河北省2022-2023学年高一上学期期中数学试题（含答案）

这是一份河北省2022-2023学年高一上学期期中数学试题（含答案），共12页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知，则的最小值为，若函数f等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前河北省高一年级上学期期中考试数 学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册前三章．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，则（    ）A.[－4，6]   B.（－4，6）   C．[－6，4]   D.（－6，4）2.下列函数是幂函数的是（    ）A.  B.  C.  D.3.已知函数f（x）的定义域为[－1，5]，则函数的定义域为（    ）A.[－1，5]   B.[－1，11]   C．[－1，2]  D. [－2，1]4.若△ABC与△DEF都是等腰三角形，则“△ABC~≌△DEF”是“AB＝DE且AC＝DF”的（    ）A.充分不必要条件    B.必要不充分条件C.充要条件      D.既不充分也不必要条件5.关于命题“至少有一个，使得为偶函数”，下列判断正确的是（    ）A.该命题是全称量词命题，且是真命题   B.该命题是存在量词命题，且是真命题C.该命题是全称量词命题，且是假命题    D.该命题是存在量词命题，且是假命题6.已知函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ）A. [－，1]                   B.  C.[－2，1]                        D.7.已知，则的最小值为（    ）A.  B.  C.20   D.48.已知圆锥的体积为Sh，其中S为圆锥的底面积，h为圆锥的高．现有一个空杯子，盛水部分为圆锥（底面半径为3cm，高为6cm），现向杯中以6ml/s的速度匀速注入水，则注水t（0＜t＜5）s后，杯中水的高度为Acm  B.cm  C.cm  D.cm二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的很2分，有选错的得0分．9.若函数f（x）满足），则f（x）的解析式可能为（    ）A.        B.  C.       D.10.已知集合，若使成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（    ）A.  B.  C.   D．11.下列命题是真命题的是（    ）A.若，则   B.若，则的最大值为－1C.若，则D.若1，则的最小值为312.已知f（x）是定义在R上的函数，1，且存在f（x）满足条件Ω，则Ω可能为（    ）A.   B.C.   D.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上．13.命题p：的否定为        ．14.若函数在R上是增函数，则a的取值范围是        ．15.若集合恰有8个整数元素，写出a的一个值：        ．16. 如图所示，定义域和值域均为R的函数f（x）的图象给人以“一波三折”的曲线之美．（1）若在上有最大值，则a的取值范围是        ．（2）方程的解的个数为        ．（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）已知集合．（1）若，求，；（2）若，且，求a的值．18.（12分）已知函数．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在[－2，4]上单调递减，证明：．19.（12分）已知f（x）是定义在[－3，3]上的偶函数．（1）设g（x）是定义在[－3，3]上的奇函数，将下面两个图补充完整；（2）当时，讨论f（x）在[－3，m]上的值域．20.（12分）小张同学在求解“若，求的最小值”这道题时，他的解答过程如下：（第一步）因为，所以a，b同号，所以，，，均为正数，（第二步）所以，（第三步）所以，故）的最小值为．请你指出他在解答过程中存在的问题，并作出相应的修改．21.（12分）近几年，极端天气的天数较往年增加了许多，环境的保护越来越受到民众的关注，企业的节能减排被国家纳入了发展纲要中，这也为检测环境的仪器企业带来了发展机遇，某仪器公司的生产环境检测仪全年需要固定投入500万元，每生产x百台检测仪器还需要投入y万元，其中，且，每台检测仪售价2万元，且每年生产的检测仪器都可以售完．（1）求该公司生产的环境检测仪的年利润L（x）（万元）关于年产量x（百台）的函数关系式；（2）求该公司生产的环境检测仪年利润的最大值．22.（12分）已知函数．（1）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并用定义加以证明；（2）设函数，若，求a的取值范围．      河北省高一年级上学期期中考试数学参考答案1.A 【解析】本题考查集合的补集与一元二次不等式的解法，考查数学运算的核心素养．因为，所以2.D 【解析】本题考查幂函数的概念．函数叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．3.C 【解析】本题考查抽象函数的定义域，考查数学抽象的核心素养．由，得．4.A  【解析】本题考查充分必要条件的判定，考查逻辑推理的核心素养．若，则且．若且，则AB与AC可能都是等腰三角形的腰，从而推不出，故“”是“且”的充分不必要条件．5.B 【解析】本题考查全称量词命题与存在量词命题的判定以及函数的奇偶性，考查逻辑推理的核心素养．“至少有一个”在逻辑中叫做存在量词，因此该命题是存在量词命题．当时．为偶函数，因此该命题是真命题．6.A 【解析】本题考查一元二次不等式与二次函数的图象，考查数形结合的数学思想．由二次函数的图象可知，所以，所以不等式可化为，即，因为，所以．7.D 【解析】本题考查基本不等式中“1”的活用，考查数学运算的核心素养．因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为4.8.C 【解析】本题考查函数的解析式，考查应用意识与数学建模的核心素养．假设注水后，杯中水的水面半径为xcm，则杯中水的高度，则，解得，故杯中水的高度cm．9. ACD 【解析】本题考查函数的解析式与奇偶性，考查数学运算的核心素养．因为均为奇函数，所以均满足．10.BC 【解析】本题考查集合与不等式的交汇，考查分类讨论的数学思想．当，即时，，符合题意；当，即时，，解得，所以．所以，4]．故M的真子集可以是（－∞，3]，（3，4]．11.ACD 【解析】本题考查不等式的性质与基本不等式，考查逻辑推理的核心素养．对于A．因为，所以，故A正确．对于B．因为，所以，故B错误．对于C．因为，所以，故C正确．对于D．因为，所以，所以，当且仅当．即时，等号成立，故D正确．12.AC 【解析】本题考查函数的概念，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养．若，则且，所以A正确．若，则且，所以C正确．，令，得，又，所以B错误．，令，得，令，得．根据函数的概念可知，每个x只能对应唯一的y，0对应的y的值不唯一，所以D错误．13.【解析】本题考查命题的否定，考查逻辑推理的核心素养．全称量词命题的否定是存在量词命题．14.（1，12] 【解析】本题考查分段函数的单调性，考查数学运算与直观想象的核心素养．由题意可得解得．15.7（答案不唯一，实数a满足即可）  【解析】本题考查集合整数元素问题，考查逻辑推理的核心素养以及学生对新问题勇于摸索探究的精神．依题意可得，解得，则．所以集合的整数元素的最小值为3，从而最大值为10，所以，解得．【注】本题如果考生将结果“7”写为“”不扣分，另外本题还可以对a进行多次调试后得到满足条件的一个a的值．