苏教版 (2019)必修 第二册10.1 两角和与差的三角函数图片ppt课件

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10.1　两角和与差的三角函数10.1.1　两角和与差的余弦学 习 任 务核 心 素 养1．能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用．(难点) 2．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式．(重点)3．能用两角和与差的余弦公式化简、求值．(重点)1．通过对两角和与差的余弦公式的推导，培养逻辑推理素养．2．通过应用两角和与差的余弦公式进行求值、化简和证明，培养数学运算和逻辑推理素养．我们已经知道了30°，45°的正弦、余弦值，那么，能否根据这些值求出cos 15°的值呢？一般地，怎样根据α与β的三角函数值求出cos(α－β)的值？知识点　两角和与差的余弦公式(1)两角差的余弦公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β．(2)两角和的余弦公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β．cos(90°－30°)＝cos 90°－cos 30°成立吗？[提示]　不成立．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)α，β∈R时，cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β． (　　)(2)cos 105°＝cos 45° cos 60°－sin 45°sin 60°． (　　)(3)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0． (　　)(4)coscos＋sinsin＝cos 2α． (　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√2．cos 75°＝________；cos 15°＝________．　　[cos 75°＝cos(30°＋45°)＝cos 30°cos 45°－sin 30°sin 45°＝；cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 30°sin 45°＝．] 类型1　两角和与差的余弦公式的简单应用【例1】　求下列各式的值：(1)cos 40°cos 70°＋cos 20°cos 50°；(2)；(3)cos 15°＋sin 15°．[解]　(1)原式＝cos 40°cos 70°＋sin 70°sin 40°＝cos(70°－40°)＝cos 30°＝．(2)原式＝＝＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝．(3)∵cos 60°＝，sin 60°＝，∴cos 15°＋sin 15°＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝．1．两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．2．在运用公式化简求值时，要充分利用诱导公式构造两角和与差的余弦结构形式，然后逆用公式求值．提醒：要重视诱导公式在角和函数名称的差异中的转化作用．[跟进训练]1．求下列各式的值．(1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°；(2)cos 24°cos 36°－sin 24°cos 54°；(3)．[解]　(1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝．(2)原式＝cos 24°cos 36°－sin 24°sin 36°＝cos(24°＋36°)＝cos 60°＝．(3)原式＝＝＝＝＝． 类型2　已知三角函数值求角【例2】　已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，求α＋β的值．以同角三角函数的基本关系为切入点，求得cos α，sin β的值，在此基础上，借助cosα＋β的公式及α＋β的范围，求得α＋β的值.[解]　因为α，β为锐角，且sin α＝，cos β＝，所以cos α＝＝＝，sin β＝＝＝，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝．由0<α<，0<β<，得0<α＋β<π．因为cos(α＋β)>0，所以α＋β为锐角，所以α＋β＝．已知三角函数值求角，一般分三步：第一步：求角的某一三角函数值该函数在所求角的取值区间上最好是单调函数；第二步：确定角的范围，由题意进一步缩小角的范围；第三步：根据角的范围写出所求的角.[跟进训练]2．已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值．[解]　由cos α＝，0<α<，得sin α＝＝＝．由0<β<α<，得0<α－β<．又∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝＝＝．由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝，∴β＝． 类型3　给值求值问题【例3】　(对接教材P51例3)已知sin α＝－，sin β＝，且π<α<，<β<π，求cos(α－β)．[解]　∵sin α＝－，π<α<，∴cos α＝－＝－．又∵sin β＝，<β<π，∴cos β＝－＝－，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝．1．(变条件)若将本题改为已知sin α＝－，sin β＝，且π<α<2π，0<β<，求cos(α－β)．[解]　∵sin β＝，0<β<，∴cos β＝＝．又sin α＝－，且π<α<2π，①当π<α<时，cos α＝－＝－，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－；②当<α<2π时，cos α＝＝，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝．综上所述，cos(α－β)＝－或．2．(变条件)若将本例改为已知sin α＝－，π<α<，cos(α－β)＝，<β<π．求sin β．[解]　∵sin α＝－，且π<α<，∴cos α＝－＝－．又∵<β<π，∴－π<－β<－，∴0<α－β<π．又cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝＝＝，∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos α·cos(α－β)＋sin α·sin(α－β)＝×＋×＝－，∴sin β＝＝．1．利用和(差)角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的和(差)，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解．2．在将所求角分解成某两角的和(差)时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝[(α＋β)＋(α－β)]，2α＝[(β＋α)－(β－α)]等．提醒：注意角的范围对三角函数值符号的限制．[跟进训练]3．已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值．[解]　∵α，β均为锐角，∴sin α＝，sin β＝．∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝．又sin α<sin β，∴0<α<β<，∴－<α－β<0．故α－β＝－．1．cos 20°等于(　　)A．cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10°B．cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°C．sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30°D．sin 30°cos 10°＋sin 10°cos 30°[答案]　B2．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)的值为(　　)A．－  B．  C．－  D．B　[原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝．]3．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cos αcos β的值为(　　)A．0  B．  C．  D．A　[cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－，∴2cos αcos β＝0．∴cos αcos β＝0．]4．cos 105°＋sin 195°＝________．　[cos 105°＋sin 195°＝cos 105°＋sin(105°＋90°)＝cos 105°＋cos 105°＝2cos(135°－30°)＝2(cos 135°cos 30°＋sin 135°sin 30°)＝2＝．]5．若sin α＝，α∈，则cos 的值为________．－　[∵α∈，sin α＝，∴cos α＝－．∴cos＝coscos α＋sinsin α＝×＋×＝－．]回顾本节知识，自我完成以下问题：1．两角和与差的余弦公式各有什么结构特征？[提示]　(1)简记为：“余余正正，符号相反”．(2)简记为：“余余正正，符号相反”．2．已知cos(α＋β)和sin β的值，如何求cos α的值？[提示]　由α＝(α＋β)－β可知，cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β，故可先求出sin(α＋β)及cos β的值，代入上式求得cos α的值．