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浙江省金华市义乌市绣湖中学教育集团2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷（含答案）
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这是一份浙江省金华市义乌市绣湖中学教育集团2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷（含答案），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省金华市义乌市绣湖中学教育集团九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题有4个选项，其中有且只有一个正确，请把正确的选项填入答题错的相应空格，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y＝x2+1 B．y＝8x+1 C．y＝ D．y＝﹣﹣4
2．（3分）若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定
3．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．义乌明年元旦会下雨
B．一个三角形三内角的和为180°
C．任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地
D．有一匹马奔跑的速度是70米/秒
4．（3分）如图，一根排水管的截面是一个半径为5的圆，管内水面宽AB＝8，则水深CD为（ ）
A．3 B．2 C． D．
5．（3分）已知线段AB＝2，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为（ ）
A． B． C．3﹣ D．﹣1
6．（3分）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的．有A、B、C三个点都在横线上，若AB＝，则线段BC的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．
7．（3分）如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，下面有四个推断，其中最合理的（ ）
A．当投掷次数是1000时，计算机记录“凸面向上”的频率是0.443，所以“凸面向上”的概率是0.443
B．若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“凸面向上”的频率一定是0.443
C．随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率总在0.440附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率是0.440
D．当投掷次数是5000次以上时，“凸面向上”的频率一定是0.40．
8．（3分）如图，已知AD为△ABC中BC边上的中线，过重心G作GE∥AC，交BC于点E，DE＝2，则BC的长为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
9．（3分）如图，AC，BD是⊙O的两条直径，∠AOD＝60°，点M是劣弧AB上任意一点，过点M作AC的垂线，交AC、BD所在直线于点E、G，过点M作BD的垂线，交BD、AC所在直线于点F、H，小明思考后提出如下说法，其中不正确的是（ ）
A．＝
B．∠EMF＝60°
C．当M平分弧AB时，四边形AMBO为菱形
D．当△MFG≌△BCD时，
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、C的坐标分别为（﹣4，1），（﹣1，﹣4），且AD平行于x轴，当函数y＝x2+2mx﹣2（x≤0）的图象在矩形ABCD内部的部分均为y随x的增大而减小时，下列选项中符合条件的m的取值范围为（ ）
A．1≤m≤ B．0≤m≤
C．﹣1＜m≤1或≤m＜ D．﹣1＜m≤0或1≤m＜
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）若，则的值为 ．
12．（4分）一个不透明的袋中装有只有颜色不同的6个红球和若干个白球，从袋中摸出红球的概率为，那么这个袋中一共装有 个球．
13．（4分）两个相似多边形的周长之比为2：3，则它们的面积之比为 ．
14．（4分）为了测量河宽AB，有如下方法：如图，取一根标尺CD横放，使CD∥AB，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得CD＝15米，OC＝10米，AC＝20米，则河宽AB的长度为 米．
15．（4分）已知，抛物线y＝ax2+2ax+b上有两点A（﹣2，4），B（1，0），将抛物线沿水平方向平移，平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，且四边形AA′B′B刚好为菱形，那么平移后的抛物线的顶点坐标为 ．
16．（4分）商场卫生间旋转门锁的局部如图1所示，如图2锁芯O固定在距离门边（EF）3.5cm处（即ON＝3.5cm），在自然状态下，把手竖直向下（把手底端到达A）．旋转一定角度，把手底端B恰好卡住门边时，底端A、B的竖直高度差为0.5cm．当把手旋转90°到达水平位置时固定力最强，有效的固定长度（把手底端到门边的垂直距离）DN＝ cm，当把手旋转到OC时，∠BOC＝∠BOD，此时有效的固定长度为 cm．
三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程.）
17．（6分）已知二次函数y＝2x2﹣4x+m的图象经过点A（3，0）．
（1）求m的值：
（2）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？
18．（6分）如图，AB、BC是⊙O的两条弦，且AB⊥BC，OD⊥AB，OE⊥BC，垂足分别为D、E，AB＝BC．
（1）求证：四边形DBEO是正方形；
（2）若AB＝2，求⊙O的半径．
19．（6分）“勤拼好学、刚正勇为、诚信包容”的义乌精神由世世代代义乌人民在生产生活之中凝练而成．现将质地大小完全相同，上面依次标有“义”“乌”“精”“神”字样的四个彩球放入同一个不透明的袋子．
（1）小伊在袋子中随机摸出一个彩球，摸中“义”这个彩球的概率为 ；
（2）若小伊在袋子中随机摸出一个彩球不放回，再摸出一个彩球．请用树状图或者列表法分析可能出现的结果，并求出两次摸球能拼出“义乌”的概率是多少？
20．（8分）如图在6×5的正方形网格中，每一个正方形的顶点都称为格点，△ABC的三个顶点都是格点．请按要求完成下列作图．
（1）在图1网格中作格点三角形DEF，使△DEF与△ABC相似，且相似比不等于1；
（2）如图2，将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△ABC′（点B对应点B'），画出△A′BC′．
21．（8分）某商店购进了600个冬奥纪念品，进价每个6元，原计划以每个10元的价格每天销售200个，三天可以售完．实际销售中，销售价格与销售数量都有变化，市场调研显示，该产品每降低1元，可多售出50个，设第二天的销售单价降低x元（0＜x＜4），这批旅游纪念品三天的销售总利润为y元，三天的销售情况如表：请解决以下问题：
第一天
第二天
第三天
销售单价（元）
10
10﹣x
4
销售数量（个）
200
余量全部售出
（1）用含x的代数式表示第二天的销售数量；
（2）求这批旅游纪念品三天的销售总利润y关于x的函数表达式；
（3）若第三天销售数量不超过前两天销售数量之和的，求这批旅游纪念品三天的销售总利润的最大值是多少？
22．（10分）如图，D为△ABC的边AB上一动点，且与A，B不重合，过点D作AC的平行线DE交BC于E，作BC的平行线DF交AC于点F．
（1）求证：△ADF∽△DBE；
（2）若AB＝2，△ABC的面积为1．
①若BD：AB＝1：4时，求四边形DECF的面积；
②若BD＝x，试探究当点D在运动过程中，四边形DECF的面积y是否存在最大值？若存在，求出该值：若不存在，请说明理由．
23．（10分）某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
获得图象：
计算x与y的几组对应值，列表如下：
x
•••
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
•••
y
•••
﹣5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
1
0
﹣3
•••
（1）如图，在直角坐标系中画出了函数y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）将这个图象补画完整．
探究性质：
（2）根据函数图象，写出该函数的一个正确结论：解决问题：
