数学必修 第一册8.1 二分法与求方程近似解课前预习课件ppt

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8.1　二分法与求方程近似解8.1.1　函数的零点学 习 任 务核 心 素 养1．理解函数的零点的概念以及函数的零点与方程根的关系．(重点)2．会求函数的零点．(重点、难点)3．掌握函数零点的存在定理并会判断函数零点的个数．(难点)1．通过零点的求法，培养数学运算和逻辑推理的素养．2．借助函数的零点与方程根的关系，培养直观想象的数学素养.解方程的历史方程解法时间图·东方方程解法时间图·西方知识点1　函数的零点的定义一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．1.函数的零点是点吗？[提示]　不是，函数的零点是实数．知识点2　方程、函数、图象之间的关系(1)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解．(2)函数y＝f(x)的零点就是它的图象与x轴交点的横坐标．2.函数的零点是函数与x轴的交点吗？[提示]　不是，函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标．1.函数f(x)＝2x－4的零点是________．2　[由2x－4＝0得x＝2，所以2是函数f(x)的零点．]知识点3　零点存在定理若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何函数都有零点．(　　)(2)任意两个零点之间函数值保持同号．(　　)(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.(　　)[提示]　(1)可举反例f(x)＝x2＋1无零点．(2)两个零点间的函数值可能会保持同号，也可以异号，如f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)有三个零点，即x＝1,2,3，在(1,2)上f(x)为正，在(2,3)上f(x)为负，故在零点1和3之间函数值有正有负或零．(3)举例f(x)＝x2－1，选择区间(－2,2)，显然f(x)在(－2,2)上有零点1和－1，但是f(2)·f(－2)>0.[答案]　(1)×　(2)×　(3)× 类型1　求函数的零点【例1】　求下列函数的零点．(1)f(x)＝x3－x；(2)f(x)＝2x－8；(3)f(x)＝1－log4x；(4)f(x)＝(ax－1)(x－2)(a∈R)．[解]　(1)∵f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝x(x－1)(x＋1)，令f(x)＝0，得x＝0,1，－1，故f(x)的零点为x＝－1，0,1.(2)令f(x)＝2x－8＝0，∴x＝3，故f(x)的零点为x＝3.(3)令f(x)＝1－log4 x＝0，∴log4 x＝1，∴x＝4.故f(x)的零点为x＝4.(4)当a＝0时，函数为f(x)＝－x＋2，令f(x)＝0，得x＝2.∴f(x)的零点为2.当a＝时，f(x)＝(x－2)＝(x－2)2，令f(x)＝0，得x1＝x2＝2.∴f(x)有零点2.当a≠0且a≠时，令f(x)＝0，得x1＝，x2＝2.∴f(x)的零点为，2.综上，当a＝0时，f(x)的零点为2；当a＝时，函数的零点为2；当a≠0且a≠时，f(x)的零点为，2.怎样求函数的零点？[提示]　求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)＝0，若方程f(x)＝0有实数根，则函数f(x)存在零点，该方程的根就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点．[跟进训练]1．(1)求函数f(x)＝的零点；(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．[解]　(1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.所以函数f(x)＝的零点为－3和e2.(2)由已知得f(3)＝0，即3a－b＝0，即b＝3a.故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，解得x＝0或x＝－.所以函数g(x)的零点为0和－. 类型2　函数零点的证明【例2】　证明函数f(x)＝ln(x＋1)－在(1,2)上存在零点．[证明]　因为f(1)＝ln 2－2<0，f(2)＝ln 3－1>0，且函数f(x)在区间(1,2)上的图象是不间断的，所以函数f(x)＝ln(x＋1)－在(1,2)上存在零点．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．[跟进训练]2．证明f(x)＝x3＋3x－1在区间(0,1)上有零点．[证明]　因为f(0)＝03＋3×0－1＝－1<0，f(1)＝13＋3－1＝3>0，且函数f(x)在区间(0,1)上的图象是不间断的，所以函数f(x)＝x3＋3x－1在(0,1)上有零点． 类型3　判断零点所在的区间【例3】　(1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：x－3－2－101234y6m－4－6－6－4n6不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间是(　　)A．(－3，－1)和(2,4)　　　 B．(－3，－1)和(－1,1)C．(－1,1)和(1,2)   D．(－∞，－3)和(4，＋∞)(2)f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是(　　)A．(－2，－1)   B．(－1,0)C．(0,1)   D．(1,2)(1)A　(2)C　[(1)易知f(x)＝ax2＋bx＋c的图象是一条连续不断的曲线，又f(－3)f(－1)＝6×(－4)＝－24<0，所以f(x)在(－3，－1)内有零点，即方程ax2＋bx＋c＝0在(－3，－1)内有根，同理方程ax2＋bx＋c＝0在(2,4)内有根．故选A.(2)法一：∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，∴f(x)在(0,1)内有零点．