专题06 一元一次方程的概念与解法（知识梳理+专题过关）-2022-2023学年七年级数学上学期期中期末考点大串讲（苏科版）

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专题06 一元一次方程的概念与解法
【知识梳理】

【专题过关】
一、单选题
1．（2020·江苏无锡·七年级期中）下列是一元一次方程的为（   ）
A． B．x＋2y＝5 C．ax＋b＝c（a、b、c为常数） D．y＝1
【答案】D
【分析】根据一元一次方程的定义逐项分析判断即可，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）．
【详解】A. ，是一元二次方程，不符合题意；
B. x＋2y＝5，是二元一次方程，不符合题意；
C. ax＋b＝c（a、b、c为常数），当时，不是一元一次方程，不符合题意；    
D. y＝1，是一元一次方程，符合题意；
故选D
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，理解定义是解题的关键．
2．（2021·江苏宿迁·七年级期中）下列等式变形正确的是（    ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】根据等式的基本性质，分别求每个选项即可求解．
【详解】解：A.，解得x=，不符合题意；
B.，移项得，，不符合题意；
C.，去分母得，，符合题意；
D.，去括号得，，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．
3．（2021·江苏·泰兴市实验初级中学七年级期中）下列说法中，正确的个数有（　　）个．
①若一个数小于它的绝对值，则这个数是负数；②a为任意有理数，a2总是正数；③一个代数式不是单项式就是多项式；④若ac2＝bc2，则a＝b；⑤如果a＜0，b＜0且|a|＞|b|，则a＞b．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据绝对值的性质判断①；根据偶次方的非负性判断②；根据代数式的定义判断③；根据等式的基本性质判断④；根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小判断⑤．
【详解】解：正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，只有负数的绝对值是正数，若一个数小于它的绝对值，则这个数是负数，故①符合题意；
a为任意有理数，a2≥0，故②不符合题意；
一个代数式不一定是整式，如，故③不符合题意；
若c＝0，则a不一定等于b，故④不符合题意；
两个负数比较大小，绝对值大的反而小，故⑤不符合题意；
正确的个数有1个，
故选：A．
【点睛】本题考查了代数式，绝对值，等式的基本性质，有理数的比较大小，偶次方的非负性，等式的基本性质，注意两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
4．（2021·江苏·景山中学七年级期中）若x＝1是方程3x＋m＋1＝0的解，则m的值是（    ）
A．4 B．－4 C．－2 D．2
【答案】B
【分析】把x＝1代入方程3x＋m＋1＝0，即可得出答案．
【详解】解：把x＝1代入方程3x＋m＋1＝0得：3+m+1＝0，
解得m=-4，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义的应用，能理解一元一次方程的解的定义是解此题的关键．
5．（2021·江苏·泰州市凤凰初级中学七年级期中）若x＝﹣1是关于x的方程2x+m＝1的解，则m+1的值是（　　）
A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣1
【答案】A
【分析】把x＝﹣1代入方程2x+m＝1得出﹣2+m＝1，求出方程的解，再求出m+1即可．
【详解】解：把x＝﹣1代入方程2x+m＝1得：﹣2+m＝1，
解得：m＝3，
所以m+1＝3+1＝4，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于m的一元一次方程是解此题的关键．
6．（2021·江苏·盐城市大丰区实验初级中学七年级期中）若关于x的方程2x-k+2=0的解是x=1，那么k的值是（    ）
A．2 B．3 C．- 2 D．4
【答案】D
【分析】把代入可得关于的方程，再解方程即可．
【详解】解：把代入得：
，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解题的关键是掌握使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
7．（2021·江苏无锡·七年级期中）根据如图所示的计算程序，若输出的值，则输入的值为（   ）

A．或1 B．或 C．1或 D．或1或
【答案】A
【分析】分两种情况讨论：当时，列方程，当时，列方程，再解方程并进行检验即可得到答案.
【详解】解：当时，，
解得，（舍去）
当时，，
解得，
所以输入的值为1或．
故选：A．
【点睛】本题考查的是绝对值方程的应用，一元一次方程的应用，程序框图的理解，理解好程序框图的含义是解题的关键.
8．（2021·江苏南京·七年级期中）把方程﹣1＝的分母化为整数可得方程（　　）
A．﹣10＝ B．﹣1＝
C．﹣10＝ D．﹣1＝
【答案】B
【分析】方程各项利用分数的基本性质化简得到结果，即可作出判断．
【详解】方程整理得：．
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次方程，熟练掌握分数的基本性质是解题的关键．
9．（2020·江苏苏州·七年级期中）一元一次方程的解为（    ）
A．30 B．24 C．21 D．12
【答案】C
【分析】方程整理为,即，然后根据等式性质求得方程的解即可．
【详解】解：
变形为，
即，
所以4x=4×21，
所以x=21，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
10．（2020·江苏·泰兴市济川初级中学七年级期中）已知关于的方程的解与的解相同，则的值为（　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由可得，然后代入求解a即可．
【详解】解：由，解得：，
把代入得：，解得：；
故选A．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
二、填空题
11．（2022·江苏镇江·七年级期中）已知，则________．
【答案】2022
【分析】把已知等式进行变形，整体代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
代入得，