（3）若过定点的直线y＝tx﹣2t+2与函数y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）（2＜x≤4）的图象只有一个交点，请结合函数图象求出t的取值范围．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点B坐标为（2，0），点D是射线OB上不与点O重合的一个动点，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到ED，连结AD、AE．
（1）求证：DA＝DE；
（2）如图2，连结AC，BE，当△CDA与△DBE相似时，求BD的长；
（3）当点A关于直线ED的对称点A'落在正方形的边上时，求点D的坐标．
2022-2023学年浙江省金华市义乌市绣湖中学教育集团九年级（上）期中数学试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（每小题有4个选项，其中有且只有一个正确，请把正确的选项填入答题错的相应空格，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y＝x2+1 B．y＝8x+1 C．y＝ D．y＝﹣﹣4
【分析】根据二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0），逐一判断即可解答．
【解答】解：A、y＝x2+1，是二次函数，故A符合题意；
B、y＝8x+1，是一次函数，故B不符合题意；
C、y＝，是反比例函数，故C不符合题意；
D、y＝﹣﹣4，不是二次函数，故D不符合题意；
故选：A．
2．（3分）若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．
【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，
∴d＜r，
∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，
故选：C．
3．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．义乌明年元旦会下雨
B．一个三角形三内角的和为180°
C．任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地
D．有一匹马奔跑的速度是70米/秒
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、义乌明年元旦会下雨，是随机事件，不符合题意；
B、一个三角形三内角的和为180°，是必然事件，符合题意；
C、任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地，是随机事件，不符合题意；
D、有一匹马奔跑的速度是70米/秒，是不可能事件，不符合题意；
故选：B．
4．（3分）如图，一根排水管的截面是一个半径为5的圆，管内水面宽AB＝8，则水深CD为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【分析】由题意知OD⊥AB，交AB于点C，由垂径定理可得出BC的长，在Rt△OBC中，根据勾股定理求出OC的长，由CD＝OD﹣OC即可得出结论．
【解答】解：连接OB，
由题意知OD⊥AB，交AB于点C，
∵AB＝8，
∴BC＝AB＝＝4，
在Rt△OBC中，
∵OB＝5，BC＝4，
∴OC＝＝＝3，
∴CD＝OD﹣OC＝5﹣3＝2．
故选：B．
5．（3分）已知线段AB＝2，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为（ ）
A． B． C．3﹣ D．﹣1
【分析】由黄金分割点的定义，知AC是较长线段，再由黄金分割的公式计算即可．
【解答】解：∵线段AB＝2，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），
∴AC＝AB＝×2＝﹣1，
故选：D．
6．（3分）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的．有A、B、C三个点都在横线上，若AB＝，则线段BC的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【分析】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于点D，交点C所在的平行横线于点E，由题意得：AD＝2DE，＝，然后进行计算即可解答．
【解答】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于点D，交点C所在的平行横线于点E，
由题意得：
AD＝2DE，＝，
∵AB＝，
∴＝2，
∴BC＝，
故选：D．
7．（3分）如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，下面有四个推断，其中最合理的（ ）
A．当投掷次数是1000时，计算机记录“凸面向上”的频率是0.443，所以“凸面向上”的概率是0.443
B．若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“凸面向上”的频率一定是0.443
C．随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率总在0.440附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率是0.440
D．当投掷次数是5000次以上时，“凸面向上”的频率一定是0.40．
【分析】根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：A、当投掷次数是1000时，计算机记录“凸面向上”的频率是0.443，所以“凸面向上”的频率是0.443，概率不一定是0.443，故A选项不符合题意；
B、若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“凸面向上”的频率不一定是0.443，故B选项不符合题意；
C、随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率总在0.440附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率是0.440，故C选项符合题意；
D、当投掷次数是5000次以上时，“凸面向上”的频率不一定是0.40，故D选项不符合题意．
故选：C．
8．（3分）如图，已知AD为△ABC中BC边上的中线，过重心G作GE∥AC，交BC于点E，DE＝2，则BC的长为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
【分析】根据重心的概念得到DG：DA＝1：3，根据平行线分线段成比例定理解答．
【解答】解：∵G是重心，
∴DG：DA＝1：3，
∵GE∥AC，
∴DE：DC＝DG：DA＝1：3，
∵DE＝2，
∴CD＝6，
∴BC＝2CD＝12，
故选：A．
9．（3分）如图，AC，BD是⊙O的两条直径，∠AOD＝60°，点M是劣弧AB上任意一点，过点M作AC的垂线，交AC、BD所在直线于点E、G，过点M作BD的垂线，交BD、AC所在直线于点F、H，小明思考后提出如下说法，其中不正确的是（ ）
A．＝
B．∠EMF＝60°
C．当M平分弧AB时，四边形AMBO为菱形
D．当△MFG≌△BCD时，
【分析】A．根据三角形内角和定理证明∠MHE＝∠OGE，再通过三角形相似的判定定理得△MEH∽△OEG，由相似三角形的性质可判断A；
B．由相似三角形的性质得∠EMH＝∠EOG便可判断B；
C．连接OM，由圆的性质得∠AOM＝∠BOM＝60°，再证明△OAM和△OBM都是等边三角形，得出OA＝OB＝AM＝BM，便可判断C；
D．△MFG≌△BCD时，则MF＝BC，再证明△OBC为等边三角形，得OB＝BC＝FM，此时F、H则与点O重合，作出示意图，设圆的半径为r，用r表示△MEH与四边形ABCD的面积便可求得比值，从而判断D．
【解答】解：A．∵∠OFH＝＝∠OEG＝90°，∠FOH＝∠EOG，
∴∠MHE＝∠OGE，
∵∠MEH＝∠OEG＝90°，
∴△MEH∽△OEG，
∴，
故选项正确，不符合题意；
B．∵△MEH∽△OEG，
∴∠EMH＝∠EOG，
∵∠AOD＝60°，
∴∠EMF＝60°，
故选项正确，不符合题意；
C．连接OM，
当M平分弧AB时，则∠AOM＝∠BOM，
∵∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOM＝∠BOM＝60°，
∵OA＝OM＝OB，
∴△OAM和△OBM都是等边三角形，
∴OA＝OB＝OM＝AM，
∴四边形AMBO为菱形，
故选项正确，不符合题意；
D．当△MFG≌△BCD时，则MF＝BC，
∵∠BOC＝∠AOD＝60°，OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴OB＝BC，
∴OB＝FM，
此时F、H则与点O重合，
