2023孝感重点高中教科研协作体高二上学期期中联考数学试题含答案

2022 年湖北省孝感市重点高中教科研协作体高二上学期期中考试

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 设为虚数单位，复数满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知，若直线与直线平行，则它们之间的距离为(    )

A.  B.  C.  D. 或

3. 地的天气预报显示，地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生之间整数值的随机数，并用，，，，，，表示没有强浓雾，用，，表示有强浓雾，再以每个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下组随机数：
    
   
   则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 从空中某个角度俯视北京冬奥会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图如图，在平面直角坐标系中，下列直线系方程其中为参数，能形成这种效果的是(    )
    

A.  B.
C.  D.

6. 设向量，，，其中为坐标原点，，，若，，三点共线，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，正四棱台中，点，，分别是棱，，的中点，则下列判断中，不正确的是(    )
    

A. ，，，共面 B. 平面
C. 平面 D. 平面

8. 阿基米德在他的著作关于圆锥体和球体中计算了一个椭圆的面积当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，，点为椭圆的上顶点直线与椭圆交于，两点，若，的斜率之积为，则椭圆的短轴长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数设事件“第一次为偶数”，“第二次为奇数”，“两次点数之和为偶数”，则(    )

A. 与互斥 B.  C. 与相互独立 D.

10. 圆和圆的交点为，，则有(    )

A. 公共弦所在直线方程为
B. 过上任意一点作圆的切线，则切线长的最小值为
C. 公共弦的长为
D. 圆与圆关于直线对称

11. 已知椭圆的左，右两焦点分别是，，其中直线与椭圆交于，两点则下列说法中正确的有(    )

A. 若，则
B. 若的中点为，则
C. 的最小值为
D. 若，则椭圆的离心率的取值范围是

12. 正方体的棱长为，动点，分别在棱，上，将过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，设，，其中，，下列命题正确的是(    )
     

A. 当时，的面积为
B. 当，时，为等腰梯形
C. 当时，以为顶点，为底面的棱锥的体积为定值
D. 当时，为矩形，其面积最大值为

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知向量，，且，则          ．
14. 函数的图象与函数的图象有两个交点，则实数的取值范围是          ．
15. 排球比赛的规则是局胜制，在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率均为，若前局结束后乙队以领先，则最后乙队获胜的概率是          ．
16. 已知正方体的所有顶点均在体积为的球上，则该正方体的棱长为          ，若动点在四边形内运动，且满足直线与直线所成角的正弦值为，则的最小值为          

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

如图，在空间四边形中，已知是线段的中点，在上，且．
试用，，表示向量
若，，，，，求的值．
 

18. 本小题分

已知圆的圆心为，直线与圆相切．
求圆的方程
若直线过点，被圆所截得的弦长为，求直线的方程．

19. 本小题分

文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩满分分，成绩均为不低于分的整数分成六段：，，，，得到如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值，并求样本成绩的第百分位数和平均数
已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差．
 

20. 本小题分

已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若，的面积．
求
求周长的取值范围．

21. 本小题分

如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，为的中点．

求证：平面
求平面与平面夹角的正弦值
线段上是否存在，使得它到平面的距离为若存在，求出的值若不存在，说明理由．

22. 本小题分

生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点现椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点，从左焦点射出的光线经过椭圆镜面反射到右焦点，这束光线的总长度为，且椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为、．
求椭圆的方程
点在椭圆上，求线段的长度的最大值及取最大值时点的坐标
不过点的直线交椭圆于，两点，记直线，，的斜率分别为，，，若证明：直线过定点，并求出定点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了共轭复数的求法，属于基础题．

【解答】

解：因为，
所以，
所以．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了两条直线平行的判定及应用与两条平行直线间的距离，属于基础题。  

【解答】

解：与直线平行，
解得舍去或，故，则两平行线间距离

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．属于基础题．

【解答】

解：在组随机数中表示三天中至少有两天有强浓雾的有、、、，

所求概率近似为．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了点线距离的向量求法，属于基础题．
根据直线一个方向向量为，取直线的一个单位方向向量为，计算，代入点到直线的距离公式计算即可．

【解答】

解：直线的一个方向向量为，
取直线一个单位方向向量为，
又为直线外一点，且直线过点，，
，
点到直线的距离为．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查对给定图形的分析推理，以及点到直线距离公式，转化思想，属中档题．
由图形分析知转化为：原点到各圆周切线的距离为定值，再利用点到直线的距离公式即可．

【解答】

解：由图形分析知转化为：原点到各圆周切线的距离为定值．
对：，此时不是固定值，故舍去；
对：，此时不是固定值，故舍去；
对：为定值；
对：，此时不是固定值，故舍去．
故选C．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查三点共线定理，基本不等式求最值，属于基础题．

【解答】

解：，，，
，
，，三点共线，且，，，整理得，
，
当且仅当时等号成立．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了空间直线与平面的位置关系，属于中档题．

【解答】

解：延长正四棱台的侧棱相交于，
则三棱锥为正四棱锥，

连接，，，，都在平面内，
因为平面，，
所以，因为，分别是棱，的中点，所以，即，

所以，，，共面，故A正确

因为，分别是棱，的中点，
所以，由正棱锥的性质可知，
所以，即平面，故B正确
因为点，分别是棱，的中点，
所以，，
设，则平面，平面，
，，平面，平面，
平面，显然平面与平面不平行，故C错误
因为，平面，平面，
所以平面，故D正确．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的几何性质，属于一般题．
设直线，与椭圆交于左右顶点，即可联立的方程，即可求出的值，即可得到答案．

【解答】

由题意得，即，对直线，令，则直线与椭圆交于左右顶点，故上顶点，，，即，联立
故长轴为．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查古典概型的计算，涉及互斥事件和相互独立事件的定义，属于基础题．

