2023南通海安高级中学高二上学期11月期中考试数学试题含答案

高二期中考试

数  学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则实数m等于（　　）

A．2 B．8            C．          D．

2．已知均为的子集，且，则（    ）

A．            B．           C．               D．

3．已知i为虚数单位，复数z满足，则z的虚部为（    ）

A．2 B．1           C．－2             D．－1

4．若圆x2+y2﹣2x﹣6y+1＝0上恰有三点到直线y＝kx的距离为2，则k的值为（　　）

A．或2   B．或    C．2 D．

5．已知抛物线的焦点为F，准线为l．点P在C上，直线PF交x轴于点Q,

且，则点P到准线l的距离为（    ）

A．3                B．4              C．5              D．6

6．  某校先后举办定点投篮和定点射门比赛．高二（1）班的45名同学中，只参加了其中一项比赛的同学有20人，两项比赛都没参加的有19人，则两项比赛中参加人数最多的一项比赛人数不可能是

A．15 B．17 C．21 D．26

7． 已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“Sn+S3n＞2S2n”的（　　）

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件 

C．充分必要条件   D．既不充分也不必要条件

8．已知是定义域为R的偶函数，，．若是偶函数，则＝（　　）

A．﹣3  B．﹣2  C．2  D．3

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．  已知直线l过点，点，到l的距离相等，则l的方程可能是(    )

A． B．

C． D．

10．下列命题表述正确的是（    ）

A．方程表示一个圆；

B．若，则方程表示焦点在轴上的椭圆；

C．已知点、，若，则动点的轨迹是双曲线的右支；

D．以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切．

11．设函数，已知在有且仅有5个零点，下述结论正确的是（   ）

A．在有且仅有3个极大值点；

    B．在有且仅有2个极小值点；   

C．在单调递增；

D．的取值范围是．

12．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为,则下列为真命题的是（   ）

A．若,则；           

B．若，则使的n的最大值为15； 

C．若,,则中最大；

D．若,则．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知直线与直线，在上任取一点A，在上任取一点B，连接AB，取AB的靠近点A的三等分点C，过C作的平行线，则与间的距离为   ▲   ．

14. 写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的数列 的通项公式：    ▲  ．

（1）数列无穷等比数列；（2）数列不单调；（3）数列单调递减．

15．已知双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，P（x1，y1），

Q（x2，y2）是双曲线右支上的两点，．记△PQF1，△PQF2的周长分别为C1，C2，若C1﹣C2＝8，则双曲线的右顶点到直线PQ的距离为   ▲  ．

16．O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且|QF|＝2|FR|，则E的离心率为   ▲   ．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

在平面凸四边形ABCD中，已知，求sinA及AD．

18．（本小题满分12分）

已知数列满足，且，．

（1）请你在①，②中选择一个证明：

①若，则{bn}是等比数列；

②若，则{bn}是等差数列．

（2）求数列的通项公式及其前n项和．

19．（本小题满分12分）

已知点M（1，0），N（1，3），圆C：x2+y2＝1，直线l过点N．

（1）若直线l与圆C相切，求l的方程；

（2）若直线l与圆C交于不同的两点A，B，设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，证明：k1+k2为定值．

20．（本小题满分12分）

已知等比数列的公比为q，前n项和为．

(1)  若成等差数列，求证：成等差数列；

(2)  若是和的等差中项，则成等差数列吗？

21．（本小题满分12分）

已知圆C:,一动圆与直线相切且与圆C外切．

（1）求动圆圆心P的轨迹T的方程；

（2）若经过定点Q（6，0）的直线l与曲线T交于A,B两点，M是AB的中点，过M作x轴的平行    线与曲线T相交于点N，试问是否存在直线l，使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

22．（本小题满分12分）

已知椭圆的离心率为，椭圆的上顶点到右顶点的距离为，为坐标原点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若是椭圆上两点（异于顶点），且的面积为，设射线，的斜率分别为，求的值；

（3）设直线与椭圆交于两点（直线不过顶点），且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点．

高二期中考试

数学答案

1．

【答案】B

2．

【答案】B

3．

【答案】A

4．

【答案】D

5．

【答案】C

6．

【答案】A

7．

【答案】C

8．

【答案】D

9． 

【答案】BC

10．

【答案】BD

11．

【答案】ACD

12．

【答案】BC

13．

【答案】

14.

【答案】

15．

【答案】

16．【答案】

17．（

【答案】，

连接，在中，由余弦定理，得

，

且,

又有，故,

在中，由正弦定理，得,

因为，所以，所以,

因为，所以,

故

，

在中，由正弦定理，得．

18．

【答案】（1）略

（2），

19．

【答案】（1）解：若直线l的斜率不存在，则l的方程为x＝1，

此时直线l与圆C相切，故x＝1符合条件；

若直线l的斜率存在，设斜率为k，其方程为y＝k（x﹣1）+3，即kx﹣y﹣k+3＝0，

由直线l与圆C相切，圆心（0，0）到l的距离为1，

则，解得，

所以直线l的方程为，即4x﹣3y+5＝0，

综上所述，直线l的方程为x＝1或4x﹣3y+5＝0；

（2）证明：由（1）可知，l与圆C有两个交点时，斜率存在，

此时设l的方程为kx﹣y﹣k+3＝0，

联立，

消去y可得（1+k2）x2﹣（2k2﹣6k）x+k2﹣6k+8＝0，

则Δ＝（2k2﹣6k）2﹣4（1+k2）（k2﹣6k+8）＝24k﹣32＞0，

解得，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，，（*）

所以＝＝＝，

将（*）代入上式整理得＝，

故k1+k2为定值．

20．

【答案】（1）略；（2）由条件得或.当时不成等差数列；

当时，成等差数列.

21．

【答案】（1）；（2）或．

22．

【答案】解：由题得，所以

所以椭圆的标准方程为

（1）设

设直线，直线

，所以，

同理得

点到直线的距离，

所以

平方得

所以

（3）设，

（i）直线的斜率存在时，设直线

，得

所以由题得

所以

化简得

代入韦达定理得

所以或

当时，，定点为，为右顶点（舍）。

当时，，定点为，满足题意

（ii）直线的斜率不存在时，设直线

，所以（不妨设在第一象限）

又因为

所以

化简得，所以

所以或（舍）

所以，直线过点

综上（i）（ii）所得直线过定点