∴∠MHE＝∠MOE＝30°，
设BC＝OB＝OM＝r，则ME＝，HE＝OE＝r，
∴，
∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴四边形ABCD是矩形，
∵∠DBC＝60°，
∴CD＝，
∴，
∴，
故选项错误，符合题意；
故选：D．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、C的坐标分别为（﹣4，1），（﹣1，﹣4），且AD平行于x轴，当函数y＝x2+2mx﹣2（x≤0）的图象在矩形ABCD内部的部分均为y随x的增大而减小时，下列选项中符合条件的m的取值范围为（ ）
A．1≤m≤ B．0≤m≤
C．﹣1＜m≤1或≤m＜ D．﹣1＜m≤0或1≤m＜
【分析】将二次函数解析式化为顶点式可得抛物线开口方向及顶点坐标，从而可得抛物线顶点的运动轨迹，结合图象求解．
【解答】解：∵y＝x2+2mx﹣2＝（x+m）2﹣m2﹣2，
∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x＝﹣m，顶点坐标为（﹣m，﹣m2﹣2），
∴抛物线顶点在抛物线y＝﹣x2﹣2上，
由题意得点D坐标为（﹣1，1），点B坐标为（﹣4，﹣4），
如图，当抛物线对称轴与CD重合时符合题意，
此时﹣m＝﹣1，
解得m＝1，
将点D（﹣1，1）代入y＝x2+2mx﹣2得1＝1﹣2m﹣2，
解得m＝﹣1，
∴﹣1＜m≤1时符合题意．
将点C（﹣1，﹣4）代入y＝x2+2mx﹣2得﹣4＝1﹣2m﹣2，
解得m＝，
将点B（﹣4，﹣4）代入y＝x2+2mx﹣2得﹣4＝16﹣8m﹣2，
解得m＝，
∴≤m＜符合题意，
综上所述，﹣1＜m≤1或≤m＜．
故选：C．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）若，则的值为 ．
【分析】已知的比值，根据比例的合比性质即可求得．
【解答】解：根据比例的合比性质，已知＝，
则＝．
12．（4分）一个不透明的袋中装有只有颜色不同的6个红球和若干个白球，从袋中摸出红球的概率为，那么这个袋中一共装有 10 个球．
【分析】有白球x个，根据概率公式求出x的值，再加上红球的个数，即可得出答案．
【解答】解：设有白球x个，根据题意得：
＝，
解得：x＝4，
经检验x＝4是原方程的解，
则这个袋中一共装有：4+6＝10个球．
故答案为：10．
13．（4分）两个相似多边形的周长之比为2：3，则它们的面积之比为 4：9 ．
【分析】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算．
【解答】解：相似多边形的周长的比是2：3，
周长的比等于相似比，因而相似比是2：3，
面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为4：9；
故答案为：4：9．
14．（4分）为了测量河宽AB，有如下方法：如图，取一根标尺CD横放，使CD∥AB，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得CD＝15米，OC＝10米，AC＝20米，则河宽AB的长度为 45 米．
【分析】根据题意得到△OCD∽△OAB，由该相似三角形的对应边成比例求得答案．
【解答】解：∵CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB．
∴＝，
∵CD＝15米，OC＝10米，AC＝20米，
∴＝．
∴AB＝45．
故答案是：45．
15．（4分）已知，抛物线y＝ax2+2ax+b上有两点A（﹣2，4），B（1，0），将抛物线沿水平方向平移，平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，且四边形AA′B′B刚好为菱形，那么平移后的抛物线的顶点坐标为 （4，） ．
【分析】利用待定系数法求得函数的解析式得到顶点坐标，由四边形AA′B′B为菱形，得出AA′＝BB′＝AB＝5，即可得出向右平移5各单位的得到新抛物线，进而即可求得平移后的抛物线的顶点坐标．
【解答】解：根据题意得，
解得，
∴y＝﹣x2﹣x+4．
∵四边形AA′B′B为菱形，
∴AA′＝BB′＝AB＝5，
∵y＝﹣x2﹣x+4＝﹣（x+1）2+，
∴顶点为（﹣1，），
∴向右平移5各单位的抛物线的顶点为（4，）．
故答案为：（4，）．
16．（4分）商场卫生间旋转门锁的局部如图1所示，如图2锁芯O固定在距离门边（EF）3.5cm处（即ON＝3.5cm），在自然状态下，把手竖直向下（把手底端到达A）．旋转一定角度，把手底端B恰好卡住门边时，底端A、B的竖直高度差为0.5cm．当把手旋转90°到达水平位置时固定力最强，有效的固定长度（把手底端到门边的垂直距离）DN＝ 9 cm，当把手旋转到OC时，∠BOC＝∠BOD，此时有效的固定长度为 6.5 cm．
【分析】作BG⊥OA于G，设OA＝OB＝OC＝OD＝xcm，在Rt△OBG中利用勾股定理求出x，利用OD﹣ON得到DN，连接OB，交OC于M，作CP⊥OD，MQ⊥OD，求出BD，OM，QM和OQ，证明△OPC∽△OQM，可得OP，可得PN，即可得到C到EF的距离．
【解答】解：如图，作BG⊥OA于G，
设OA＝OB＝OC＝OD＝xcm，
则AG＝0.5cm，BG＝ON＝3.5cm，
∴OG＝OA﹣AG＝x﹣0.5cm，
∵在Rt△OBG中，OB2＝OG2+BG2，
∴x2＝（x﹣0.5）2+3.52，
解得：x＝12.5，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝12.5cm，
∴DN＝OD﹣ON＝12.5﹣3.5＝9cm．
连接OB，交OC于M，作CP⊥OD，MQ⊥OD，
∵BN＝OG＝12.5﹣0.5＝12cm，DN＝9cm，
∴DB＝DN2+BN2＝15cm，
又∵∠BOC＝∠BOD，OD＝OB，
∴OC⊥BD，DM＝BM＝DB＝7.5cm，
∴OM＝＝＝10cm，
∵△DNB中，QM∥NB，且M是DB中点，
∴QM＝BN＝6cm，
∴Rt△OQM中，OQ＝＝＝8cm，
又∵CP∥MQ，
∴△OPC∽△OQM，
∴OC/OM＝OP/OQ，
∴＝，
∴OP＝10cm，
∴PN＝OP﹣ON＝10﹣3.5＝6.5cm，
∵CP⊥OD，EF⊥OD，
∴C到EF的距离长等于PN的长，为6.5cm．
故答案为：9；6.5．
三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程.）
17．（6分）已知二次函数y＝2x2﹣4x+m的图象经过点A（3，0）．
（1）求m的值：
（2）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？
【分析】（1）把点A（3，0）代入y＝2x2﹣4x+m得到关于m的方程，解方程即可求得；
（2）根据二次函数的性质即可求得．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝2x2﹣4x+m的图象经过点A（3，0），
∴0＝18﹣12+m，
∴m＝﹣6；
（2）y＝2x2﹣4x+m＝2（x﹣1）2+m﹣2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大．
18．（6分）如图，AB、BC是⊙O的两条弦，且AB⊥BC，OD⊥AB，OE⊥BC，垂足分别为D、E，AB＝BC．
（1）求证：四边形DBEO是正方形；
（2）若AB＝2，求⊙O的半径．
【分析】（1）先根据垂径定理，由OD⊥AB，OE⊥BC得到BD＝AB，BE＝BC，且∠BDO＝∠BEO＝90°，加上∠DBE＝90°，则可判断四边形DBEO是矩形，由于AB＝BC，所以BD＝BE，于是可判断四边形DBEO是正方形；
（2）由∠ABC＝90°，得AC为直径，根据勾股定理得AC＝＝2，所以⊙O的半径为．
【解答】解：（1）证明：∵OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，
∴BD＝AB，BE＝BC，∠BDO＝∠BEO＝90°，
∵AB⊥BC，
∴∠DBE＝90°，
∴四边形DBEO是矩形，
∵AB＝AC，
∴BD＝BE，
∴四边形DBEO是正方形，
（2）∵∠ABC＝90°，
∴AC为直径，
∵AB＝BC＝2，
∴AC＝＝2，
∴OA＝，
∴⊙O的半径为．
19．（6分）“勤拼好学、刚正勇为、诚信包容”的义乌精神由世世代代义乌人民在生产生活之中凝练而成．现将质地大小完全相同，上面依次标有“义”“乌”“精”“神”字样的四个彩球放入同一个不透明的袋子．
（1）小伊在袋子中随机摸出一个彩球，摸中“义”这个彩球的概率为 ；
（2）若小伊在袋子中随机摸出一个彩球不放回，再摸出一个彩球．请用树状图或者列表法分析可能出现的结果，并求出两次摸球能拼出“义乌”的概率是多少？
【分析】（1）根据概率的定义直接可得答案；
（2）用列表法表示所有可能写成的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）袋子中有标有“义”“乌”“精”“神”字样的四个彩球，从中随机取出一球，共有4种可能出现的结果，
其中取出“义”的只有1种，
