江苏省苏州市工业园区五校联考2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 （含答案）

这是一份江苏省苏州市工业园区五校联考2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 （含答案），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省苏州市工业园区五校联考九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分）
1．tan45°的值等于（　　）
A． B． C．1 D．
2．已知二次函数y＝2（x﹣3）2+1，下列说法错误的是（　　）
A．开口向上 B．顶点坐标为（3，1）
C．最小值为1 D．与y轴交点为（0，1）
3．下列关于一元二次方程2x2﹣2＝5x根的情况说法正确的是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
4．抛物线y＝﹣x2+2x﹣c过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3）三点．则将y1，y2，y3，从小到大顺序排列是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
5．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，如果BD＝9，DC＝5，cosB＝，E为AC的中点，那么sin∠EDC的值为（　　）

A． B． C． D．
6．在同一坐标系下，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx+1的图象大致可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．定义符合min{a，b}的含义为：当a＞b时，min{a，b}＝b；当a＜b，min{a，b}＝a，如：min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，﹣2}＝﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（　　）
A．0 B．1 C． D．
8．对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列关系式一定正确的是（　　）
A．＞1 B．0＜＜1 C．＞1 D．0＜＜1
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．抛物线y＝5（x﹣4）2+3的顶点坐标是　 　．
10．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则9m﹣6m2+1的值为 　 　．
11．2022年，北京成功举办第24届冬季奥运会后，很多学校都开展了冰雪项目的学习活动如．图，一位同学乘滑雪板沿坡度为i＝1：2的斜坡滑行30米，则他下降的高度为 　 　米．
12．已知实数a，b，c满足a≠0，且a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，则抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为 　 　．
13．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为 　 　．

14．一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故．一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援．海警船大约需 　 　小时到达事故船C处，（sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）

15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE＝5，连接CE，P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动，在整个运动过程中，阴影部分面积S1+S2的最小值为 　 　．

16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，与y轴交于点C，
线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B．平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其顶点始终在直
线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，n的取值范围是 　 　．

三、解答题（本大题共10小题，共82分）
17．解方程：（1）（x﹣1）2＝3x﹣3
（2）4x2﹣3x＝1．
18．计算：2sin60°+cos45°﹣tan30°．
19．已知二次函数y＝x2+6x+k﹣1（k是常数）．
（1）如果该二次函数的图象经过原点，求k的值；
（2）如果该二次函数的图象顶点在x轴上，求k的值．
20．已知关于x的方程x2+kx+k﹣2＝0．
（1）求证：不论k取何值，方程必有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根为x＝﹣2，求k的值及方程另一个根．
21．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．例如：方程x2﹣x＝0的两个根是x1＝0，x2＝1，则方程x2﹣x＝0是“邻根方程”．
（1）请通过计算，判断方程x2﹣x+1＝0是否是“邻根方程”；
（2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值．
22．若二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如表：
x
﹣1
0
1
2
3
y
0
3
4
3
0
（1）求这个二次函数的表达式：
（2）二次函数y＝ax2+bx+c图像上有两点P（m，yP），Q（n，yQ），
①已知yP＝yQ，当x＝m+n时，求y的值；
②当n＝4时，yP＜yQ，求m的取值范围．
23．图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是其侧面结构示意图（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂）．已知基座高度MN为0.5米，主臂MP长为3米，主臂伸展角α的范围是：0°＜α≤60°，伸展臂伸展角β的范围是：45°≤β≤135°．当α＝45°时（如图3），伸展臂PQ恰好垂直并接触地面．

求：（1）伸展臂PQ长为多少米？
（2）挖掘机能挖的最远处距点N的距离为多少米？
24．某电商销售一款秋季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件．为了庆祝二十大的胜利召开，未来30天，这款时装将开展“喜迎二十大，每天降1元”的促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．
（1）这30天内该电商第几天的利润最大？最大利润是多少？
（2）为了回馈社会，在这30天内，该电商决定每销售一件时装，向希望工程捐a元（a＞0）．要使每天捐款后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，求a的取值范围．
25．如图，直角梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，BC＝3，
（1）若AD＝1，AB＝m，在AB边上存在唯一的P点使得∠DPC＝90°，
①求m的值；
②PC的垂直平分线交CD于Q点，求DQ的长；
（2）延长BA、CD交于点E，点F在BE上，且∠BCF＝∠E，若tan∠ECF＝，求BF的长．

