高中数学苏教版 (2019)必修 第二册13.3 空间图形的表面积和体积课前预习ppt课件

13.3.2　空间图形的体积

知识点1　柱体、锥体、台体的体积

　柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？

[提示]　V＝ShV＝(S′＋＋S)hV＝Sh．

1．若正方体的体对角线长为a，则它的体积为______．

a3　[设正方体的边长为x，则x＝a，故x＝，V＝a3．]

知识点2　球的体积和表面积

若球的半径为R，则

(1)球的体积V＝πR3．

(2)球的表面积S＝4πR2．

2．若球的表面积为36π，则该球的体积等于________．

36π　[设球的半径为R，由题意可知4πR2＝36π，

∴R＝3．

∴该球的体积V＝πR3＝36π．]

类型1　多面体的体积

【例1】　如图，已知在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝AC＝4，BC＝3，AC⊥BC，点D是AB的中点，求三棱锥A1­B1CD的体积．

[解]　∵AA1＝AC＝4，BC＝3，AC⊥BC，∴AB＝A1B1＝5．

法一：由题意可知V＝S△ABC×AA1

＝×4×3×4＝24．

又V＝×S△ABC×AA1＝S△ABC×AA1＝4．

V＝×S△ABC×BB1＝S△ABC×BB1＝4．

V＝S×CC1＝8，

∴V＝V－V－V－V

＝24－4－4－8＝8．

法二：在△ABC中，过C作CF⊥AB，垂足为F，

由平面ABB1A1⊥平面ABC知，CF⊥平面A1B1BA．

又S＝A1B1·AA1＝×5×4＝10．

在△ABC中，CF＝＝＝．

∴V＝V＝S·CF

＝×10×＝8．

空间图形的体积的求法

(1)直接法：直接套用体积公式求解．

(2)等体积转化法：在三棱锥中，每一个面都可作为底面．为了求解的方便，我们经常需要换底，此法在求点到平面的距离时也常用到．

(3)分割法：在求一些不规则的空间图形的体积时，我们可以将其分割成规则的、易于求解的空间图形．

(4)补形法：对一些不规则(或难求解)的空间图形，我们可以通过补形，将其补为规则(或易于求解)的空间图形．

[跟进训练]

1．如图，在三棱锥P­ABC中，PA＝a，AB＝AC＝2a，∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60°，求三棱锥P­ABC的体积．

[解]　∵AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴△ABC为正三角形，设D为BC的中点，连接AD，PD，作PO⊥平面ABC．

∵∠PAB＝∠PAC且AB＝AC，

∴O∈AD．

作PE⊥AB于点E，连接OE，

则OE⊥AB．

在Rt△PAE中，PE＝asin 60°

＝a，AE＝．

在Rt△AEO中，OE＝tan 30°＝a．

∴OP＝＝a．

又S△ABC＝BC·AD＝a2．

∴VP­ABC＝S△ABC·OP＝a3．

类型2　旋转体的体积

【例2】　圆台上底的面积为16π cm2，下底半径为6 cm，母线长为10 cm，那么圆台的侧面积和体积各是多少？

[解]　如图，由题意可知，圆台的上底圆半径为4 cm，

于是S圆台侧＝π(r＋r′)l＝100π(cm2)．

圆台的高h＝BC

＝

＝＝4(cm)，

V圆台＝h(S＋＋S′)

＝×4×(16π＋＋36π)＝(cm3)．

求台体的体积关键是求高，为此常将有关计算转化为平面图形三角形或特殊四边形来计算.对于棱台往往要构造直角梯形和直角三角形；在旋转体中通常要过旋转轴作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形.