所以在袋子中随机摸出一个彩球，摸中“义”这个彩球的概率为，
故答案为：；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有12种可能出现的结果，其中两次可以拼成“义务”的有2种，
所以两次摸球能拼出“义乌”的概率是＝．
20．（8分）如图在6×5的正方形网格中，每一个正方形的顶点都称为格点，△ABC的三个顶点都是格点．请按要求完成下列作图．
（1）在图1网格中作格点三角形DEF，使△DEF与△ABC相似，且相似比不等于1；
（2）如图2，将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△ABC′（点B对应点B'），画出△A′BC′．
【分析】（1）根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）根据旋转的性质作出图形即可．
【解答】解：（1）如图1所示，△DEF即为所求；
（2）如图所示，△A′BC′即为所求．
21．（8分）某商店购进了600个冬奥纪念品，进价每个6元，原计划以每个10元的价格每天销售200个，三天可以售完．实际销售中，销售价格与销售数量都有变化，市场调研显示，该产品每降低1元，可多售出50个，设第二天的销售单价降低x元（0＜x＜4），这批旅游纪念品三天的销售总利润为y元，三天的销售情况如表：请解决以下问题：
第一天
第二天
第三天
销售单价（元）
10
10﹣x
4
销售数量（个）
200
50x+200
余量全部售出
（1）用含x的代数式表示第二天的销售数量；
（2）求这批旅游纪念品三天的销售总利润y关于x的函数表达式；
（3）若第三天销售数量不超过前两天销售数量之和的，求这批旅游纪念品三天的销售总利润的最大值是多少？
【分析】（1）根据每个10元的价格每天销售200个，产品每降低1元，可多售出50个．列出代数式即可；
（2）根据销售总利润＝三天的销售利润之和列出函数解析式即可；
（3）根据第三天销售数量不超过前两天销售数量之和的以及0＜x＜4求出x的取值范围，并根据（2）中解析式，由函数的性质求最值．
【解答】解：（1）∵产品每降低1元，可多售出50个，
∴第2天的销售量为200+50x，
故答案为：50x+200；
（2）根据题意得：y＝200×（10﹣6）+（10﹣6﹣x）（50x+200）+（4﹣6）[600﹣200﹣（50x+200）]
＝800+（4﹣x）（50x+200）﹣2（200﹣50x）
＝﹣50x2+100x+1200，
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣50x2+100x+1200；
（3）根据题意得：200﹣50x≤（200+50x+200），
解得x≥2，
又∵0＜x＜4，
∴2≤x＜4，
由（2）知，y＝﹣50x2+100x+1200＝﹣50（x﹣1）2+1250，
∵﹣50＜0，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴当x＝2时，y最大，最大值为1200，
答：这批旅游纪念品三天的销售总利润的最大值是1200元．
22．（10分）如图，D为△ABC的边AB上一动点，且与A，B不重合，过点D作AC的平行线DE交BC于E，作BC的平行线DF交AC于点F．
（1）求证：△ADF∽△DBE；
（2）若AB＝2，△ABC的面积为1．
①若BD：AB＝1：4时，求四边形DECF的面积；
②若BD＝x，试探究当点D在运动过程中，四边形DECF的面积y是否存在最大值？若存在，求出该值：若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由DE∥AC，得∠A＝∠BDE，由DF∥BC，得∠ADF＝∠B，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ADF∽△DBE；
（2）①由BD：AB＝1：4，得＝，由△ADF∽△ABC，＝＝，则S△ADF＝；由△DBE∽△ABC，得＝＝，则S△DBE＝，所以S四边形DECF＝1﹣﹣＝；
②由AB＝2，BD＝x，得AD＝2﹣x，则＝＝（2﹣x）2，＝＝x2，所以S△ADF＝（2﹣x）2，S△DBE＝x2，则y＝1﹣（2﹣x）2﹣x2＝﹣（x﹣1）2+，所以当x＝1时，y最大＝，即四边形DECF的面积y存在最大值，最大值是．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠A＝∠BDE，
∵DF∥BC，
∴∠ADF＝∠B，
∴△ADF∽△DBE．
（2）解：①∵BD：AB＝1：4，
∴＝，
∵DF∥BC，S△ABC＝1，
∴△ADF∽△ABC，
∴＝＝＝，
∴S△ADF＝×1＝，
∵DE∥AC，
∴△DBE∽△ABC，
∴＝＝＝，
∴S△DBE＝×1＝，
∴S四边形DECF＝1﹣﹣＝，
∴四边形DECF的面积是．
②四边形DECF的面积y存在最大值，
∵AB＝2，BD＝x，
∴AD＝2﹣x，
∴＝＝（2﹣x）2，＝＝x2，
∴S△ADF＝（2﹣x）2×1＝（2﹣x）2，S△DBE＝x2×1＝x2，
∵S四边形DECF＝S△ABC﹣S△ADF﹣S△DBE，
∴y＝1﹣（2﹣x）2﹣x2＝﹣x2+x＝﹣（x﹣1）2+，
∴当x＝1时，y最大＝，
∴四边形DECF的面积y的最大值是．
23．（10分）某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
获得图象：
计算x与y的几组对应值，列表如下：
x
•••
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
•••
y
•••
﹣5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
1
0
﹣3
•••
（1）如图，在直角坐标系中画出了函数y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）将这个图象补画完整．
探究性质：
（2）根据函数图象，写出该函数的一个正确结论：解决问题：
（3）若过定点的直线y＝tx﹣2t+2与函数y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）（2＜x≤4）的图象只有一个交点，请结合函数图象求出t的取值范围．
【分析】（1）描点、连线画出函数的图象即可；
（2）观察函数图象，该函数有最大值1；
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）描点、连线画出函数的图象如图，
（2）观察函数图象，该函数有最大值1；
（3）把（4，﹣3）代入y＝tx﹣2t+2得﹣3＝4t﹣2t+2，解得t＝﹣，
∵y＝tx﹣2t+2＝t（x﹣2）+2，
∴直线y＝tx﹣2t+2一定过点（2，2），
由图象可知，过定点的直线y＝tx﹣2t+2与函数y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）（2＜x≤4）的图象只有一个交点，则﹣≤t＜0．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点B坐标为（2，0），点D是射线OB上不与点O重合的一个动点，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到ED，连结AD、AE．
（1）求证：DA＝DE；
（2）如图2，连结AC，BE，当△CDA与△DBE相似时，求BD的长；
（3）当点A关于直线ED的对称点A'落在正方形的边上时，求点D的坐标．
【分析】（1）利用正方形是轴对称图形，旋转变换的性质证明即可；
（2）如图2中，设AC叫OBT点J，过点D作DK⊥BC于点K．证明DC平分∠JCB，推出DJ＝DK，再根据BJ＝，可得DJ+DJ＝，求出DJ即可；
（3）分四种情形：如图3﹣1中，当点A′落在BC上时，当点D在AC上时，A′与点C重合，如图3﹣2中，当点A′落在AC上时，当点点D与B重合时，A与A′重合，分别求解即可．
【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形OABC是正方形，
∴A，C关于OB对称，
∴DA＝DC，
∵线段CD绕点D顺时针旋转90°得到ED，
∴DC＝DE，
∴DA＝DE；
（2）解：如图2中，设AC叫OBT点J，过点D作DK⊥BC于点K．
∵DA＝DC＝DE，
∴∠DAC＝∠DCA，∠DAE＝∠DEA，
∵△ADC与△EBD相似，
∴∠ACD＝∠DEB，
∴∠CAD＝∠DAE，
∵∠CAB＝∠ACB＝45°，
∴∠CAD＝∠DAB＝∠ACD＝∠BCD＝22.5°，
∵DJ⊥CJ，DK⊥CB，
∴DJ＝DK，
∵B（2，0），
∴OJ＝JB＝，
∴DJ+DJ＝，
∴DJ＝2﹣，
∴OD＝2，
∴BD＝2﹣2；
（3）如图3﹣1中，当点A′落在BC上时，
由对称性可知，∠CDE＝∠ADA′＝90°，∠EDA＝∠EDA′＝45°，
∴∠ADC＝135°，
∴∠BDC＝∠BDA＝67.5°，
∵∠DBC＝45°，
∴∠BCD＝∠BDC＝67.5°，
∴BD＝BC＝2，
∴OD＝2﹣2，
∴D（2﹣2，0）；
当点D在AC上时，A′与点C重合，满足条件，此时D（，0）；