故答案为：2022．
【点睛】本题考查了代数式求值，解题关键是把已知等式恰当变形，整体代入求值．
12．（2021·江苏宿迁·七年级期中）下列方程中，是一元一次方程的有_______个．
【答案】2
【分析】根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程”，由此问题可求解．
【详解】解：由题意得：，是一元一次方程，其他的都不是，
∴是一元一次方程的有2个；
故答案为2．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
13．（2020·江苏苏州·七年级期中）若方程是关于x的一元一次方程，则m的值为______．
【答案】2
【分析】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．据此可得出关于m的方程，继而可求出m的值．
【详解】解：根据一元一次方程的特点可得m+2≠0，|m|-1=1，
解得：m=2．
故答案为：2．
【点睛】此题考查的是一元一次方程的定义，解题的关键是根据一元一次方程的未知数x的次数是1这个条件，此类题目应严格按照定义解答．
14．（2021·江苏镇江·七年级期中）图中两个三角形的面积分别是8和6，m，n，p分别表示他们不重叠和重叠部分的面积，当这两个三角形的位置发生变化时（即重叠部分的P的面积大小发生变化），请写出一个只含有字母m，n表示的一个关系式____．

【答案】
【分析】根据题意分别用表示出两个三角形的面积，两式相减即可求得答案
【详解】根据题意两个三角形的面积分别为，


即
故答案为：
【点睛】本题考查了列代数式，等式的性质，分别用表示出两个三角形的面积是解题的关键．
15．（2021·江苏扬州·七年级期中）已知x=2是方程3x-m=x+2n的一个解，则整式m+2n+2020的值为_______．
【答案】2024
【分析】将x=2代入方程3x-m=x+2n，可得 ，再代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵x=2是方程3x-m=x+2n的一个解，
∴ ，即 ，
∴．
故答案为：2024
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，熟练掌握使方程左右两边同时都成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
16．（2022·江苏·太仓市第一中学七年级期中）如果关于的方程和的解相同，那么m=__________．
【答案】1
【分析】首先求得方程x=2x−3的解x，然后将x代入到方程4x−2m=3x+1中，即可求得m．
【详解】解：x=2x−3，
移项，得x−2x=−3，
合并同类项，得−x=−3，
系数化为1，得x=3，
∵两方程同解，那么将x=3代入方程4x−2m=3x+1，
得12−2m=10，
移项，得−2m=−2，
系数化为1，得m=1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查含有参数的一元一次方程同解问题，难度不大，真正理解方程的解的含义是顺利解题的关键．
17．（2022·江苏泰州·七年级期中）整式mx+n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值：则关于x的方程﹣mx+n=8的解为___________．
x
-2
-1
0
1
2
mx+n
7
5
3
1
-1
【答案】
【分析】观察表格数据，利用x=0时，整式值为3，可以求出n的值，然后再利用x=1时，整式值为1，代入n的值求得m的值，最后把m、n值代入方程再解一元一次方程即可求解．
【详解】解：由题意可知：
当x=0时，mx+n=3，
∴m×0+n=3，解得：n=3，
当x=1时，mx+n=1，
∴m×1+3=1，解得：m=-2，
∴关于x的方程-mx+n=8为
2x+3=8，解得：x=，
故答案为：x=．
【点睛】本题考查解一元一次方程，通过观察，找到合适的对应值代入求解并掌握解一元一次方程的步骤是关键．
18．（2021·江苏徐州·七年级期中）一元一次方程的解为____．
【答案】
【分析】移项，合并同类项，系数化为1即可得出答案．
【详解】解：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的一般步骤是解本题的关键．
19．（2021·江苏扬州·七年级期中）已知关于x的一元一次方程的解为x＝8，则关于y的一元一次方程：的解为y＝___．
【答案】9
【分析】比较两个方程可知y﹣1＝x，再根据x＝8，推的y﹣1＝8，解出y．
【详解】解：∵，，
∴y﹣1＝x，
∵x＝8，
∴y﹣1＝8，
解得y＝9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解题关键是发现两个方程系数相同，利用方程同解求未知数的值．
20．（2021·江苏扬州·七年级期中）如果方程﹣＝6的解与关于x的方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解相同，则a的值为_____．
【答案】﹣4
【分析】先求出第一个方程的解，然后代入第二个方程得到关于a的一元一次方程，再根据一元一次方程的解法进行求解即可．
【详解】解：解方程