26．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴交于C点，顶点为M，直线MD⊥x轴于点D．
（1）当a＞0时，知OC＝MD，求AB的长；
（2）当a＜0时，若OC＝OB，tan∠ACB＝2，求抛物线的解析式；




参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分）
1．tan45°的值等于（　　）
A． B． C．1 D．
【分析】根据特殊锐角的三角函数值进行判断即可．
解：tan45°＝1，
故选：C．
【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是正确解答的关键．
2．已知二次函数y＝2（x﹣3）2+1，下列说法错误的是（　　）
A．开口向上 B．顶点坐标为（3，1）
C．最小值为1 D．与y轴交点为（0，1）
【分析】根据二次函数的性质得二次函数y＝2（x﹣3）2+1的开口向上，对称轴为直线x＝3，抛物线的顶点坐标为（3，1）；函数有最小值1，把x＝0代入解析式求得y＝19，则与y轴交点为（0，19），即可对各命题进行判断．
解：抛物线y＝2（x﹣3）2+1中a＞0，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（3，1），
∴当x＝3时，y有最小值1，
把x＝0时，y＝19，
∴抛物线与y轴交点为（0，19），
故D错误；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
3．下列关于一元二次方程2x2﹣2＝5x根的情况说法正确的是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】先计算出Δ＝（﹣5）2﹣4×2×（﹣2），然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
解：2x2﹣5x﹣2＝0，
因为Δ＝（﹣5）2﹣4×2×（﹣2）＝41＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
4．抛物线y＝﹣x2+2x﹣c过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3）三点．则将y1，y2，y3，从小到大顺序排列是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，根据函数的对称性和增减性，即可得出答案．
解：∵y＝﹣x2+2x﹣c＝﹣（x﹣1）2+1﹣c，
∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，
∵A（﹣1，y1）关于直线x＝1的对称点是（3，y1），且1＜2＜3＜5，
∴y2＞y1＞y3，即y3＜y1＜y2．
故选：C．
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
5．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，如果BD＝9，DC＝5，cosB＝，E为AC的中点，那么sin∠EDC的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】由cosB＝，BD＝9求出AB长度，再由勾股定理求出AD，再由勾股定理求出AC，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得EC＝ED，即sin∠EDC＝sinC．
解：在Rt△ABD中，cosB＝＝，BD＝9，
∴AB＝BD＝15，
由勾股定理得AD＝＝＝12，
在Rt△ADC中，由勾股定理得AC＝＝＝13，
∵E为AC中点，
∴ED＝EC＝AC＝，
∴sin∠EDC＝sinC＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形，解题关键是熟练掌握解直角三角形的方法，掌握直角三角形斜边上的中线长度等于斜边的一半．
6．在同一坐标系下，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx+1的图象大致可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】可先由一次函数y＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+bx+1的图象相比较看是否一致．
解：A、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＜0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项正确；
B、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＜0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．
7．定义符合min{a，b}的含义为：当a＞b时，min{a，b}＝b；当a＜b，min{a，b}＝a，如：min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，﹣2}＝﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（　　）
A．0 B．1 C． D．
【分析】先求出两个函数的交点坐标，再根据min的定义解答即可．
解：联立，
解得，，
所以，min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，读懂题目信息，理解定义符号的意义并考虑求两个函数的交点是解题的关键．
8．对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列关系式一定正确的是（　　）
A．＞1 B．0＜＜1 C．＞1 D．0＜＜1
【分析】根据题意画出关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）的图象以及直线y＝﹣2，根据图象即可判断．
解：由题意关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），就是关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）与直线y＝﹣2的交点的横坐标，
画出函数的图象草图如下：

∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣5，
∴x3＜x1＜﹣5，
由图象可知：0＜＜1一定成立，
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，利用图象判断是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．抛物线y＝5（x﹣4）2+3的顶点坐标是　（4，3）　．
【分析】根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标．
解：∵y＝5（x﹣4）2+3是抛物线解析式的顶点式，
∴顶点坐标为（4，3）．
故答案为（4，3）．
【点评】此题考查二次函数的性质，掌握顶点式y＝a（x﹣h）2+k中，顶点坐标是（h，k）是解决问题的关键．
10．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则9m﹣6m2+1的值为 　﹣2　．
【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1＝0，
∴2m2﹣3m＝1，
∴9m﹣6m2+1
＝﹣3（2m2﹣3m）+1
＝﹣3+1
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．
11．2022年，北京成功举办第24届冬季奥运会后，很多学校都开展了冰雪项目的学习活动如．图，一位同学乘滑雪板沿坡度为i＝1：2的斜坡滑行30米，则他下降的高度为 　6　米．
【分析】根据坡度的概念、勾股定理列出方程，解方程得到答案．
解：设他下降的高度AC为x米，
∵斜坡的坡度为i＝1：2，
∴这位同学滑行的是水平距离BC为2x米，
由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，即x2+（2x）2＝302，
解得：x＝±6（负值舍去），
∴他下降的高度为6米，
故答案为：6．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
12．已知实数a，b，c满足a≠0，且a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，则抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为 　直线x＝1　．
【分析】根据已知a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，可得抛物线经过点（﹣1，0）和（3，0），根据对称性即可求出对称轴．
解：∵a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，
∴抛物线经过点（﹣1，0）和（3，0），
∴对称轴为直线x＝＝1．
故答案为：直线x＝1．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用点（﹣1，0）和（3，0）关于对称轴对称是解题的关键．
13．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为 　　．

【分析】连接DE，根据题意可得：AB∥DE，从而利用平行线的性质可得∠APC＝∠EDC，然后利用勾股定理的逆定理证明△DCE是直角三角形，从而可得∠DCE＝90°，再利用锐角三角函数的定义进行计算可得cos∠CDE的值，即可解答．
解：如图：连接DE，

由题意得：
AB∥DE，
∴∠APC＝∠EDC，
在△DCE中，CD2＝22+42＝20，
CE2＝12+22＝5，
DE2＝32+42＝25，
∴CD2+CE2＝DE2，
∴△DCE是直角三角形，
∴∠DCE＝90°，
∴cos∠CDE＝＝，
∴cos∠APC＝cos∠CDE＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
14．一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故．一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援．海警船大约需 　　小时到达事故船C处，（sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）

【分析】过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．先解Rt△ACD得出CD＝AC＝40海里，再解Rt△CBD中，得出BC＝＝≈＝50（海里），然后根据时间＝路程÷速度即可求出海警船到达事故船C处所需的时间．
解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D，
在Rt△ACD中，
∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AC＝80，
∴CD＝AC＝40，
在Rt△CBD中，∠CDB＝90°，∠CBD＝90°﹣37°＝53°，
∴BC＝≈＝50（海里），
∴海警船到达事故船C处所需的时间大约为：50÷40＝（小时）．
故答案为：．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE＝5，连接CE，P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动，在整个运动过程中，阴影部分面积S1+S2的最小值为 　82.5　．

【分析】设PD＝x，AB边上的高为h，想办法求出AD、h，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，
∴AB＝＝25，
设PD＝x，AB边上的高为h，
则h＝＝12，
∵PD⊥AC，
∴PD∥BC，
∴△ADP∽△ACB，
∴，即，
∴AD＝x，PA＝x，
∴S1+S2＝×x•x+×（25﹣5﹣x）×12＝x2﹣10x+120＝（x﹣）2+，
∴x＝，S1+S2的值最小为＝82.5，
故答案为：82.5．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，动点问题，三角形面积，勾股定理等知识，解题的关键是构建二次函数，学会利用二次函数的增减性解决问题，属于中考常考题型．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，与y轴交于点C，
线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B．平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其顶点始终在直
线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，n的取值范围是 　1＜n≤4或n＝　．

【分析】分两种情况讨论：①当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位，平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1+h）2﹣4+h，求出直线BA的解析式为y＝x﹣5，联立方程组，由Δ＝0时，解得h＝，此时抛物线的顶点为（，﹣），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；②当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k个单位，平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣k）2﹣4﹣k，当抛物线经过点B时，此时抛物线的顶点坐标为（4，﹣7），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；当抛物线的顶点为（1，﹣4）时，平移后的抛物线与射线BA有两个公共点，由此可求解．
解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点A（1，﹣4），
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x﹣3，
①如图1，当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位，
∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1+h）2﹣4+h，
设直线BA的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
解得，
∴y＝x﹣5，
联立方程组，
整理得x2﹣（3﹣2h）x+h2﹣h+2＝0，
当Δ＝0时，（3﹣2h）2﹣4（h2﹣h+2）＝0，
解得h＝，
此时抛物线的顶点为（，﹣），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；
②如图2，当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k个单位，
∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣k）2﹣4﹣k，
当抛物线经过点B时，（2﹣1﹣k）2﹣4﹣k＝﹣3，
解得k＝0（舍）或k＝3，
此时抛物线的顶点坐标为（4，﹣7），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点，
当抛物线的顶点为（1，﹣4）时，平移后的抛物线与射线BA有两个公共点，
∴综上所述：1＜n≤4或n＝．
故答案为：1＜n≤4或n＝．


