浙江省杭州市萧山区2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

2022-2023学年浙江省杭州市萧山区高二年级上学期期中

数学考试

一、单选题（本大题共8题，每题5分，共40分）

1.     直线的倾斜角为(    )

A.  B.  C.  D.

2.     设i是虚数单位，复数，则(    )

A. 1 B.  C.  D. 2

3.     在中，已知，，，则AB等于(    )

A. 1 B.  C.  D.

4.     已知圆锥的侧面积单位：为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积单位：是(    )

A.  B.  C.  D.

5.     已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，则下列命题正确的是(    )

A. ，，则 B. ，，，则
C. 若，，则 D. 若，，则

6.     已知向量，满足，，则在上的投影向量的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

7.     已知，，，则点A到直线BC的距离为(    )

A.  B. 1 C.  D.

8.     柜子里有3双不同的鞋子，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4题，每题5分，共20分）

9.     设复数，下列说法正确的是(    )

A. z的虚部是y
B.
C. 若，则z为纯虚数
D. 若z满足，则z在复平面内的对应点的轨迹是圆

10. 如图，在棱长为1的正方体中，下列选项正确的是(    )

A. 异面直线与所成的角为 B. 三棱锥的体积为
C. 直线平面 D. 二面角的大小为

11. 在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“两次记录的数字之和为偶数”，事件B为“第一次记录的数字为偶数”;事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是(    )

A. 事件B与事件C是互斥事件 B. 事件A与事件B是相互独立事件
C. 事件B与事件C是相互独立事件 D.

12. 已知圆，点P是圆C上的一个动点，点，，则下列选项中正确的是(    )

A.  B. 的最大值为
C. 的最大值为12 D. 的最大值为9

三、填空题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 已知向量，，若，则__________
14. 写出过点，且在两坐标轴上截距相等的一条直线方程__________.
15. 已知圆，以点为圆心，半径为r的圆与圆C有公共点，则r的取值范围为__________.
16. 已知直四棱柱，底面ABCD为平行四边形，，，，，以为球心，半径为2的球面与侧面的交线的长度为__________.

四、解答题（本大题共6题，共70分）

17. 已知直线

求证：直线l过定点，并求出此定点;

求点到直线l的距离的最大值.

18. 杭州市某高中从学生中招收志愿者参加迎亚运专题活动，现已有高一540人、高二360人，高三180人报名参加志愿活动.根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取120名.对抽出的120名同学某天参加运动的时间进行了统计，运动时间均在至分钟之间，其频率分布直方图如下：

需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人?

请补全频率分布直方图;

求这120名学生运动时间的第80百分位数是多少?

19. 袋中有形状、大小都相同的4个小球，标号分别为1，2，3，

从袋中一次随机摸出2个球，求标号和为奇数的概率;

从袋中每次摸出一球，有放回地摸两次。甲、乙约定：若摸出的两个球标号和为奇数，则甲胜，反之，则乙胜。你认为此游戏是否公平?说明你的理由.

20. 如图，四棱锥的底面为正方形，底面设平面平面

证明：平面

若，求直线l与平面PAC所成角的正弦值.

21. 已知圆C的半径为3，圆心C在射线上，直线被圆C截得的弦长为

求圆C方程;

过点的直线l与圆C交于M、N两点，且的面积是为坐标原点，求直线l的方程.

22. 图1是直角梯形ABCD，，，，，，以BE为折痕将折起，使点C到达的位置，且，如图

证明：

求二面角余弦值.
 

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】解：由直线，即可得直线的斜率为，即，

所以直线的倾斜角为  

2.【答案】B 

【解析】解：，则 

3.【答案】B 

【解析】解：，由正弦定理，，，  

4.【答案】C 

【解析】解：圆锥侧面展开图是半圆，面积为，

设圆锥的母线长为a，则，，侧面展开扇形的弧长为，
设圆锥的底面半径，则，解得，则这个圆锥的体积为

  5.【答案】D 

【解析】解：由题意可知，在A中，若，，则m与相交或平行或，A错；
在B中，若，，，则或m与n异面，B错；
在C中，若，，则n与相交或平行或，C错；
在D中，若，，则，D正确.  

