2023武汉部分重点中学（六校）高三上学期第一次联考数学试题含答案

湖北省部分重点中学2023届高三第一次联考

高三数学试卷

命题学校：武钢三中  命题教师：祁蓓  审题教师：许红伟

考试时间：2023年11月16日下午14：00-16：00  试卷满分：150分

本试卷共4页，22题。考试用时120分钟。

祝考试顺利

注意事项：

1.答题前先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。

3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。

4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则（    ）

A.   B.   C.   D.

2.设，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（    ）

A.第一象限   B.第二象限   C.第三象限   D.第四象限

3.记为数列的前项和，给出以下条件，其中一定可以推出为等比数列的条件是（    ）

A.   B.

C.    D.是等比数列

4.恩格尔系数，国际上常用恩格尔系数来衡量一个地区家庭的富裕程度，恩格尔系数越低，人民生活越富裕。某地区家庭2021年底恩格尔系数为50%，刚达到小康，预计从2022年起该地区家庭每年消费支出总额增加30%，食品消费支出总额增加20%，依据以上数据，预计该地区家庭恩格尔系数满足达到富裕水平，至少经过（    ）年（参考数据：，，，）

A.8年   B.7年   C.4年   D.3年

5.某校举行科技文化艺术节活动，学生会准备安排6名同学到两个不同社团开展活动，要求每个社团至少安排两人，其中，两人不能分在同一个社团，则不同的安排方案数是（    ）

A.56   B.28   C.24   D.12

6.设，，若对，，则与的夹角等于（    ）

A.30°   B.60°   C.120°   D.150°

7.设，，，，，则（    ）

A.，   B，

C.，   D.，

8.已知为椭圆上一动点，、分别为该椭圆的左、右焦点，为短轴一端点，如果长度的最大值为，则使为直角三角形的点共有（    ）个

A.8个   B.4个或6个   C.6个或8个   D.4个或8个

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列结论中，正确的有（    ）

A.若随机变量，，则

B.将一组样本中的每个数据都加上同一个非零常数后，均值与方差都变化

C.已知经验回归方程为，且，，则

D.在线性回归分析中相关指数用来刻画拟合的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好

10.过直线上的动点作圆的两条切线，切点分别为，，则（    ）

A.原点在以为直径的圆内

B.线段的长度可以为

C.圆上存在不同两点，，使

D.四边形面积的最小值为

11.正方体的棱长为2，为底面的中心，为线段上的动点（不包括两个端点），为线段的中点，则（    ）

A.与是异面直线

B.平面平面

C.存在点使得

D.当为线段中点时，过，，三点的平面截此正方体所得截面的面积为

12.已知函数，，下列判断中，正确的有（    ）

A.存在，函数有4个零点

B.存在常数，使为奇函数

C.若在区间上最大值为，则的取值范围为或

D.存在常数，使在上单调递减

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知展开式中所有偶数项的二项式系数和为32，则展开式中不含的各项系数之和为_________.

14.若函数满足，则实数_________.

15.若双曲线的右支上存在两点，，使为正三角形（其中为双曲线右顶点），则离心率的取值范围为_________.

16.平面四边形中，，，，，沿将向上翻折，进而得到四面体，①四面体体积的最大值为_________；②若二面角的大小为120°，则_________.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）中，，，，.

（1）若，，求的长度；

（2）若为角平分线，且，求的面积.

18.（12分）如图，在四棱锥中，已知四边形是边长为的正方形，点在底面上的射影为底面的中心，点在棱上，且的面积为1.

（1）若点是的中点，证明：平面平面；

（2）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.

19.（12分）袋中有大小相同的6个球，其中1个白球，2个红球，3个黑球，今从中逐一取出一个球.

（1）若每次取球后放回，记三次取球中取出红球的次数为，求的分布列、期望和方差；

（2）若每次取球后不放回，直至取出3种颜色的球即停止取球，求取球次数恰好为4次的概率.

20.（12分）记为数列的前项和，已知，，且数列是等差数列.

（1）证明：是等比数列，并求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

21.（12分）已知，动点满足以为直径的圆与轴相切，记动点的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）设过点的直线与交于，两点，若，求直线的方程.

22.（12分）已知函数.

（1）求的极值点；

（2）设函数，，若为的极小值，求的取值范围.

湖北省部分重点中学2023届高三第一次联考数学试卷参考答案及评分标准：

选择题：

填空题：

13.161  14.  15.  16.①②

解答题：

17.（10分）解：

（1）∵，，∴，

又∵在中，，，，

∴，

∴，即：.

（2）在中，，

又∵，

∴，∴，∴，∴，

∴.

18.（12分）解：

（1）证明：∵点在底面上的射影为点，∴平面，

∵四边形是边长为的正方形，∴，

∵，∴，即：，

∴，又∵，点是的中点，

∴，同理可得：，

又∵，且平面，

∴平面，又∵平面，

∴平面平面.

（2）解：如图，连接，易知，，两两互相垂直，

分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

假设存在点使得直线与平面所成的角的正弦值为，

∵点在棱上，不妨设，，

又，

∴，∴，

设平面的法向量为，则

∵，，

∴

令，则，∴，

又，设直线与平面所成的角为，则，

∴，

即，解得：或（不合题意，舍去），

∴存在点符合题意，点为棱上靠近端点的三等分点.

19.（12分）解：

（1）易知，且的可能取值为0，1，2，3，

，

，

，

∴的分布列为：

∴，

（2）设取球次数恰好为4次是事件，

∴

∴

20.（12分）解：

（1）∵，，∴，，

设，则，，

又∵数列为等差数列，∴，

∴，∴.

当时，，

∴

∴，

又∵，

∴，即：，

又∵，

∴是以1为首项，为公比的等比数列，

∴，即：.

（2）∵，且，∴

∴

.

∴.

21.（12分）解：

（1）设，又∵，∴线段的中点坐标为，

又∵以为直径的圆与轴相切，∴，

∴化简得：.

∴动点的轨迹的方程为.

（2）设，，

易知斜率不为0，不妨设的方程为：，

联立得：，则，.

∵，∴，

∴，

∴，即：，

∵，

且，

∴，

又∵

∴，

∴，

∴，

∴直线的方程为：，即：或.

22.（12分）解：

（1）∵，

∴，设，

则，

∴在上单调递增，又∵，

∴时，，时，，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴有极小值点，无极大值点.

（2）∵，

∴，设，

则，

当时，，在上单调递减，

又∵，

∴时，，时，，

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴是的极大值点，与题意矛盾.

当时，在上单调递减，

且，

①当时，若，，

∴在上单调递减，又∵∴时，，

∴在上单调递减，与题意矛盾.

②当时，若，则，

∴在上单调递增，又∵∴时，，

∴在上单调递减，若，易证：，

则，

又∵，∴存在使得，

且当时，，

∴在上单调递增，∴，

∴在上单调递增，又∵在上单调递减，

∴是的极小值点，符合题意.

综上，实数的取值范围为.