法二：ex＋x－2＝0，即ex＝2－x，∴原函数的零点所在区间即为函数y＝ex和y＝2－x的图象交点的横坐标所在的区间．如图，由图象可得函数y＝ex和y＝2－x的图象交点所在的区间为(0,1)．]确定函数f(x)零点所在区间的常用方法解方程法当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上零点存在定理首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点数形结合法通过画函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断[跟进训练]3．根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋3)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是________．(填序号)   x－10123ex0.3712.727.4020.12x＋323456①(－1,0)；②(0,1)；③(1,2)；④(2,3)．③　[设f(x)＝ex－(x＋3)，由上表可知，f(－1)＝0.37－2<0，f(0)＝1－3<0，f(1)＝2.72－4<0，f(2)＝7.40－5>0，f(3)＝20.12－6>0，∴f(1)·f(2)<0，因此方程ex－(x＋3)＝0的根在(1,2)内．] 类型4　函数零点(方程不等实根)个数的判断【例4】　(1)函数f(x)＝ex－3的零点个数为________．(2)函数f(x)＝ln x－的零点个数是________．(3)已知关于x的一元二次方程(x－1)(3－x)＝a－x(a∈R)，试讨论方程实数根的个数．(1)1　(2)2　[(1)令f(x)＝0，∴ex－3＝0，∴x＝ln 3，故f(x)只有1个零点．(2)在同一坐标系中画出y＝ln x与y＝的图象，如图所示，函数y＝ln x与y＝的图象有两个交点，所以函数f(x)＝ln x－的零点个数为2.](3)[解]　法一：原方程化为－x2＋5x－3＝a.令f(x)＝－x2＋5x－3，g(x)＝a.作函数f(x)＝－x2＋5x－3的图象，抛物线的开口向下，顶点的纵坐标为＝，画出如图所示的简图：由图象可以看出：①当a＞时，方程没有实数根；②当a＝时，方程有两个相等的实数根；③当a＜时，方程有两个不相等的实数根．法二：原方程化为x2－5x＋3＋a＝0.Δ＝25－4(3＋a)＝－4a＋13.①当Δ＜0，即a＞时，方程没有实数根；②当Δ＝0，即a＝时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＞0，即a＜时，方程有两个不相等的实数根．把本例(1)函数改为“y＝2x|logax|－1(0<a<1)”再判断其零点个数．[解]　由2x|logax|－1＝0得|logax|＝x，作出y＝x及y＝|logax|(0<a<1)的图象如图所示，由图可知，两函数的图象有两个交点，所以函数y＝2x|logax|－1有两个零点．判断函数零点的个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数．[跟进训练]4．函数f(x)＝lg x－sin x的零点有i(i∈N*)个，记为xi，xi∈，k∈N*，则k构成的集合为____________．{1,4,5}　[由f(x)＝lg x－sin x得lg x＝sin x，在同一坐标系中作出y＝lg x和y＝sin x的图象，如下图，由图象知，函数f(x)＝lg x－sin x有三个零点x1∈，x2∈，x3∈，因为xi∈，k∈N*，所以k＝1,4,5，所以k构成的集合为{1,4,5}．]1．(多选题)下列图象表示的函数中有零点的是(　　)BCD　[B、C、D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点．]2．函数f(x)＝2x－3的零点所在的区间是(　　)A．(0,1)　　　　　　　 B．(1,2)C．(2,3)   D．(3,4)B　[∵f(1)＝2－3＝－1<0，f(2)＝22－3＝1>0，∴f(1)·f(2)<0，即函数f(x)的零点所在的区间为(1,2)．]3．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为(　　)A．1　　　　　 B．2　　　　　C．3 　　　　　 D．4C　[因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，所以0是函数f(x)的一个零点．当x＞0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0，则ex＝－x＋3.分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f(x)在(0，＋∞)上有一个零点．又根据对称性知，当x＜0时函数f(x)也有一个零点．综上所述，f(x)的零点个数为3.应选C.]4．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：x1234567f(x)136.13615.552－3.9210.88－52.488－232.06411.238由表可知函数f(x)存在零点的区间有________个．4　[∵f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，f(6)·f(7)＜0，∴共有4个区间．]5．函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，实数a的取值范围为________．　[由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是.所以实数a的取值范围是.]回顾本节知识，自我完成以下问题．1．你认为函数零点存在定理中要注意哪些问题？[提示]　(1)函数是连续的．(2)定理不可逆．(3)至少存在一个零点．2．f(a)·f(b)<0是连续函数在区间(a，b)上存在零点的什么条件？f(a)·f(b)>0时在区间上一定没有零点吗？[提示]　充分不必要条件．不一定，f(a)·f(b)>0时函数在区间(a，b)上可能有零点．