．
因为两个方程的解相同，所以满足方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1，
将代入方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1，
得，


．
故答案为：．
【点睛】本题考查了方程的解和一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程是解答本题的关键．
三、解答题
21．（2021·江苏宿迁·七年级期中）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)；(2)
【分析】(1)移项，合并同类项，系数化为1即可求解；
(2)先两边同时乘以6去分母，然后再去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解．
【详解】（1）解：移项得到：，
合并同类项得到：，
系数化为1得到：，
∴方程的解为：．
（2）解：方程两边同时乘以6得到：，
去括号得到：，
移项得到：，
合并同类项得到：，
系数化为1得到：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，其求解步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，熟练掌握求解步骤是解题的关键．
22．（2020·江苏盐城·七年级期中）解方程：
(1)2x﹣6＝﹣3x；
(2)．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）解： 2x﹣6＝﹣3x，
移项，得2x+3x＝6，
合并同类项，得5x＝6，
系数化为1，得x＝1.2；
（2）4x﹣3＝x+1，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得x＝﹣8．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
23．（2021·江苏扬州·七年级期中）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）先去括号，然后移项合并同类项即可得；
（2）先去分母，然后去括号，移项，合并同类项，最后系数化为1即可得．
【详解】(1)解：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：；
(2)解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题关键．
24．（2021·江苏·无锡市江南中学七年级期中）规定符号（a，b）表示a，b两个数中较小的一个，规定符号[a，b]表示两个数中较大的一个．例如（2，1）＝1，[2，1]＝2．
（1）计算：（﹣2，3）+[﹣，﹣]．
（2）若（p，p+2）﹣[﹣2q﹣1，﹣2q+1]＝1，试求代数式（p+2q）3﹣3p﹣6q的值．
（3）若（m，m﹣2）+3[﹣m，﹣m﹣1]＝﹣5，求m的值．
【答案】（1）；（2）（p+2q）3﹣3p﹣6q＝2；（3）m＝．
【分析】（1）先判断，再根据定义直接进行计算即可；
（2）先根据定义先判断，再根据定义直接进行计算即可；
（3）根据定义出方程，再解一元一次方程即可
【详解】（1）由题意可知：
则（﹣2，3）+[﹣，﹣]．
＝﹣2+（﹣）
＝﹣；
（2）∵（p，p+2）﹣[﹣2q﹣1，﹣2q+1]＝1，
又
∴p﹣（﹣2q+1）＝1，
p+2q﹣1＝1，
即p+2q＝2，
∴（p+2q）3﹣3p﹣6q＝（p+2q）3﹣3（p+2q）＝23﹣3×2＝2；
（3）根据题意得：
m﹣2+3×（﹣m）＝﹣5，
解得m＝．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，新定义运算，代数式求值，一元一次方程，理解新定义运算是解题的关键．
25．（2021·江苏南通·七年级期中）有些含绝对值的方程，可以通过分类讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．
例如：解方程
解：当时，方程可化为：

，符合题意
当<0时，方程可化为：

=-3，符合题意
所以原方程的解为：或 =-3
仿照上面解法，解方程：
【答案】或=-2
【分析】按照所给解法，结合绝对值的意义解方程即可．
【详解】解：当时，方程可化为：