如图3﹣2中，当点A′落在AC上时，同法可证OD＝OC＝2，可得D（2，0）．
当点D与B重合时，A与A′重合，满足条件，此时D（2，0）．
综上所述，满足条件的点D的坐标为（2﹣2，0）或（，0）或（2，0）或（2，0）．
2022-2023学年浙江省金华市义乌市绣湖中学教育集团九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题有4个选项，其中有且只有一个正确，请把正确的选项填入答题错的相应空格，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y＝x2+1 B．y＝8x+1 C．y＝ D．y＝﹣﹣4
2．（3分）若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定
3．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．义乌明年元旦会下雨
B．一个三角形三内角的和为180°
C．任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地
D．有一匹马奔跑的速度是70米/秒
4．（3分）如图，一根排水管的截面是一个半径为5的圆，管内水面宽AB＝8，则水深CD为（ ）
A．3 B．2 C． D．
5．（3分）已知线段AB＝2，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为（ ）
A． B． C．3﹣ D．﹣1
6．（3分）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的．有A、B、C三个点都在横线上，若AB＝，则线段BC的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．
7．（3分）如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，下面有四个推断，其中最合理的（ ）
A．当投掷次数是1000时，计算机记录“凸面向上”的频率是0.443，所以“凸面向上”的概率是0.443
B．若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“凸面向上”的频率一定是0.443
C．随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率总在0.440附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率是0.440
D．当投掷次数是5000次以上时，“凸面向上”的频率一定是0.40．
8．（3分）如图，已知AD为△ABC中BC边上的中线，过重心G作GE∥AC，交BC于点E，DE＝2，则BC的长为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
9．（3分）如图，AC，BD是⊙O的两条直径，∠AOD＝60°，点M是劣弧AB上任意一点，过点M作AC的垂线，交AC、BD所在直线于点E、G，过点M作BD的垂线，交BD、AC所在直线于点F、H，小明思考后提出如下说法，其中不正确的是（ ）
A．＝
B．∠EMF＝60°
C．当M平分弧AB时，四边形AMBO为菱形
D．当△MFG≌△BCD时，
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、C的坐标分别为（﹣4，1），（﹣1，﹣4），且AD平行于x轴，当函数y＝x2+2mx﹣2（x≤0）的图象在矩形ABCD内部的部分均为y随x的增大而减小时，下列选项中符合条件的m的取值范围为（ ）
A．1≤m≤ B．0≤m≤
C．﹣1＜m≤1或≤m＜ D．﹣1＜m≤0或1≤m＜
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）若，则的值为 ．
12．（4分）一个不透明的袋中装有只有颜色不同的6个红球和若干个白球，从袋中摸出红球的概率为，那么这个袋中一共装有 个球．
13．（4分）两个相似多边形的周长之比为2：3，则它们的面积之比为 ．
14．（4分）为了测量河宽AB，有如下方法：如图，取一根标尺CD横放，使CD∥AB，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得CD＝15米，OC＝10米，AC＝20米，则河宽AB的长度为 米．
15．（4分）已知，抛物线y＝ax2+2ax+b上有两点A（﹣2，4），B（1，0），将抛物线沿水平方向平移，平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，且四边形AA′B′B刚好为菱形，那么平移后的抛物线的顶点坐标为 ．
16．（4分）商场卫生间旋转门锁的局部如图1所示，如图2锁芯O固定在距离门边（EF）3.5cm处（即ON＝3.5cm），在自然状态下，把手竖直向下（把手底端到达A）．旋转一定角度，把手底端B恰好卡住门边时，底端A、B的竖直高度差为0.5cm．当把手旋转90°到达水平位置时固定力最强，有效的固定长度（把手底端到门边的垂直距离）DN＝ cm，当把手旋转到OC时，∠BOC＝∠BOD，此时有效的固定长度为 cm．
三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程.）
17．（6分）已知二次函数y＝2x2﹣4x+m的图象经过点A（3，0）．
（1）求m的值：
（2）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？
18．（6分）如图，AB、BC是⊙O的两条弦，且AB⊥BC，OD⊥AB，OE⊥BC，垂足分别为D、E，AB＝BC．
（1）求证：四边形DBEO是正方形；
（2）若AB＝2，求⊙O的半径．
19．（6分）“勤拼好学、刚正勇为、诚信包容”的义乌精神由世世代代义乌人民在生产生活之中凝练而成．现将质地大小完全相同，上面依次标有“义”“乌”“精”“神”字样的四个彩球放入同一个不透明的袋子．
（1）小伊在袋子中随机摸出一个彩球，摸中“义”这个彩球的概率为 ；
（2）若小伊在袋子中随机摸出一个彩球不放回，再摸出一个彩球．请用树状图或者列表法分析可能出现的结果，并求出两次摸球能拼出“义乌”的概率是多少？
20．（8分）如图在6×5的正方形网格中，每一个正方形的顶点都称为格点，△ABC的三个顶点都是格点．请按要求完成下列作图．
（1）在图1网格中作格点三角形DEF，使△DEF与△ABC相似，且相似比不等于1；
（2）如图2，将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△ABC′（点B对应点B'），画出△A′BC′．
21．（8分）某商店购进了600个冬奥纪念品，进价每个6元，原计划以每个10元的价格每天销售200个，三天可以售完．实际销售中，销售价格与销售数量都有变化，市场调研显示，该产品每降低1元，可多售出50个，设第二天的销售单价降低x元（0＜x＜4），这批旅游纪念品三天的销售总利润为y元，三天的销售情况如表：请解决以下问题：
第一天
第二天
第三天
销售单价（元）
10
10﹣x
4
销售数量（个）
200
余量全部售出
（1）用含x的代数式表示第二天的销售数量；
（2）求这批旅游纪念品三天的销售总利润y关于x的函数表达式；
（3）若第三天销售数量不超过前两天销售数量之和的，求这批旅游纪念品三天的销售总利润的最大值是多少？
22．（10分）如图，D为△ABC的边AB上一动点，且与A，B不重合，过点D作AC的平行线DE交BC于E，作BC的平行线DF交AC于点F．
（1）求证：△ADF∽△DBE；
（2）若AB＝2，△ABC的面积为1．
①若BD：AB＝1：4时，求四边形DECF的面积；
②若BD＝x，试探究当点D在运动过程中，四边形DECF的面积y是否存在最大值？若存在，求出该值：若不存在，请说明理由．
23．（10分）某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
获得图象：
计算x与y的几组对应值，列表如下：
x
•••
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
•••
y
•••
﹣5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
1
0
﹣3
•••
（1）如图，在直角坐标系中画出了函数y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）将这个图象补画完整．
探究性质：
（2）根据函数图象，写出该函数的一个正确结论：解决问题：
（3）若过定点的直线y＝tx﹣2t+2与函数y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）（2＜x≤4）的图象只有一个交点，请结合函数图象求出t的取值范围．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点B坐标为（2，0），点D是射线OB上不与点O重合的一个动点，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到ED，连结AD、AE．