6.【答案】B 

【解析】解：在上的投影向量的坐标为

7.【答案】A 

【解析】解：

8.【答案】C 

【解析】解：分别用，，，，，表示6只鞋，则可能发生的情况有15种，
，，，，，，，，，，，，，取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双的事件有6种，
，，，，，，

  9.【答案】AD 

【解析】解：由复数的概念知，A正确；
，故B不正确；
当且时，z是纯虚数，故C不正确；
因为，所以，即，表示以为圆心，1为半径的圆，故D正确；  

10.【答案】ABC 

【解析】解：由于和平行且相等，故异面直线与所成的角的大小即为与所成的角，故或其补角为所求.
再由正方体的性质可得为等边三角形，故，
即异面直线与所成的角为，A正确；
三棱锥的体积即，B正确；
由正方体的性质可得，在上底面内的射影为，且
由三垂线定理可得同理可证，
而和是平面内的两条相交直线，
根据直线和平面垂直的判定定理，可得平面，C正确；
由正方体的性质可知二面角的平面角为，大小为，D错误；

  11.【答案】BCD 

【解析】解：根据互斥事件的定义可知A选项错误；
对于事件A与事件B，，，，事件A与事件B是相互独立事件，B正确，同理可知C正确；
事件表示第一次记录的数字为偶数，第二次记录的数字为偶数，
故，D正确.  

12.【答案】AC 

【解析】解：由题意知，圆心，半径为，所以，
当点P在AC的延长线上时，IAPl最大，此时，
当点P在AC之间时，最小，此时，
所以，即选项A正确;
当直线AP与圆C相切时，取得最大值，
此时，，即选项B错误;
设，

当时，此时点，有最大值为
，
所以的最大值为，即选项D错误.  

13.【答案】 

【解析】解：，
由，可得，解得

14.【答案】或写出1条即可 

【解析】解：当直线过原点时，方程设为代入点A得：；
当直线不过原点时，设直线的方程为：，
把点代入直线的方程可得，则直线方程是
则答案为或写出1条即可

  15.【答案】 

【解析】解：由题意知，两圆相交或相切，两圆心的距离
，解得

  16.【答案】 

【解析】解：如图，取，连结，
因为在直四棱柱中，侧棱底面ABCD，
可得直四棱柱的四个侧面均为矩形，所以，
因为，所以以为球心，半径为2的球面与直线相切.
在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，
，根据余弦定理可得，
，
所以
因为，平面，所以，
所以，
所以球面与侧面的交点为F和，
又，平面，
所以点F和在以为圆心，半径为1的圆上，

因为，所以弧的长度为，
所以球面与侧面的交线为弧，所以球面与侧面的交线的长度为

  17.【答案】解：由直线，则，故直线l过定点；

由直线得过定点

18.【答案】解：报名的学生共有1080人，抽取的比例为 

所以高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人

补全得 

第80百分位数是 

19.【答案】解：试验的样本空间，共6个样本点，设标号和为奇数为事件 B，则 B包含的样本点为，，，，共4个，所以

试验的样本空间，共有16个，设标号和为奇数为事件C，事件C包含的样本点为，，，，，，，，故所求概率为，所以甲、乙获胜的概率是公平的。

20.【答案】解：四棱锥的底面为正方形，，
平面PAD，平面PAD，
平面PAD，

又平面平面， ，

又平面ABCD，平面ABCD，

平面

由底面ABCD且四棱锥的底面为正方形，可知DA、DC、DP两两互相垂直，以D为原点，以DA、DC、DP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如图所示：

由于，
则，，，，
设平面PAC的法向量是，
则，令，得 ，

，

设直线l与平面PAC所成角为，则

21.【答案】解：

设圆心，则圆的方程为 

，或舍去 

圆的方程为

①当斜率不存在时，此时直线l方程为，原点到直线的距离为，

令代入圆方程得或，，

满足题意.此时方程为

②当斜率存在时，设直线l的方程为，

圆心到直线l的距离，

原点O到直线l的距离，

整理，得，此时k无解．

综上所述，所求的直线的方程为

22.【答案】解：在直角梯形ABCD中，连接AC交BE于F，

由题意知：且，四边形CEAB是平行四边形，

又 ，四边形CEAB是菱形

故， 

面，又平面，

由  可得，又 

设二面角的平面角为，则或 

过作于则面 

如图建系：， 

设面的一个法向量为，则

取 

或取 

而面ABD的一个法向量为 

或