符合题意
当<1时，方程可化为：
-2=4
=-2符合题意
所以原方程的解为：或=-2．
【点睛】本题考查了绝对值方程，解决可化为一元一次方程的绝对值方程，其最基本的套路是：将方程中的绝对值符号去掉，转化为括号即可，不过，括号里面的代数式，视原绝对值里面代数式的符号而定：如果原代数式为正，去掉绝对值后，其结果为本身；如果原代数式为负，去掉绝对值后，其结果为相反数．
26．（2021·江苏·泰兴市实验初级中学七年级期中）定义：若a+b＝2，则称a与b是关于2的平衡数．
（1）3与 　 　是关于2的平衡数，7﹣x与 　 　是关于2的平衡数．（填一个含x的代数式）
（2）若a＝x2﹣4x﹣1，b＝x2﹣2（x2﹣2x﹣1）+1，判断a与b是否是关于2的平衡数，并说明理由．
（3）若c＝kx+1，d＝x﹣3，且c与d是关于2的平衡数，若x为正整数，求非负整数k的值．
【答案】（1）-1， x﹣5；（2）a与b是关于2的平衡数，理由见解析；（3）0或1或3．
【分析】（1）根据平衡数的定义，可以计算出3的平衡数和7﹣x的平衡数；
（2）将a和b相加，化简，看最后的结果是否为2即可；
（3）根据c＝kx+1，d＝x﹣3，且c与d是关于2的平衡数，可以得到k和x的关系，然后利用分类讨论的方法，可以得到当x为正整数时，非负整数k的值．
【详解】解：（1）∵2﹣3＝﹣1，
∴3与﹣1是关于2的平衡数，
∵2﹣（7﹣x）＝2﹣7+x＝x﹣5，
∴7﹣x与x﹣5是关于2的平衡数，
故答案为：﹣1，x﹣5；
（2）a与b是关于2的平衡数，
理由：∵a＝x2﹣4x﹣1，b＝x2﹣2（x2﹣2x﹣1）+1，
∴a+b
＝（x2﹣4x﹣1）+[x2﹣2（x2﹣2x﹣1）+1]
＝x2﹣4x﹣1+x2﹣2（x2﹣2x﹣1）+1
＝x2﹣4x﹣1+x2﹣2x2+4x+2+1
＝2，
∴a与b是关于2的平衡数；
（3）∵c＝kx+1，d＝x﹣3，且c与d是关于2的平衡数，
∴c+d＝2，
∴kx+1+x﹣3＝2，
∴（k+1）x＝4，
∵x为正整数，
∴当x＝1时，k+1＝4，得k＝3，
当x＝2时，k+1＝2，得k＝1，
当x＝4时，k+1＝1，得k＝0，
∴非负整数k的值为0或1或3．
【点睛】本题主要考查了整式的加减计算和解一元一次方程，解题的关键在于能够准确读懂平衡数的含义．
27．（2021·江苏·泰兴市实验初级中学七年级期中）已知方程是关于x的一元一次方程．
（1）求a的值．
（2）已知方程和上述方程同解，求m的值．
【答案】（1）-2；（2）8．
【分析】（1）根据一元一次方程的定义解答；
（2）先解出这个方程的解，把方程的解代入即可得到m的值．
【详解】解：（1）根据题意得：|a|﹣1＝1，
解得：a＝±2，
∵a﹣2≠0，
∴a≠2，
∴a＝﹣2；
（2）∵，
∴，
∴5x﹣10﹣（2x+2）＝3，
∴5x﹣10﹣2x﹣2＝3，
∴5x﹣2x＝3+10+2，
∴3x＝15，
∴x＝5，
∵方程和方程同解，
∴﹣4×5+2m+4＝0，
∴m＝8．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的定义，解一元一次方程，同解方程，掌握以上基础知识是解题的关键.
28．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校七年级期中）如图，数轴上点A表示的数为-3，点B表示的数为4，阅读并解决相应问题．

