苏教版 (2019)必修 第二册9.2 向量运算课文ppt课件

课后素养落实(五)　向量的数量积

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．e1，e2是两个平行的单位向量，则e1·e2＝(　　)

A．0  B．1  C．－1  D．±1

D　[∵e1∥e2，∴e1，e2的夹角为0°或180°，

∴e1·e2＝|e1||e2|cos θ＝±1．]

2．设|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb与a－λb垂直，则λ＝(　　)

A．  B．  C．－  D．±

D　[(a＋λb)·(a－λb)＝a2－λ2b2＝9－25λ2＝0，∴λ＝±．]

3．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角θ为120°，则a·a＋a·b＝(　　)

A．－  B．0  C．  D．1

C　[∵|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，

∴a·b＝|a||b|cos 120°＝－．

又a·a＝|a|2＝1，

∴a·a＋a·b＝1－＝．]

4．在△ABC中，||＝13，||＝5，||＝12，则·的值是(　　)

A．－25  B．25  C．－60  D．60

A　[∵||＝13，||＝5，||＝12，

∴||2＝||2＋||2，

∴△ABC为直角三角形．

又cos∠ABC＝，

∴·＝||||cos(π－∠ABC)

＝13×5×＝－25．]

5．设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|＋|>||”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

C　[与的夹角为锐角，所以||2＋||2＋2·>||2＋||2－2·，

即|＋|2>|－|2，

因为－＝，

所以|＋|>||；

当|＋|>||成立时，|＋|2>|－|2⇒·>0，又因为点A，B，C不共线，所以与的夹角为锐角．故“与的夹角为锐角”是“|＋|>||”的充分必要条件，故选C．]

二、填空题

6．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，·(2a－3b)＝12，则|b|＝________；b在a方向上的投影向量等于________．

　 　[·(2a－3b)＝a2＋a·b－3b2＝12，即3|b|2－|b|－4＝0，

解得|b|＝(舍负)，b在a方向上的投影是(|b|cos 45°)＝××＝．]

7．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．

4　[由a＋b＋c＝0得c＝－a－b．

又(a－b)·c＝0，

∴(a－b)·(－a－b)＝0，

即a2＝b2．

则c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝2，

∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4．]

8．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________．

－1　[在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2，则·＝(－)·(＋)＝·＋·－2－·＝5×2×cos 30°＋5×2×cos 180°－12－2×2×cos 150°＝15－10－12＋6＝－1．]

三、解答题

9．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61．

(1)求|a＋b|；

(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影向量．

[解]　(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，

∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61．

∵|a|＝4，|b|＝3，

∴a·b＝－6，

∴|a＋b|＝

＝＝．

(2)∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，

∴向量a在向量a＋b方向上的投影向量为·＝＝(a＋b)．

10．已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，k为何值时，向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角？

[解]　∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，

∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)

＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2

＝2k＞0，

∴k＞0．

但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0°，不符合题意，舍去．

综上，k的取值范围为{k|k＞0且k≠1}．

11．(多选题)设a，b为两个非零向量，且a·b＝0，则下列四个等式，其中正确的有(　　)

A．|a|＝|b|   B．|a＋b|＝|a－b|

C．a·(a＋b)＝0   D．(a＋b)2＝a2＋b2

BD　[由题意，a·b＝0，即a⊥b，

故A选项不一定成立；

B选项，由于|a＋b|2－|a－b|2＝(a＋b)2－(a－b)2＝4a·b＝0，即|a＋b|＝|a－b|，故B选项正确；C选项，a·(a＋b)＝a·a＋a·b＝a·a＝|a|2≠0，故C不正确；D选项，(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2，故D正确．故选BD．]

12． (多选题)已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，＋＋＝0，且||＝||，下列结论正确的是(　　)

A．在方向上的投影向量为－

B．·＝·

C．在方向上的投影向量为

D．·＝·

BCD　[由＋＋＝0得＝－＝，所以四边形OBAC为平行四边形．又O为△ABC外接圆的圆心，所以||＝||，又||＝||，所以△OAB为正三角形．

因为△ABC的外接圆半径为2，所以四边形OBAC是边长为2的菱形，所以∠ACB＝，||＝2，所以在上的投影向量为＝×＝，故A错误，C正确．因为·＝·＝－2，·＝·＝2，故BD正确．故选BCD．]

13．非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a，b的夹角为________．

　[由|a|＝|b|＝|a＋b|，

所以|a|2＝|a＋b|2，

所以|a|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2，得a·b＝－|b|2，

所以a·b＝|a|·|b|cos θ＝－|b|2，

所以cos θ＝－，

又θ∈[0，π]，

所以θ＝．]

14．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．

　[设||＝x(x＞0)，则·＝x，

所以·＝(＋)·＝1－x2＋x＝1，

解得x＝，即AB的长为．]

15．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°．

(1)求证：(a－b)⊥c；

(2)若|ka＋b＋c|＞1(k∈R)，求k的取值范围．

[解]　(1)证明：∵|a|＝|b|＝|c|＝1且a，b，c之间的夹角均为120°，

∴(a－b)·c＝a·c－b·c

＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0，

∴(a－b)⊥c．

(2)∵|ka＋b＋c|＞1，

∴(ka＋b＋c)·(ka＋b＋c)＞1，

即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c＞1．

∵a·c＝a·b＝b·c＝cos 120°＝－，

∴k2－2k＞0，解得k＜0或k＞2．

即k的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．