【点评】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共82分）
17．解方程：（1）（x﹣1）2＝3x﹣3
（2）4x2﹣3x＝1．
【分析】（1）方程利用因式分解法求解即可；
（2）方程利用因式分解法求解即可．
解：（1）（x﹣1）2＝3x﹣3，
（x﹣1）2﹣3（x﹣1）＝0．
（x﹣1）（x﹣1﹣3）＝0，
（x﹣1）（x﹣4）＝0，
x﹣1＝0或x﹣4＝0，
解得x1＝1，x2＝4；
（2）4x2﹣3x＝1，
4x2﹣3x﹣1＝0，
（4x+1）（x﹣1）＝0，
4x+1＝0或x﹣1＝0，
解得，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握提公因式法和十字相乘法因式分解是解答本题的关键．
18．计算：2sin60°+cos45°﹣tan30°．
【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．
解：原式＝2×+×﹣＝+1．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．已知二次函数y＝x2+6x+k﹣1（k是常数）．
（1）如果该二次函数的图象经过原点，求k的值；
（2）如果该二次函数的图象顶点在x轴上，求k的值．
【分析】（1）将原点坐标（0，0）代入二次函数解析式，列方程求k即可．
（2）根据顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标是0，求出即可．
解：（1）∵二次函数y＝x2+6x+k﹣1的图象经过原点，
∴k﹣1＝0，
解得k＝1；
（2）根据题意得：
＝＝0，
解得k＝10．
【点评】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
20．已知关于x的方程x2+kx+k﹣2＝0．
（1）求证：不论k取何值，方程必有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根为x＝﹣2，求k的值及方程另一个根．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝（k﹣2）2+4＞0，由此可证出不论k取何值，方程必有两个不相等的实数根；
（2）将x＝﹣2代入原方程可求出k值，再根据两根之和等于﹣可求出方程另一个根．
【解答】（1）证明：Δ＝k2﹣4（k﹣2）＝k2﹣4k+8＝（k﹣2）2+4．
∵（k﹣2）2≥0，
∴（k﹣2）2+4＞0，即Δ＞0，
∴不论k取何值，方程必有两个不相等的实数根；
（2）将x＝﹣2代入原方程得4﹣2k+k﹣2＝0，
解得：k＝2，
∴方程的另一个根为﹣k﹣（﹣2）＝﹣2﹣（﹣2）＝0．
答：k的值为2，方程的另一个根为0．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）牢记两根之和等于﹣．
21．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．例如：方程x2﹣x＝0的两个根是x1＝0，x2＝1，则方程x2﹣x＝0是“邻根方程”．
（1）请通过计算，判断方程x2﹣x+1＝0是否是“邻根方程”；
（2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值．
【分析】（1）根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻根方程”；
（2）先解方程求得其根，再根据新定义列出关于m的方程，注意有两种情况．
解：（1）解方程x2﹣x+1＝0得：x＝或x＝，
∵﹣＝1，
∴方程x2﹣x+1＝0是“邻根方程”；

（2）由方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0解得：x＝m或x＝﹣1，
由于关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，
则m﹣（﹣1）＝1或﹣1﹣m＝1，
解得m＝0或﹣2．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型．
22．若二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如表：
x
﹣1
0
1
2
3
y
0
3
4
3
0
（1）求这个二次函数的表达式：
（2）二次函数y＝ax2+bx+c图像上有两点P（m，yP），Q（n，yQ），
①已知yP＝yQ，当x＝m+n时，求y的值；
②当n＝4时，yP＜yQ，求m的取值范围．
【分析】（1）利用表中的对应值可设交点式y＝a（x+1）（x﹣3），然后把x＝0，y＝3代入求出a即可；
（2）①利用抛物线的对称性得到m+n＝﹣2，然后把x＝m+n代入抛物线解析式中计算即可．
②利用二次函数的性质即可得到结论．
解：（1）∵x＝﹣1，y＝0；x＝3，y＝0，
∴抛物线解析式可设为y＝a（x+1）（x﹣3），
∵x＝0，y＝3，
∴a×（0+1）×（0﹣3）＝3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3），
即y＝﹣x2+2x+3；
（2）①∵当x＝m和x＝n时函数y的值相等，
而抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，
∴m+n＝﹣2，
当x＝m+n时，y＝﹣（﹣2+1）（﹣2﹣3）＝﹣5．
②∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴Q（4，yQ）关于对称轴的对称点为（﹣6，yQ），
∵yP＜yQ，
∴m的取值范围是m＜﹣6或m＞4．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，求得函数的解析式是解题的关键．
23．图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是其侧面结构示意图（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂）．已知基座高度MN为0.5米，主臂MP长为3米，主臂伸展角α的范围是：0°＜α≤60°，伸展臂伸展角β的范围是：45°≤β≤135°．当α＝45°时（如图3），伸展臂PQ恰好垂直并接触地面．