（1）问题发现：若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n节点”．如图1，若点P表示的数为1，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为4+3=7，则称点P为点A、B的“7节点”．
填空：①若点P表示的数为，则n的值为 ；
②数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为A、B的“7节点”，则这样的整点P共有 个．
（2）类比探究：如图2，若点P为数轴上一点，且点P到点A的距离为1，请你求出点P表示的数及n的值．
（3）拓展延伸：若点P在数轴上运动不与点A、B重合，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的，且此时点P为点A、B的“n的节点”，请写出点P表示的数及n的值．
【答案】（1）①7；②8；（2）点P表示的数为：，n=9，或点P表示的数为：，n=7；（3）P表示的数为，，或P表示的数为，
【分析】（1）①结合题意，根据数轴的性质分析，即可得到答案；
②根据数轴的性质，设出点P表示的数为，分，且、，且、，且三种情况分析，根据绝对值的性质计算，即可得到答案；
（2）结合题意，根据数轴的性质，得点P表示的数为：或，通过计算即可得到答案；
（3）设出点P表示的数为，分，且、，且、，且三种情况分析，根据绝对值和一元一次方程的性质求解，即可得到答案．
【详解】（1）①∵点P表示的数为，
∴点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为1+6=7
∴点P为点A、B的“7节点”
∴n=7
故答案为：7；
②设出点P表示的数为
∴点P到点A的距离为：，点P到点B的距离为：
当，且，即时，
∵
∴，不符合题意；
当，且，即时，
，符合题意
当，且，即时，
∵
∴，不符合题意；
∴
∵P为整点
∴P表示的数为：-3或-2或-1或0或1或2或3或4
∴整点P共有8个
故答案为：8；
（2）∵点P到点A的距离为1，点A表示的数为-3，
∴点P表示的数为：或
当点P表示的数为：时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为1+8=9，即n=9；
当点P表示的数为：时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为1+6=7，即n=7；
（3）设出点P表示的数为
根据题意，得
当，且，即时，
根据题意，得：
∴
当，且，即时，
根据题意，得：
∴
当，且，即时，
根据题意，得：
∴（不符合题意，故舍去）
∴或，即P表示的数为或
当P表示的数为时，
当P表示的数为时，．
【点睛】本题考查了有理数、绝对值的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、数轴、一元一次方程的性质，从而完成求解．
29．（2019·江苏镇江·七年级期中）点A、B在数轴上分别表示数，A、B两点之间的距离记为．我们可以得到：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ；数轴上表示-2和-5两点之间的距离是 ；数轴上表示1和的两点之间的距离是 ．
（2）若点A、B在数轴上分别表示数-1和5，有一只电子蚂蚁在数轴上从左向右运动，设电子蚂蚁在数轴上的点C对应的数为．
①求电子蚂蚁在点A的左侧运动时的值，请用含的代数式表示；
②求电子蚂蚁在运动的过程中恰好使得，表示的数是多少？
③在电子蚂蚁在运动的过程中，探索的最小值是 ．
【答案】（1）3，3，；（2）①；②或；③6
【分析】（1）根据两点间的距离公式解答即可；
（2）①根据两点间的距离公式可得与的值，然后根据绝对值的性质化简绝对值，进一步即可求出结果；
②分电子蚂蚁在点A左侧、在点A、B之间和在点B右侧三种情况，先根据两点间的距离和绝对值的性质化简绝对值，再解方程即可求出答案；
③代数式表示数轴上有理数c所对应的点到﹣1和5所对应的两点距离之和，于是可确定当时，代数式取得最小值，据此解答即可．
【详解】解：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是；
数轴上表示﹣2和﹣5两点之间的距离是；
数轴上表示1和的两点之间的距离是；
故答案为：3，3，；
（2）①∵电子蚂蚁在点A的左侧，
∴，，
∴；
②若电子蚂蚁在点A左侧，即，则，，
∵，
∴，解得：；
若电子蚂蚁在点A、B之间，即，则，，
∵，
∴，故此种情况不存在；
若电子蚂蚁在点B右侧，即，则，，
∵，
∴，解得：；
综上，表示的数是或；
③∵代数式表示数轴上有理数c所对应的点到﹣1和5所对应的两点距离之和，
∴当时，代数式的最小值是，
即代数式的最小值是6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的化简和应用以及简单的一元一次方程的解法等知识，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键．
30．（2021·江西赣州·七年级期中）阅读下面材料，回答问题：
已知点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．
（1）当、两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图1，．
（2）当、两点都不在原点时，

