苏教版高中数学必修第二册第9章章末综合提升课件+学案

类型1　向量的线性运算

向量线性运算包括向量的加法、减法和数乘运算，而向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量运算的关键所在，常用它们解决平面几何中的共线、共点问题；三角形法则和平行四边形法则是向量加、减的两个重要依据，在向量表示中常常结合平面几何知识灵活应用．

【例1】　

如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3，F为AE的中点，以、为基底表示向量．

[解]　如图，取AB的中点G，连接DG，CG，则易知四边形DCBG为平行四边形，所以＝＝－＝－，所以＝＋＝＋＝＋＝＋，于是＝－＝－＝－＝－＋．

[跟进训练]

1．经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R，求＋的值．

[解]　设＝a，＝b，则＝(a＋b)，

＝－＝nb－ma，

＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b．

由P，G，Q共线得，存在实数λ使得＝λ，

即nb－ma＝λa＋λb，

则消去λ，得＋＝3．

类型2　向量数量积的运算

平面向量的数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算及数量积的几何意义．利用数量积可以求向量的模(|a|＝＝)和夹角，求解时要灵活，即适合建系的借助坐标法求解，不适合建系的可借助基底，先把向量分解，再借助定义求解．

【例2】　设向量＝a，＝b，且||＝||＝4，∠AOB＝60°．

(1)求|a＋b|，|a－b|；

(2)求a＋b与a的夹角θ1，a－b与a的夹角θ2．

[解]　(1)∵|a＋b|2＝(a＋b)(a＋b)＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝16＋2×4×4cos 60°＋16＝48，

∴|a＋b|＝4，

∴|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝16，∴|a－b|＝4．

(2)∵(a＋b)·a＝|a|2＋a·b＝16＋4×4cos 60°＝24，

∴cos θ1＝＝＝．

∵θ∈[0°，180°]，∴θ1＝30°．

∵(a－b)·a＝|a|2－a·b＝16－4×4cos 60°＝8，

∴cos θ2＝＝＝．

∵θ2∈[0°，180°]，∴θ2＝60°．

[跟进训练]

2．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在CD上．若·＝，则·的值为(　　)

A．  B．2  C．0  D．1

A　[建立如图所示的平面直角坐标系，可得A(0，0)，B(，0)，E(，1)．

设F(x，2)，则＝(，0)，＝(x，2)．

∴·＝x＝，解得x＝1，

∴F(1，2)．

∴＝(，1)，＝(1－，2)，

∴·＝(1－)＋1×2＝．]

类型3　向量的应用

在本章中，平面向量的应用主要体现在两个方面：一是利用平面向量解决平面几何中的位置关系，如平行、垂直、共线等等；二是利用平面向量处理物理学中的合力、速度、位移等问题，体现了数与形的完美结合．

【例3】　如图，在等腰直角△ABC中，角C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE．

[证明]　法一：记＝a，＝b，

则＝b－a，且a·b＝0，

|a|＝|b|．

因为＝－＝b－a，

＝－＝(b－a)＋a＝b＋a，

所以·＝·＝b2－a2＝0．可得AD⊥CE．

法二：建立如图所示的直角坐标系，不妨设AC＝BC＝2，

则C(0，0)，A(2，0)，B(0，2)，

因为D是CB的中点，则D(0，1)．

所以＝(－2，1)，＝(－2，2)．

又＝＋＝＋＝(2，0)＋(－2，2)＝，所以·＝(－2，1)·＝(－2)×＋＝0，因此AD⊥CE．

[跟进训练]

3．如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力G的物体，绳子与铅垂线方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1，求：