（1）求证：DA＝DE；
（2）如图2，连结AC，BE，当△CDA与△DBE相似时，求BD的长；
（3）当点A关于直线ED的对称点A'落在正方形的边上时，求点D的坐标．
2022-2023学年浙江省金华市义乌市绣湖中学教育集团九年级（上）期中数学试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（每小题有4个选项，其中有且只有一个正确，请把正确的选项填入答题错的相应空格，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y＝x2+1 B．y＝8x+1 C．y＝ D．y＝﹣﹣4
【分析】根据二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0），逐一判断即可解答．
【解答】解：A、y＝x2+1，是二次函数，故A符合题意；
B、y＝8x+1，是一次函数，故B不符合题意；
C、y＝，是反比例函数，故C不符合题意；
D、y＝﹣﹣4，不是二次函数，故D不符合题意；
故选：A．
2．（3分）若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．
【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，
∴d＜r，
∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，
故选：C．
3．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．义乌明年元旦会下雨
B．一个三角形三内角的和为180°
C．任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地
D．有一匹马奔跑的速度是70米/秒
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、义乌明年元旦会下雨，是随机事件，不符合题意；
B、一个三角形三内角的和为180°，是必然事件，符合题意；
C、任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地，是随机事件，不符合题意；
D、有一匹马奔跑的速度是70米/秒，是不可能事件，不符合题意；
故选：B．
4．（3分）如图，一根排水管的截面是一个半径为5的圆，管内水面宽AB＝8，则水深CD为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【分析】由题意知OD⊥AB，交AB于点C，由垂径定理可得出BC的长，在Rt△OBC中，根据勾股定理求出OC的长，由CD＝OD﹣OC即可得出结论．
【解答】解：连接OB，
由题意知OD⊥AB，交AB于点C，
∵AB＝8，
∴BC＝AB＝＝4，
在Rt△OBC中，
∵OB＝5，BC＝4，
∴OC＝＝＝3，
∴CD＝OD﹣OC＝5﹣3＝2．
故选：B．
5．（3分）已知线段AB＝2，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为（ ）
A． B． C．3﹣ D．﹣1
【分析】由黄金分割点的定义，知AC是较长线段，再由黄金分割的公式计算即可．
【解答】解：∵线段AB＝2，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），
∴AC＝AB＝×2＝﹣1，
故选：D．
6．（3分）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的．有A、B、C三个点都在横线上，若AB＝，则线段BC的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【分析】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于点D，交点C所在的平行横线于点E，由题意得：AD＝2DE，＝，然后进行计算即可解答．
【解答】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于点D，交点C所在的平行横线于点E，
由题意得：
AD＝2DE，＝，
∵AB＝，
∴＝2，
∴BC＝，
故选：D．
7．（3分）如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，下面有四个推断，其中最合理的（ ）
A．当投掷次数是1000时，计算机记录“凸面向上”的频率是0.443，所以“凸面向上”的概率是0.443
B．若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“凸面向上”的频率一定是0.443
C．随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率总在0.440附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率是0.440
D．当投掷次数是5000次以上时，“凸面向上”的频率一定是0.40．
【分析】根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：A、当投掷次数是1000时，计算机记录“凸面向上”的频率是0.443，所以“凸面向上”的频率是0.443，概率不一定是0.443，故A选项不符合题意；
B、若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“凸面向上”的频率不一定是0.443，故B选项不符合题意；
C、随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率总在0.440附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率是0.440，故C选项符合题意；
D、当投掷次数是5000次以上时，“凸面向上”的频率不一定是0.40，故D选项不符合题意．
故选：C．
8．（3分）如图，已知AD为△ABC中BC边上的中线，过重心G作GE∥AC，交BC于点E，DE＝2，则BC的长为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
【分析】根据重心的概念得到DG：DA＝1：3，根据平行线分线段成比例定理解答．
【解答】解：∵G是重心，
∴DG：DA＝1：3，
∵GE∥AC，
∴DE：DC＝DG：DA＝1：3，
∵DE＝2，
∴CD＝6，
∴BC＝2CD＝12，
故选：A．
9．（3分）如图，AC，BD是⊙O的两条直径，∠AOD＝60°，点M是劣弧AB上任意一点，过点M作AC的垂线，交AC、BD所在直线于点E、G，过点M作BD的垂线，交BD、AC所在直线于点F、H，小明思考后提出如下说法，其中不正确的是（ ）
A．＝
B．∠EMF＝60°
C．当M平分弧AB时，四边形AMBO为菱形
D．当△MFG≌△BCD时，
【分析】A．根据三角形内角和定理证明∠MHE＝∠OGE，再通过三角形相似的判定定理得△MEH∽△OEG，由相似三角形的性质可判断A；
B．由相似三角形的性质得∠EMH＝∠EOG便可判断B；
C．连接OM，由圆的性质得∠AOM＝∠BOM＝60°，再证明△OAM和△OBM都是等边三角形，得出OA＝OB＝AM＝BM，便可判断C；
D．△MFG≌△BCD时，则MF＝BC，再证明△OBC为等边三角形，得OB＝BC＝FM，此时F、H则与点O重合，作出示意图，设圆的半径为r，用r表示△MEH与四边形ABCD的面积便可求得比值，从而判断D．
【解答】解：A．∵∠OFH＝＝∠OEG＝90°，∠FOH＝∠EOG，
∴∠MHE＝∠OGE，
∵∠MEH＝∠OEG＝90°，
∴△MEH∽△OEG，
∴，
故选项正确，不符合题意；
B．∵△MEH∽△OEG，
∴∠EMH＝∠EOG，
∵∠AOD＝60°，
∴∠EMF＝60°，
故选项正确，不符合题意；
C．连接OM，
当M平分弧AB时，则∠AOM＝∠BOM，
∵∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOM＝∠BOM＝60°，
∵OA＝OM＝OB，
∴△OAM和△OBM都是等边三角形，
∴OA＝OB＝OM＝AM，
∴四边形AMBO为菱形，
故选项正确，不符合题意；
D．当△MFG≌△BCD时，则MF＝BC，
∵∠BOC＝∠AOD＝60°，OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴OB＝BC，
∴OB＝FM，
此时F、H则与点O重合，
∴∠MHE＝∠MOE＝30°，
设BC＝OB＝OM＝r，则ME＝，HE＝OE＝r，
∴，
∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴四边形ABCD是矩形，
∵∠DBC＝60°，
∴CD＝，
∴，
∴，
故选项错误，符合题意；