求：（1）伸展臂PQ长为多少米？
（2）挖掘机能挖的最远处距点N的距离为多少米？
【分析】（1）过点M作MH⊥PQ，垂足为Q，根据题意可得HQ＝MN＝0.5米，然后在Rt△PHM中，利用锐角三角函数的定义求出PH的长，从而求出PQ的长，即可解答；
（2）当∠QPM＝135°时，过点Q作QA⊥PM，交MP的延长线于点A，连接QM，利用平角定义可求出∠APQ＝45°，然后在Rt△APQ中，利用锐角三角函数的定义求出AP，AQ的长，从而求出AM的长，再在Rt△AQM中，利用勾股定理求出QM的长，最后在Rt△QMN中，利用勾股定理求出QN的长，即可解答．
解：（1）过点M作MH⊥PQ，垂足为Q，

则HQ＝MN＝0.5米，
在Rt△PHM中，∠PMH＝45°，PM＝3米，
∴PH＝PM•sin45°＝3×＝3（米），
∴PQ＝PH+HQ＝3+0.5＝3.5（米），
∴伸展臂PQ长为3.5米；

（2）当∠QPM＝135°时，过点Q作QA⊥PM，交MP的延长线于点A，连接QM，

∴∠APQ＝180°﹣∠QPM＝45°，
在Rt△APQ中，PQ＝3.5米，
∴AQ＝PQ•sin45°＝3.5×＝（米），
AP＝PQ•cos45°＝3.5×＝（米），
∵PM＝3米，
∴AM＝AP+PM＝（米），
在Rt△AQM中，QM＝＝＝（米），
在Rt△QMN中，QN＝＝＝（米），
∴挖掘机能挖的最远处距点N的距离为米，
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24．某电商销售一款秋季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件．为了庆祝二十大的胜利召开，未来30天，这款时装将开展“喜迎二十大，每天降1元”的促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．
（1）这30天内该电商第几天的利润最大？最大利润是多少？
（2）为了回馈社会，在这30天内，该电商决定每销售一件时装，向希望工程捐a元（a＞0）．要使每天捐款后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，求a的取值范围．
【分析】（1）根据每天售出的件数×每件盈利＝利润即可得到的W与x之间的函数关系式，由函数的性质即可求出其最大利润以及其哪一天所获得的；
（2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．
解：（1）设销售利润为w元，销售时间为x天，
由题意可知，w＝（110﹣x﹣40）（4x+20），
＝﹣4x2+260x+1400，
＝﹣4（x﹣32.5）2+5625，
∵a＝﹣5＜0，
∴函数有最大值，
∴当x＝30时，w取最大值为w＝﹣4×302+260×30+1400＝5600元，
∴第30天的利润最大，最大利润是5600元；
（2）设未来30天每天获得的利润为y，时间为t天，根据题意，
得y＝（110﹣40﹣t）（20+4t）﹣（20+4t）a，
化简，得y＝﹣4t2+（260﹣4a）t+1400﹣20a，
每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，
∴﹣＞29.5，
解得，a＜6，
又∵a＞0，
即a的取值范围是：0＜a＜6．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的实际应用和二次函数实际中的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程或函数关系式是解决问题的关键．最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
25．如图，直角梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，BC＝3，
（1）若AD＝1，AB＝m，在AB边上存在唯一的P点使得∠DPC＝90°，
①求m的值；
②PC的垂直平分线交CD于Q点，求DQ的长；
（2）延长BA、CD交于点E，点F在BE上，且∠BCF＝∠E，若tan∠ECF＝，求BF的长．