(1)|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；

(2)当|F1|≤2|G|时，θ角的取值范围；

(3)当|F1|＝2|F2|时，求角θ的值．

[解]　(1)由力的平衡原理知，G＋F1＋F2＝0，作向量＝F1，＝F2，＝－G，则＋＝，∴四边形OACB为平行四边形，如图．

由已知∠AOC＝θ，∠BOC＝，

∴||＝，||＝||＝||tan θ，

即|F1|＝，|F2|＝|G|tan θ，θ∈．

由此可知，当θ从0逐渐增大趋向于时，|F1|，|F2|都逐渐增大．

(2)当|F1|≤2|G|时，有≤2|G|，

∴cos θ≥，又θ∈．∴θ∈．

(3)当|F1|＝2|F2|时，＝2|G|tan θ，

∴＝，∴sin θ＝．∴θ＝．

类型4　向量的综合应用

平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、运算律的推导中都渗透了数形结合思想．引入向量的坐标表示，使向量运算代数化，有两种途径：选择基底和通过坐标运算，可解决共线、平行、垂直、夹角、距离、面积等问题．

【例4】　如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，D是BC的中点，点E满足＝2，BE与AD交于点G．

(1)设＝λ，求实数λ的值；

(2)设H是BE上一点，且·＝·，求·的值．

[解]　法一：(1)设＝a，＝b，因为＝λ，D是BC的中点，

所以＝λ·＝a＋b． ①

设＝t，0<t<1，

故－＝t，整理得＝t＋，

又＝2，即＝，

所以＝t·＋＝a＋b． ②

联立①②，据平面向量基本定理，得 解得λ＝，t＝，所以实数λ的值为．

(2)因为·＝·，

所以·＝0，即·＝0，

所以·＝·＝·－·

＝－·＝－·＝－(a2－b2)＝－×＝－2．

法二：(1)以A为原点，AC为x轴建立如图直角坐标系，

则B(0，2)，C(3，0)，

因为D是BC的中点，所以D．

因为＝2，

所以＝，即E(2，0)．

因为＝λ＝，即G，

所以＝(2，－2)，＝．

因为B，G，E三点共线，所以∥，

即－2＋2λ＝0，解得λ＝．

(2)因为·＝·，

所以·(－)＝0，

即·＝0，

所以·＝(－)·＝·－·＝－·＝－·(3，－2)＝－2．

[跟进训练]

4．在△ABC中，设⊥，M是BC的中点．

(1)若||＝||，求＋2与2＋的夹角的余弦值；

(2)若O是线段AM上任意一点，且||＝||＝，求·＋·的最小值．

[解]　(1)设向量＋2与向量2＋的夹角为θ，∵⊥，∴·＝0，

∴cos θ＝，

令||＝||＝a，∴cos θ＝＝．

(2)∵||＝||＝，∴||＝1，

设||＝x，则||＝1－x，而＋＝2，

∴·＋·＝·(＋)＝2·＝2||·||cos π＝2x2－2x＝2－，当且仅当x＝时，·＋·有最小值为－．

1．(2020·海南高考)在△ABC中，D是AB边上的中点，则＝(　　)

A．2＋   B．－2

C．2－   D．＋2

C　[在△ABC中，D是AB边上的中点，

则＝＋＝＋＝＋(＋)＝2－．故选C．]

2．(2020·新高考全国卷Ⅰ)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则A·A的取值范围是(　　)

A．(－2，6)   B．(－6，2)

C．(－2，4)   D．(－4，6)

A　[·＝||·||·cos∠PAB＝2||cos∠PAB，又||cos∠PAB表示在方向上的投影，

所以结合图形可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小．又·＝2×2×cos 30°＝6，·＝2×2×cos 120°＝－2，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，·∈(－2，6)，故选A．]

3．(2020·天津高考)如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，·＝－，则实数λ的值为________，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则·的最小值为________．

　　[依题意得AD∥BC，∠BAD＝120°，由·＝||·||·cos∠BAD＝－||＝－，得||＝1，因此λ＝＝．取MN的中点E，连接DE(图略)，则＋＝2，·＝[(＋)2－(－)2]＝2－2＝2－．注意到线段MN在线段BC上运动时，DE的最小值等于点D到直线BC的距离，即AB·sin∠B＝，因此2－的最小值为－＝，即·的最小值为．]