故选：D．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、C的坐标分别为（﹣4，1），（﹣1，﹣4），且AD平行于x轴，当函数y＝x2+2mx﹣2（x≤0）的图象在矩形ABCD内部的部分均为y随x的增大而减小时，下列选项中符合条件的m的取值范围为（ ）
A．1≤m≤ B．0≤m≤
C．﹣1＜m≤1或≤m＜ D．﹣1＜m≤0或1≤m＜
【分析】将二次函数解析式化为顶点式可得抛物线开口方向及顶点坐标，从而可得抛物线顶点的运动轨迹，结合图象求解．
【解答】解：∵y＝x2+2mx﹣2＝（x+m）2﹣m2﹣2，
∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x＝﹣m，顶点坐标为（﹣m，﹣m2﹣2），
∴抛物线顶点在抛物线y＝﹣x2﹣2上，
由题意得点D坐标为（﹣1，1），点B坐标为（﹣4，﹣4），
如图，当抛物线对称轴与CD重合时符合题意，
此时﹣m＝﹣1，
解得m＝1，
将点D（﹣1，1）代入y＝x2+2mx﹣2得1＝1﹣2m﹣2，
解得m＝﹣1，
∴﹣1＜m≤1时符合题意．
将点C（﹣1，﹣4）代入y＝x2+2mx﹣2得﹣4＝1﹣2m﹣2，
解得m＝，
将点B（﹣4，﹣4）代入y＝x2+2mx﹣2得﹣4＝16﹣8m﹣2，
解得m＝，
∴≤m＜符合题意，
综上所述，﹣1＜m≤1或≤m＜．
故选：C．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）若，则的值为 ．
【分析】已知的比值，根据比例的合比性质即可求得．
【解答】解：根据比例的合比性质，已知＝，
则＝．
12．（4分）一个不透明的袋中装有只有颜色不同的6个红球和若干个白球，从袋中摸出红球的概率为，那么这个袋中一共装有 10 个球．
【分析】有白球x个，根据概率公式求出x的值，再加上红球的个数，即可得出答案．
【解答】解：设有白球x个，根据题意得：
＝，
解得：x＝4，
经检验x＝4是原方程的解，
则这个袋中一共装有：4+6＝10个球．
故答案为：10．
13．（4分）两个相似多边形的周长之比为2：3，则它们的面积之比为 4：9 ．
【分析】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算．
【解答】解：相似多边形的周长的比是2：3，
周长的比等于相似比，因而相似比是2：3，
面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为4：9；
故答案为：4：9．
14．（4分）为了测量河宽AB，有如下方法：如图，取一根标尺CD横放，使CD∥AB，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得CD＝15米，OC＝10米，AC＝20米，则河宽AB的长度为 45 米．
【分析】根据题意得到△OCD∽△OAB，由该相似三角形的对应边成比例求得答案．
【解答】解：∵CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB．
∴＝，
∵CD＝15米，OC＝10米，AC＝20米，
∴＝．
∴AB＝45．
故答案是：45．
15．（4分）已知，抛物线y＝ax2+2ax+b上有两点A（﹣2，4），B（1，0），将抛物线沿水平方向平移，平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，且四边形AA′B′B刚好为菱形，那么平移后的抛物线的顶点坐标为 （4，） ．
【分析】利用待定系数法求得函数的解析式得到顶点坐标，由四边形AA′B′B为菱形，得出AA′＝BB′＝AB＝5，即可得出向右平移5各单位的得到新抛物线，进而即可求得平移后的抛物线的顶点坐标．
【解答】解：根据题意得，
解得，
∴y＝﹣x2﹣x+4．
∵四边形AA′B′B为菱形，
∴AA′＝BB′＝AB＝5，
∵y＝﹣x2﹣x+4＝﹣（x+1）2+，
∴顶点为（﹣1，），
∴向右平移5各单位的抛物线的顶点为（4，）．
故答案为：（4，）．
16．（4分）商场卫生间旋转门锁的局部如图1所示，如图2锁芯O固定在距离门边（EF）3.5cm处（即ON＝3.5cm），在自然状态下，把手竖直向下（把手底端到达A）．旋转一定角度，把手底端B恰好卡住门边时，底端A、B的竖直高度差为0.5cm．当把手旋转90°到达水平位置时固定力最强，有效的固定长度（把手底端到门边的垂直距离）DN＝ 9 cm，当把手旋转到OC时，∠BOC＝∠BOD，此时有效的固定长度为 6.5 cm．
【分析】作BG⊥OA于G，设OA＝OB＝OC＝OD＝xcm，在Rt△OBG中利用勾股定理求出x，利用OD﹣ON得到DN，连接OB，交OC于M，作CP⊥OD，MQ⊥OD，求出BD，OM，QM和OQ，证明△OPC∽△OQM，可得OP，可得PN，即可得到C到EF的距离．
【解答】解：如图，作BG⊥OA于G，
设OA＝OB＝OC＝OD＝xcm，
则AG＝0.5cm，BG＝ON＝3.5cm，
∴OG＝OA﹣AG＝x﹣0.5cm，
∵在Rt△OBG中，OB2＝OG2+BG2，
∴x2＝（x﹣0.5）2+3.52，
解得：x＝12.5，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝12.5cm，
∴DN＝OD﹣ON＝12.5﹣3.5＝9cm．
连接OB，交OC于M，作CP⊥OD，MQ⊥OD，
∵BN＝OG＝12.5﹣0.5＝12cm，DN＝9cm，
∴DB＝DN2+BN2＝15cm，
又∵∠BOC＝∠BOD，OD＝OB，
∴OC⊥BD，DM＝BM＝DB＝7.5cm，
∴OM＝＝＝10cm，
∵△DNB中，QM∥NB，且M是DB中点，
∴QM＝BN＝6cm，
∴Rt△OQM中，OQ＝＝＝8cm，
又∵CP∥MQ，
∴△OPC∽△OQM，
∴OC/OM＝OP/OQ，
∴＝，
∴OP＝10cm，
∴PN＝OP﹣ON＝10﹣3.5＝6.5cm，
∵CP⊥OD，EF⊥OD，
∴C到EF的距离长等于PN的长，为6.5cm．
故答案为：9；6.5．
三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程.）
17．（6分）已知二次函数y＝2x2﹣4x+m的图象经过点A（3，0）．
（1）求m的值：
（2）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？
【分析】（1）把点A（3，0）代入y＝2x2﹣4x+m得到关于m的方程，解方程即可求得；
（2）根据二次函数的性质即可求得．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝2x2﹣4x+m的图象经过点A（3，0），
∴0＝18﹣12+m，
∴m＝﹣6；
（2）y＝2x2﹣4x+m＝2（x﹣1）2+m﹣2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大．
18．（6分）如图，AB、BC是⊙O的两条弦，且AB⊥BC，OD⊥AB，OE⊥BC，垂足分别为D、E，AB＝BC．
（1）求证：四边形DBEO是正方形；
（2）若AB＝2，求⊙O的半径．
【分析】（1）先根据垂径定理，由OD⊥AB，OE⊥BC得到BD＝AB，BE＝BC，且∠BDO＝∠BEO＝90°，加上∠DBE＝90°，则可判断四边形DBEO是矩形，由于AB＝BC，所以BD＝BE，于是可判断四边形DBEO是正方形；
（2）由∠ABC＝90°，得AC为直径，根据勾股定理得AC＝＝2，所以⊙O的半径为．
【解答】解：（1）证明：∵OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，
∴BD＝AB，BE＝BC，∠BDO＝∠BEO＝90°，
∵AB⊥BC，
∴∠DBE＝90°，
∴四边形DBEO是矩形，
∵AB＝AC，
∴BD＝BE，
∴四边形DBEO是正方形，
（2）∵∠ABC＝90°，
∴AC为直径，
∵AB＝BC＝2，
∴AC＝＝2，
∴OA＝，
∴⊙O的半径为．
19．（6分）“勤拼好学、刚正勇为、诚信包容”的义乌精神由世世代代义乌人民在生产生活之中凝练而成．现将质地大小完全相同，上面依次标有“义”“乌”“精”“神”字样的四个彩球放入同一个不透明的袋子．
（1）小伊在袋子中随机摸出一个彩球，摸中“义”这个彩球的概率为 ；
（2）若小伊在袋子中随机摸出一个彩球不放回，再摸出一个彩球．请用树状图或者列表法分析可能出现的结果，并求出两次摸球能拼出“义乌”的概率是多少？
【分析】（1）根据概率的定义直接可得答案；
（2）用列表法表示所有可能写成的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）袋子中有标有“义”“乌”“精”“神”字样的四个彩球，从中随机取出一球，共有4种可能出现的结果，
其中取出“义”的只有1种，
所以在袋子中随机摸出一个彩球，摸中“义”这个彩球的概率为，
故答案为：；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有12种可能出现的结果，其中两次可以拼成“义务”的有2种，
所以两次摸球能拼出“义乌”的概率是＝．
20．（8分）如图在6×5的正方形网格中，每一个正方形的顶点都称为格点，△ABC的三个顶点都是格点．请按要求完成下列作图．