①如图2，点、都在原点的右边，；
②如图3，点、都在原点的左边，；
③如图4，点、在原点的两边，．
综上，数轴上、两点的距离，如数轴上表示4和的两点之间的距离是5．
利用上述结论，回答以下问题：
（1）若表示数和的两点之间的距离是5，那么______；
（2）若数轴上表示数的点位于与8之间，则的值为______；
（3）若表示一个有理数，且，求有理数的取值范围；
（4）若未知数，满足，求代数式的最小值和最大值．
【答案】（1）2或﹣8；（2）9；（3）x＞2或x＜﹣4；（4）最大值为6，最小值为﹣5
【分析】（1）根据数轴上两点的距离公式列出绝对值方程求解即可；
（2）根据题意得出a+1＞0，a﹣8＜0，再化简绝对值即可；
（3）根据题意，分x≥2、﹣4≤x＜2、x＜﹣4三种情况进行讨论求解即可；
（4）分别求出和的最小值，进而求出x、y的取值范围即可求解．
【详解】解：（1）由题意，∣a﹣（﹣3）∣=5，
∴a+3=5或a+3=﹣5，
解得：a=2，a=﹣8，
故答案为：2或﹣8；
（2）∵数轴上表示数的点位于与8之间，
∴a+1＞0，a﹣8＜0，
∴=（a+1）﹣（a﹣8）=9，
故答案为：9；
（3）由题意，分三种情况：
当x≥2时，则数轴上，表示x的点到﹣4与2的距离之和大于﹣4与2的距离∣﹣4﹣2∣=6，
当﹣4≤x＜2时，则数轴上，表示x的点到﹣4与2的距离之和等于﹣4与2的距离6，舍去；
当x＜﹣4时，则数轴上，表示x的点到﹣4与2的距离之和大于﹣4与2的距离6，
综上，有理数的取值范围为x＞2或x＜﹣4；
（4）根据题意，
对于代数式，数轴上，当x在﹣3和4之间时，表示x的点到﹣3与4的距离和最小，最小值为∣﹣3﹣4∣=7，
同理，对于，数轴上，当y在﹣2和2之间时，x到﹣2和2的距离和最小，最小值为∣﹣2﹣2∣=4，
又，
∴﹣3≤x≤4，﹣2≤y≤2，
∴x+y的最大值为4+2=6，最小值为﹣3+（﹣2）=﹣5．
【点睛】本题考查数轴的应用、绝对值的性质、绝对值方程，理解题意，掌握数轴上点与点之间的距离公式和代数式的最值问题，以及绝对值的性质是解答的关键．
31．（2021·山东·济南外国语学校七年级期中）唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”．距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．已知点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为．例如，在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为；有理数5与对应的两点之间的距离为；有理数与对应的两点之间的距离为；…
解决问题：
（1）数轴上有理数与3对应的两点之间的距离等于_________；数轴上有理数与对应的两点之间的距离用含的式子表示为________；若数轴上有理数与1对应的两点、之间的距离，求的值；
联系拓广：
（2）如图，点表示的数为4，点表示的数为，为数轴上的动点，动点表示的数为．

①若点在点、两点之间，则______；若，则点表示的数为______；由此可得：当取最小值时，求整数的所有取值的和；
②当点到点的距离等于点到点的距离的2倍时，求的值．
【答案】（1），，或；（2），或，；（3）或
【分析】（1）理解题意，根据距离的概念求解即可；
（2）①根据点的位置分情况讨论，利用距离求解即可，对进行讨论，求出的取值，然后求解即可；②设点表示的数为，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：（1）数轴上有理数与3对应的两点之间的距离为，
数轴上有理数与对应的两点之间的距离用含的式子表示为
若数轴上有理数与1对应的两点、之间的距离，则
即或
解得或
故答案为，，或
（2）设点表示数为，则，
①若点在点、两点之间，则，，

若，即
当时，，解得
当时，，解得
即点表示数为或
当取最小值时，可得在和之间（包含端点），所以
又∵为整数
∴的取值为
整数的所有取值的和为
故答案为，或，
②由题意可得：，即
可得：或
解得或
故答案为或
【点睛】此题考查了数轴的应用，涉及了数轴上的动点，数轴上两点之间的距离以及绝对值方程，解题的关键是掌握数轴的基本知识，理解数轴上两点之间的距离．
32．（2021·北京师大附中七年级期中）小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“友好方程”
（1）已知关于的方程：①，②，哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？请直接写出正确的序号是_________．
（2）若关于的方程是关于的一元一次方程的“友好方程”，请求出的值．
（3）如关于的方程是关于的一元一次方程的“友好方程”，请直接写出的值．
【答案】（1）②；（2）95或97；（3）16
【分析】（1）先求出一元一次方程的解，再解方程和，根据“友好方程”的定义去判断；
（2）解出方程的解，一元一次方程的解是，分类讨论，令，求出a的值；
（3）一元一次方程解得，由得，把它代入关于y的方程即可求出结果．
【详解】解：（1）一元一次方程的解是，
方程的解是，，故不是“友好方程”，
方程的解是或，当时，，故是“友好方程”，
故答案是：②；
（2）方程的解是或，
一元一次方程的解是，
若，，则，解得，
若，，则，解得，
综上，a的值是95或97；
（3），解得，
∵，
∴，
∵，
∴

，
∵分母m不能为0，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查解一元一次方程，解题的关键是理解题目中定义的“友好方程”，通过解一元一次方程的方法求解．