[跟进训练]

2．如图，△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．

[解]　如图所示，所得的旋转体是两个底面重合的圆锥的组合体，高的和AB＝5，

底面半径DC＝＝，

故S表＝π·DC·(BC＋AC)＝π，

V＝π·CD2·DA＋π·CD2·BD

＝π·CD2·(DA＋BD)＝π．

类型3　空间图形的外接圆内切球的问题

【例3】　已知正四面体的棱长为a，四个顶点都在同一个球面上，试求这个球的表面积和体积．

正四面体的顶点都在同一个球面上，球心和正四面体的中心什么关系？球心与正四面体各顶点的距离与球的半径什么关系？

[解]　如图所示，设正四面体P­ABC的高为PO1，球的球心为O，半径为R，则

AO1＝AB＝a．

在Rt△PO1A中，

PO1＝

＝＝a，

在Rt△OO1A中，AO2＝AO＋OO，

即R2＝＋，解得R＝a．

所以球的表面积S＝4πR2＝4π＝πa2，

体积V＝πR3＝π＝πa3．

处理有关空间图形外接球的问题时，要注意球心的位置与空间图形的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总是在空间图形的特殊位置，比如中心、对角线中点等.该类问题的求解就是根据空间图形的相关数据求球的直径或半径.

[跟进训练]

3．已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球面面积与球的体积．

[解]　如图，设球心为O，球半径为R，作OO1⊥平面ABC于点O1，由于OA＝OB＝OC＝R，则O1是△ABC的外心，设M是AB的中点，

由于AC＝BC，则O1∈CM．

设O1M＝x，易知O1M⊥AB，

则O1A＝，O1C＝CM－O1M＝－x．

又O1A＝O1C，∴＝－x，

解得x＝．

∴O1A＝O1B＝O1C＝．

在Rt△OO1A中，O1O＝，∠OO1A＝90°，OA＝R，

由勾股定理得＋＝R2，解得R＝，

则S球＝4πR2＝54π，V球＝πR3＝27π．

1．已知棱长为a的正方体，甲球是正方体的内切球，乙球是正方体的外接球，丙球与正方体的各棱都相切，则甲、乙、丙三球的表面积之比为(　　)

A．1∶3∶   B．1∶3∶2

C．1∶∶   D．1∶∶

B　[由甲球是正方体的内切球，设甲球的半径为R1，则2R1＝a，所以R1＝，所以甲球的表面积S1＝4πR＝4π×＝πa2．由乙球是正方体的外接球，设乙球的半径为R2，则2R2＝＝a，所以R2＝，所以乙球的表面积S2＝4πR＝4π×＝3πa2．由丙球与正方体的各棱相切，设丙球的半径为R3，则2R3＝＝a，所以R3＝，所以丙球的表面积S3＝4πR＝4π×＝2πa2．所以S1∶S2∶S3＝πa2∶3πa2∶2πa2＝1∶3∶2．故选B．]

2．圆台上底面半径为2，下底面半径为6，母线长为5，则圆台的体积为(　　)

A．40π  B．52π  C．50π  D．π

B　[作出圆台的轴截面如图所示，过D作DE⊥NC于点E．

由已知得上底面半径MD＝2，下底面半径NC＝6，

则EC＝6－2＝4．由CD＝5得DE＝3，即圆台的高为3．所以圆台的体积V＝×3π×(22＋2×6＋62)＝52π．故选B．]

3．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台．如图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm)，那么该壶的容量约为(　　)

A．100 cm3  B．200 cm3  C．300 cm3  D．400 cm3

B　[如图，设小圆锥的高为x cm，则＝，解得x＝6．所以该壶的容量为－＝≈200(cm3)，故选B．]

4．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是________ cm3．

12－　[此六角螺帽毛坏的体积V＝V正六棱柱－V圆柱＝6××22×2－π×2＝cm3．]

5．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水，若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则＝________．

　[由题可知，铁球的体积等于水面上升的体积，因此有πr3＝πR2r，化简可得，＝＝．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．柱体和锥体可以看作“特殊”的台体，它们的体积公式之间存在怎样的关系？

[提示]　

2．常见空间几何体体积的求法有哪些？

[提示]　直接法(公式法)、割补法、等体积转化法等．

3．若正方体的边长为a，则其内切球和外接球的半径分别为多少？

[提示]　内切球的半径R＝，外接球的半径R＝a．

4．若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则该几何体外接球的半径为多少？

[提示]　R＝．