16.（－3，3]；4  【解析】本题考查函数的值与最值问题，考查直观想象、数学抽象与逻辑推理的核心素养．由图可知，f（x）在上单调递增，在（－1，3）上单调递减，在上单调递增，且．若f（x）在上有最大值，则，解得．由，得或，由图可知，满足的自变量x有3个，且这3个数都小于5；满足的自变量x只有1个，且这个数大于5，故方程的解的个数为4.17.解：（1）因为，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）因为，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分当时，，满足题意；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分当时，，满足题意；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分当或7时，，不满足题意．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分综上，a的值为1或4.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分．评分细则：【1】第（1）问中，未写，直接得出，不扣分．【2】第（2）问中，若考生这样作答：因为，且，所以a的值为1或4，不扣分．18.（1）解：令，得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分由，得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分＝．．．．．．．．．．．．．．．4分故f（x）的解析式为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）证明：由（1）知f（x）的图象关于直线对称．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分因为f（x）在[－2，4]上单调递减，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分解得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分故．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分评分细则：【1】第（1）问还可以用配凑法求解，过程如下：因为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分整理得f（x）的解析式为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分【2】第（2）问中，若考生未写“f（x）的图象关于直线对称”，直接得到．不扣分．19.解：（1）补充完整的两个图如下图所示：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由图可知，f（x）在[－3，－1]上的图象为线段，设其对应的解析式为，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分解得，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分当时，f（x）在[－3，m]上单调递减，所以f（x）在[－3，m]上的最大值为4，最小值为f（m）＝，则f（x）在上的值域为[－3m－5，4]．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分当时，由图可知（x）在[－3，m]上的．域为[－2，4]．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分评分细则：【1】第（1）问中，画对一个图得3分．【2】第（2）问，得到后，当时，考生未说明“f（x）在[－3，m]上单调递减”，得到f（x）在[－3，m]上的值域为[－3m－5，4]，不扣分．20.解：第二步没有写不等式中等号的取等条件，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分事实上，两个不等式中的等号的取等条件不同，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分导致第三步取不到的最小值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分修改如下：（第二步）所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分（第三步）当且仅当，即时，等号成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分故）的最小值为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分评分细则：【1】如果考生指出问题时，表明两次用了基本不等式求最值，且取等条件不一致，给5分．【2】在修改中，没有分第二步和第三步写，只要过程正确，就不扣分．21.解：（1）当时，．．．．．．．．．．2分当时，．．．．．．．4分故．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）当时，，所以当时，万元．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分当时，．．．．．．．．．7分因为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分当且仅当，即时，等号成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分所以当时，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分所以当年产量为6000台时，年利润最大，且最大利润为5400万元．．．．．．．．．．．．．12分评分细则：【1】第（1）问，写L（x）的分段函数表达式时，没有写，扣1分．【2】第（2）问，当时，没有通过配方直接得到“当时，万元”，不扣分．22.解：（1）f（x）在（0，1）上单调递减．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分证明：设，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分∵，∴∴．．．．．．．．．．．3分∴，即，∴f（x）在（0，1）上单调递减．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）当时，同（1）可得f（x）为增函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分若，则，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分∵，∴，则f（x）在[，2]上的值域为[3，5]．．．．．．．．．．7分．．．．．8分若，则，则．．．．．．．．．．．．．．．．9分依题意可得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分解得，故a的取值范围为[－，－2]．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分评分细则：【1】第（1）问，如果只得到“f（x）在（0，1）上单调递减”，给1分．【2】第（2）问，得到“”和“”，但没有写“f（x）在[，2]上的值域为[3，5]”，不扣分．最后得到“’，没有写“a的取值范围为[－，－2]”，不扣分．【3】第（2）问求g（x）的值域还可以用如下的方法：，令，则，∵，则，即g（x）的值域为．