，5），
如图，过点P作PH⊥BC，垂足为H，过点P作PD⊥x轴，交BC于点D，垂足为N，

∵点B的坐标是（5，0），点C的坐标为（0，5），
设直线BC解析式为y＝kx+b，则有，
，
解得：k＝﹣1，b＝5，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+5，
∵点B的坐标是（5，0），点C的坐标为（0，5），
∴OB＝OC，
又∵OC⊥OB，
∴∠OBC＝45°，
∵PH⊥BC，PH⊥OB，
∴∠PHB＝∠PNB＝90°，
∴HPD＝∠CBO＝45°，
在Rt△PHD中，
则，
∴当PD最大时，PH最大，
设点P的坐标为（m，﹣m2+4m+5），则点D（m，﹣m+5），
∴PD＝﹣m2+4m+5﹣（﹣m+5）＝﹣m2+5m＝，
∴当时，PD最大，最大值为，
∴当时，PH最大，即点P到直线BC的距离最大，
此时点P的坐标为（）．
答：点P的坐标为（）．

【点评】本次主要考查抛物线与x轴的交点，二次函数的最值问题，解题的关键是利用含字母的代数式表示点的坐标和相关线段的长度，