【分析】（1）①由题意在AB边上存在唯一的P点使得∠DPC＝90°，推出以CD为直径的⊙O与AB相切于点P，连接OP．证明OP是梯形的中位线，求出OP＝2，可得CD＝2OP＝4，再利用勾股定理求出DT即可；
②由①可知OP＝OC，推出PC的垂直平分线与CD的交点Q与O重合，由此即可解决问题；
（2）如图2中，延长CB到J，使得BJ＝BC，连接EJ，JF，延长CF交EJ于点K．证明∠KJF＝∠ECF，由题意tan∠KJF＝tan∠ECF＝，推出＝，设KF＝x，FJ＝2x，则FJ＝CF＝x，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．
解：（1）①如图1中，

∵在AB边上存在唯一的P点使得∠DPC＝90°，
∴以CD为直径的⊙O与AB相切于点P，连接OP．
∴OP⊥AB，
∵∠A＝∠B＝90°，
∴DA⊥AB，CB⊥AB，
∴AD∥OP∥CB，
∵OD＝OC，
∴AP＝PB，
∴OP＝（AD+BC）＝2，
∵∠DPC＝90°，OD＝OC，
∴CD＝2OP＝4，
过点D作DT⊥CB于点T，则四边形ABTD是矩形，
∴AB＝DT，AD＝BT＝1，
∴CT＝BC﹣BT＝3﹣1＝2，
∴DT＝＝＝2，
∴m＝AB＝DT＝2；

②由①可知OP＝OC，
∴PC的垂直平分线与CD的交点Q与O重合，
∴DQ＝DO＝2；

（2）如图2中，延长CB到J，使得BJ＝BC，连接EJ，JF，延长CF交EJ于点K．

∵EB⊥CJ，BJ＝BC，
∴EJ＝EC，FJ＝FC，
∴∠BEJ＝∠BEC，∠EJC＝∠ECJ，∠FJC＝∠FCJ，
∴∠KJF＝∠ECF，
∵∠BCF＝∠BEC，
∴∠BCF＝∠BEJ，
∴∠EFK＝∠CFB，
∴∠EKF＝∠CBF＝90°，
∴tan∠KJF＝tan∠ECF＝，
∴＝，
设KF＝x，FJ＝2x，则FJ＝CF＝x，
在Rt△CJK中，CJ2＝JK2+CK2，
∴62＝（2x）2+（x+x）2，
∴x2＝，
∴BF＝＝＝．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了直角梯形的性质，切线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
26．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴交于C点，顶点为M，直线MD⊥x轴于点D．
（1）当a＞0时，知OC＝MD，求AB的长；
（2）当a＜0时，若OC＝OB，tan∠ACB＝2，求抛物线的解析式；


【分析】（1）根据题意求出M（1，c﹣a），D（1，0），再由OC＝MD，得到c＝a，则y＝ax2﹣2ax+a，当ax2﹣2ax+a＝0时，分别求出A（1﹣，0），B（1+，0），再求AB的长即可；
（2）过点A作AM⊥BC交于点M，由∠OBC＝45°，tan∠ACB＝2，可得AM＝BM＝2CM，再由OC＝OB＝c，求出CM＝c，AB＝c，OA＝c，根据a＜0，c＞0，可知A（﹣c，0），B（c，0），根据AB＝c＝2，求出c的值，从而确定A、B点的坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可．
解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+c＝a（x2﹣2x）+c＝a（x﹣1）2+c﹣a，
∴顶点M（1，c﹣a），D（1，0），
令x＝0，则C（0，c），
∴OC＝c，
∵OC＝MD，
∴c＝（a﹣c），
∴c＝a，
∴y＝ax2﹣2ax+a，
令y＝0，则ax2﹣2ax+a＝0，
∴x＝1+或x＝1﹣，
∴A（1﹣，0），B（1+，0），
∴AB＝；
（2）过点A作AM⊥BC交于点M，
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝45°，
∴AM＝BM，
∵tan∠ACB＝2，
∴AM＝BM＝2CM，
∴BC＝3CM，
∵C（0，c），
∴OC＝OB＝c，
∴3CM＝c，
∴CM＝c，
∴AB＝2CM＝c，
∴OA＝AB﹣OB＝c，
∵a＜0，c＞0，
∴A（﹣c，0），B（c，0），
∴AB＝c＝2，
∴c＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
将A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax+3中，a+2a+3＝0，
解得a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+2x+3．

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的三角形函数值，勾股定理是解题的关键．