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天津市河东区2022-2023学年高二上学期期中质量检测数学试卷（含答案）

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这是一份天津市河东区2022-2023学年高二上学期期中质量检测数学试卷（含答案），共13页。试卷主要包含了【答案】C，【答案】A，【答案】D，【答案】B，【答案】等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年天津市河东区高二（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共9小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

直线l：的方向向量可以是( )

A. B. C. D.

已知直线：，与：平行，则a的值是( )

A. 0或1 B. 1或 C. 0或 D.

在正方体中，，则( )

A. B. C. D.

已知向量，，，则有( )

A. B.
C. D.

已知点，，则以线段AB为直径的圆的方程为( )

A. B.
C. D.

圆：与圆：的位置关系是( )

A. 相交 B. 相离 C. 内切 D. 内含

圆关于直线对称的圆的方程是( )

A. B.
C. D.

已知椭圆与椭圆，则这两个椭圆的( )

A. 离心率相等 B. 焦距相等 C. 长轴长相等 D. 短轴长相等

已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆C的离心率的取值范围为( )

A. B. C. D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

直线l的方程为：，则直线l的倾斜角为______.
直线：与直线：之间的距离为______.
已知空间向量，，，若，，共面，则______.
已知圆C：，直线l过点且与圆C交于A，B两点，若P为线段AB的中点，O为坐标原点，则的面积为______.
已知，是椭圆C：的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为______.
如图，在单位正方体中，点P是线段上的动点，给出以下四个命题：
①直线与直线所成角的大小为定值；
②二面角的大小为定值；
③若Q是对角线，上一点，则长度的最小值为；
④若R是线段BD上一动点，则直线PR与直线有可能平行．
其中真命题有______.

三、解答题（本大题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

本小题分
已知圆C的圆心在直线，且与直线相切于点
求圆C的方程；
直线l过点且与圆C相交，所得弦长为4，求直线l的方程．
本小题分
如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，
，M是PD的中点．
证明：平面ACM；
求直线CD与平面ACM所成角的正弦值．

本小题分
如图，在多面体ABCDEF中，平面ABCD，，四边形ABCD是平行四边形，，，H为DE的中点．
证明：平面BDE；
若P是棱DE上一点，且，求二面角的夹角的余弦值．

本小题分
设椭圆的两个焦点为，，若点P在椭圆上，且
求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率；
求的面积及P点的坐标．
本小题分
已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为，到直线l的距离为
求椭圆C的焦距；
若，求椭圆C的方程．

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：在直线l：上任意取2个点，，
直线l：的一个方向向量为，
故选：
2.【答案】C

【解析】

解：直线：，与：，
当时，两直线的斜率都不存在，它们的方程分别是，，显然两直线是平行的；
当时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，由，解得，此时它们的方程分别是，两直线是平行的；
综上，或故本题选

3.【答案】A

【解析】解：正方体，
，
，
，故选：

4.【答案】C

【解析】解：向量，，，
可得，故A错误；
，，即有，故B错误；
，所以，故C正确；
，，，故D错误．
故选：

5.【答案】A

【解析】解：已知点，，
则AB的中点坐标为，，
即以线段AB为直径的圆的方程为，
故选：
6.【答案】D

【解析】解：圆：，则圆心，半径，
圆：，则圆心，半径，
则圆心距，
因为，所以，
所以圆和圆的位置关系是内含．
故本题选

7.【答案】D

【解析】解：圆的圆心坐标为，半径为3，
设点关于直线的对称点为，
则，解之得，
则圆关于直线对称的圆的圆心坐标为，
则该圆的方程为，
故选：
8.【答案】B

【解析】解：由椭圆可得，
由椭圆，，
所以可得两个椭圆的焦距相等，
故选：
9.【答案】B

【解析】解：由题设，以线段为直径的圆为，与直线相交，
所以，可得，即，又，
所以
故选：
10.【答案】

【解析】解：由于直线l的方程为：和x轴垂直，
故直线l的倾斜角为，
故答案为：
11.【答案】

【解析】解：直线：与直线：，即的方程为，
所以两条平行线间的距离，
故答案为：
12.【答案】3

【解析】解：向量，，，若，，共面，
设，即，
，解得，
故答案为：
13.【答案】6

【解析】解：由圆 C：，可得圆心，半径，
为线段AB的中点，，又，
，又，故，
所以直线AB的方程为，即，
到直线AB的距离，
的面积为
故答案为：
14.【答案】

【解析】解：因为，由椭圆的定义可得，可得，，，
在中，由余弦定理可得：，而，
即，可得，
可得离心率，
故答案为：
15.【答案】3个

【解析】解：对于①，由正方体的性质可知，平面，又平面，
故，异面直线与直线的所成的角为定值，①正确；
对于②，平面即为平面，平面与平面所成的二面角为定值，
而这两个平面位置固定不变，故二面角为定值，②正确；
对于③，将平面沿直线翻折到平面内，平面图如下，
过C点做，，，
此时，的值最小，
由题可知，，
，
则，
故，又，
故的最小值为，故③错误；

对于④，在正方体中易证平面，
设，则即为二面角的平面角，
又正方体棱长为1，故，则，
由余弦定理得，故，同理，
故在上必然存在一点E，使得二面角为，
即平面平面，平面EBD与平面的交线为ED，
则，过P点作BD的垂线PR，此时平面，
又平面，故，故④正确．

故答案为：3个．
16.【答案】解：过点且与直线垂直的直线方程为，
由题意知，圆心C即为直线与直线的交点，
联立，解得，故圆C的半径为，
因此圆C的方程为；
由勾股定理可知，圆心到直线l的距离，
当直线斜率不存在时，直线l的方程为，圆心到直线的距离为1，满足条件，
当直线斜率存在时，设直线l的方程为，即，
由题意可得，解得，
此时直线l的方程为，即，
综上所述：直线l的方程为或

17.【答案】证明：由已知条件，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，
设平面ACM的一个法向量为，
则，
即，
令，则，，
则，
又，
即，
即平面ACM；
解：由可得：，
又平面ACM的一个法向量为，
则直线CD与平面ACM所成角的正弦值为，
即直线CD与平面ACM所成角的正弦值为

18.【答案】解：证明：平面ABCD，，
平面ABCD，即，又，
四边形FHDC为正方形，
，，
，
，
又，平面BDE，平面BDE，
平面BDE；
由题意可建立以D为原点，以DC、DB、DE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，则，
，，，，
平面ABCD，，
又，，平面PDF，平面PDF，
平面PDF，
平面PDF的一个法向量为，
设平面BPF的一个法向量为，，，
则，取，则，，
平面BPF的一个法向量为，
由图形得二面角的夹角为锐角，
，，
二面角的夹角的余弦值为