【解答】

解：根据题意，依次分析选项：
对于，事件发生的同时事件也有可能发生，故A错误；
对于，，，则有，A正确；
若发生，即第一次和第二次都是奇数，则两次点数之和为偶数，反之若两次点数之和为奇数，则第一次和第二次的点数为一次奇数、一次偶数，
故A与互斥，B正确；
对于，发生与是否发生没有关系，即与相互独立，C正确；
对于，发生与是否发生没有关系，即与相互独立，则，D正确．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查求相交圆的公共弦方程，两圆的公共弦长，切线，与对称，属于中档题．

【解答】

解：对于，两圆方程相减得，即公共弦方程为，故A正确，
对于，设，圆的圆心为，半径为，过的直线与圆相切与点，因为，所以，则切线长的最小值为，故B正确，
对于，圆，圆心到的距高为
，半径，所以，故C错误，
对于，圆，圆心，半径，圆，圆心，半径，因为即过的直线与直线垂直，又因为的中点在直线上，所以点与关于对称，
所以圆与圆关于直线对称，故D正确．

 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了求椭圆的离心率或取值范围，椭圆的中点弦问题与椭圆的弦长的问题，属于中档题。

【解答】

解：直线恒过点，即左焦点，
由椭圆的定义可知：的周长为：
，
所以：不正确
设，，所以有

设，因为的中点为，所以，，
因此．，所以B正确：
因为直线过定点，但是不包括直线，
因为只有当时，才有最小值，所以不正确：
，
而，所以有，
显然
而，
所以，故本选项说法正确．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查立体几何中的截面问题，棱锥的体积，属于中档题．

【解答】

解：对于，当，时，为的中位线，，，，
为等腰梯形，过作于，如图，

，，，，，
，故A不正确
对于，当，时，，即，
，，为等腰梯形，故B正确
对于，当时，以为顶点，为底面的棱锥为
当时，以为定点，为底面的棱锥为，如图，

，故C正确．
对于，当时，点与点重合，，如图，此时为矩形，当点与点重合时，的面积最大，，故D正确
 

13.【答案】 
 

【解析】

【分析】

本题考查了利用向量的数量积求向量的模，属于基础题．

【解答】

解：因为，，
所以
又因为，
所以，解得，
，则．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了直线与圆的位置关系的判断及求参，属于中档题。

【解答】

曲线转化为：
表示一个半圆，如图所示．

直线和半圆相切时，

直线和半圆有两个不同
的交点如图所示：
故答案为：

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．

【解答】

解：若乙队以：获胜，概率为，
若乙队以：获胜，概率为，
若乙队以：获胜，概率为，
故最后乙队获胜的概率是，

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了多面体棱长，多面体上最短距离问题，属于拔高题．

【解答】

解：设正方体的棱长为则球的半径为，
，
，
即正方体的棱长为，

直线与直线所成角的正弦值也是
即，得，
故点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆的，如图所示：

设正方形的中心为连接，，
，
，
则．
 

17.【答案】解：，
，
又

解：由可得知

 

【解析】本题考查了空间向量的线性运算与空间向量的数量积运算，属于基础题。
 

18.【答案】解：因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
即圆心到直线的距离为
圆的方程为：
当斜率不存在时，的方程为，
易知此时被圆截得的弦长为，符合题意，所以
当斜率存在时，设的方程为，
则．
又直线被圆所截得的弦长为，所以，则，
所以，解得，
所以直线的方程为．
综上：的方程为或 

【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程，属于基础题．
 

19.【答案】解：每组小矩形的面积之和为，


成绩落在内的频率为．
落在内的频率为．
设第百分位数为
由，得，故第百分位数为
平均数

解：由图可知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为．
故

所以两组市民成绩的总平均数是，总方差是．
附：方差也可这样求解：设成绩在中人的分数分别为，，，，成绩在中人的分数分别为，，，，，
则由题意可得，
所以，
所以 

【解析】本题考查了百分位数、平均数、方差，属于中档题．
 

20.【答案】解析解：，两边同时乘以，
得，
根据余弦定理可知，又
所以，得，
因为，
所以
方法一：，
因为，所以，

又，
所以 ，
所以，
综上，周长的取值范围
方法二：由正弦定理．
，，又

，，
，

综上，周长的取值范围 

【解析】本题考查了利用正弦定理、余弦定理解决角度问题和解三角形中周长范围的求法，属于中档题。
 

21.【答案】解：，为的中点，，
侧面底面，侧面底面，
平面，平面
底面为直角梯形，其中，，，
，
又平面，
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，

，，，，，
易得平面的法向量
设平面的法向量，则，取，得，
设二面角夹角为，
则，
则，两平面夹角的正弦值为
设线段上存在，，
使得它到平面的距离为，，
到平面的距离，
解得或舍去
则，则．
方法二几何法取中点，连，，，
，为直角三角形．
又为中点
由平面，平面


平面

为两平面夹角．
在中，．
两平面夹角正弦值为．
过作交于．
即知即为到平面的距离．
在中，

记到平面的距离为．
则

 

【解析】本题主要考查线面垂直的判定，利用空间向量求面与面的夹角，点到面的距离，属于中档题．
 

22.【答案】解：由题意可知，
则，
所以，所以

由得椭圆的方程为，则，设，
则，
因为点在椭圆上，
所以，
则，
则，
所以当时，，
此时，
所以
证明：，
设直线的方程为，，，
联立，消得，
则，，
则

因为，
则，
即，
即，
即，
即，
化简得，
解得或，
时过点，舍去
所以，
所以直线得方程为，
所以直线过定点 

【解析】本题考查了求椭圆的方程，椭圆上点到点距离最值，直线过定点的证明，属于拔高题．