（1）在图1网格中作格点三角形DEF，使△DEF与△ABC相似，且相似比不等于1；
（2）如图2，将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△ABC′（点B对应点B'），画出△A′BC′．
【分析】（1）根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）根据旋转的性质作出图形即可．
【解答】解：（1）如图1所示，△DEF即为所求；
（2）如图所示，△A′BC′即为所求．
21．（8分）某商店购进了600个冬奥纪念品，进价每个6元，原计划以每个10元的价格每天销售200个，三天可以售完．实际销售中，销售价格与销售数量都有变化，市场调研显示，该产品每降低1元，可多售出50个，设第二天的销售单价降低x元（0＜x＜4），这批旅游纪念品三天的销售总利润为y元，三天的销售情况如表：请解决以下问题：
第一天
第二天
第三天
销售单价（元）
10
10﹣x
4
销售数量（个）
200
50x+200
余量全部售出
（1）用含x的代数式表示第二天的销售数量；
（2）求这批旅游纪念品三天的销售总利润y关于x的函数表达式；
（3）若第三天销售数量不超过前两天销售数量之和的，求这批旅游纪念品三天的销售总利润的最大值是多少？
【分析】（1）根据每个10元的价格每天销售200个，产品每降低1元，可多售出50个．列出代数式即可；
（2）根据销售总利润＝三天的销售利润之和列出函数解析式即可；
（3）根据第三天销售数量不超过前两天销售数量之和的以及0＜x＜4求出x的取值范围，并根据（2）中解析式，由函数的性质求最值．
【解答】解：（1）∵产品每降低1元，可多售出50个，
∴第2天的销售量为200+50x，
故答案为：50x+200；
（2）根据题意得：y＝200×（10﹣6）+（10﹣6﹣x）（50x+200）+（4﹣6）[600﹣200﹣（50x+200）]
＝800+（4﹣x）（50x+200）﹣2（200﹣50x）
＝﹣50x2+100x+1200，
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣50x2+100x+1200；
（3）根据题意得：200﹣50x≤（200+50x+200），
解得x≥2，
又∵0＜x＜4，
∴2≤x＜4，
由（2）知，y＝﹣50x2+100x+1200＝﹣50（x﹣1）2+1250，
∵﹣50＜0，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴当x＝2时，y最大，最大值为1200，
答：这批旅游纪念品三天的销售总利润的最大值是1200元．
22．（10分）如图，D为△ABC的边AB上一动点，且与A，B不重合，过点D作AC的平行线DE交BC于E，作BC的平行线DF交AC于点F．
（1）求证：△ADF∽△DBE；
（2）若AB＝2，△ABC的面积为1．
①若BD：AB＝1：4时，求四边形DECF的面积；
②若BD＝x，试探究当点D在运动过程中，四边形DECF的面积y是否存在最大值？若存在，求出该值：若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由DE∥AC，得∠A＝∠BDE，由DF∥BC，得∠ADF＝∠B，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ADF∽△DBE；
（2）①由BD：AB＝1：4，得＝，由△ADF∽△ABC，＝＝，则S△ADF＝；由△DBE∽△ABC，得＝＝，则S△DBE＝，所以S四边形DECF＝1﹣﹣＝；
②由AB＝2，BD＝x，得AD＝2﹣x，则＝＝（2﹣x）2，＝＝x2，所以S△ADF＝（2﹣x）2，S△DBE＝x2，则y＝1﹣（2﹣x）2﹣x2＝﹣（x﹣1）2+，所以当x＝1时，y最大＝，即四边形DECF的面积y存在最大值，最大值是．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠A＝∠BDE，
∵DF∥BC，
∴∠ADF＝∠B，
∴△ADF∽△DBE．
（2）解：①∵BD：AB＝1：4，
∴＝，
∵DF∥BC，S△ABC＝1，
∴△ADF∽△ABC，
∴＝＝＝，
∴S△ADF＝×1＝，
∵DE∥AC，
∴△DBE∽△ABC，
∴＝＝＝，
∴S△DBE＝×1＝，
∴S四边形DECF＝1﹣﹣＝，
∴四边形DECF的面积是．
②四边形DECF的面积y存在最大值，
∵AB＝2，BD＝x，
∴AD＝2﹣x，
∴＝＝（2﹣x）2，＝＝x2，
∴S△ADF＝（2﹣x）2×1＝（2﹣x）2，S△DBE＝x2×1＝x2，
∵S四边形DECF＝S△ABC﹣S△ADF﹣S△DBE，
∴y＝1﹣（2﹣x）2﹣x2＝﹣x2+x＝﹣（x﹣1）2+，
∴当x＝1时，y最大＝，
∴四边形DECF的面积y的最大值是．
23．（10分）某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
获得图象：
计算x与y的几组对应值，列表如下：
x
•••
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
•••
y
•••
﹣5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
1
0
﹣3
•••
（1）如图，在直角坐标系中画出了函数y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）将这个图象补画完整．
探究性质：
（2）根据函数图象，写出该函数的一个正确结论：解决问题：
（3）若过定点的直线y＝tx﹣2t+2与函数y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）（2＜x≤4）的图象只有一个交点，请结合函数图象求出t的取值范围．
【分析】（1）描点、连线画出函数的图象即可；
（2）观察函数图象，该函数有最大值1；
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）描点、连线画出函数的图象如图，
（2）观察函数图象，该函数有最大值1；
（3）把（4，﹣3）代入y＝tx﹣2t+2得﹣3＝4t﹣2t+2，解得t＝﹣，
∵y＝tx﹣2t+2＝t（x﹣2）+2，
∴直线y＝tx﹣2t+2一定过点（2，2），
由图象可知，过定点的直线y＝tx﹣2t+2与函数y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）（2＜x≤4）的图象只有一个交点，则﹣≤t＜0．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点B坐标为（2，0），点D是射线OB上不与点O重合的一个动点，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到ED，连结AD、AE．
（1）求证：DA＝DE；
（2）如图2，连结AC，BE，当△CDA与△DBE相似时，求BD的长；
（3）当点A关于直线ED的对称点A'落在正方形的边上时，求点D的坐标．
【分析】（1）利用正方形是轴对称图形，旋转变换的性质证明即可；
（2）如图2中，设AC叫OBT点J，过点D作DK⊥BC于点K．证明DC平分∠JCB，推出DJ＝DK，再根据BJ＝，可得DJ+DJ＝，求出DJ即可；
（3）分四种情形：如图3﹣1中，当点A′落在BC上时，当点D在AC上时，A′与点C重合，如图3﹣2中，当点A′落在AC上时，当点点D与B重合时，A与A′重合，分别求解即可．
【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形OABC是正方形，
∴A，C关于OB对称，
∴DA＝DC，
∵线段CD绕点D顺时针旋转90°得到ED，
∴DC＝DE，
∴DA＝DE；
（2）解：如图2中，设AC叫OBT点J，过点D作DK⊥BC于点K．
∵DA＝DC＝DE，
∴∠DAC＝∠DCA，∠DAE＝∠DEA，
∵△ADC与△EBD相似，
∴∠ACD＝∠DEB，
∴∠CAD＝∠DAE，
∵∠CAB＝∠ACB＝45°，
∴∠CAD＝∠DAB＝∠ACD＝∠BCD＝22.5°，
∵DJ⊥CJ，DK⊥CB，
∴DJ＝DK，
∵B（2，0），
∴OJ＝JB＝，
∴DJ+DJ＝，
∴DJ＝2﹣，
∴OD＝2，
∴BD＝2﹣2；
（3）如图3﹣1中，当点A′落在BC上时，
由对称性可知，∠CDE＝∠ADA′＝90°，∠EDA＝∠EDA′＝45°，
∴∠ADC＝135°，
∴∠BDC＝∠BDA＝67.5°，
∵∠DBC＝45°，
∴∠BCD＝∠BDC＝67.5°，
∴BD＝BC＝2，
∴OD＝2﹣2，
∴D（2﹣2，0）；
当点D在AC上时，A′与点C重合，满足条件，此时D（，0）；
如图3﹣2中，当点A′落在AC上时，同法可证OD＝OC＝2，可得D（2，0）．
当点D与B重合时，A与A′重合，满足条件，此时D（2，0）．
综上所述，满足条件的点D的坐标为（2﹣2，0）或（，0）或（2，0）或（2，0）．
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