上海市某校2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题（含答案）

2022-2023 学年度第一学期

高三年级期中考试数学试卷  2022.11.09

考生注意：

1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号.

2．本试卷共有道题，满分分，考试时间分钟

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．若集合，则__________.

2．在复平面内，复数z对应的点为，则______．

3．若向量则对应的位置向量的终点坐标是_______．

4．已知函数若，则________.

5．函数的部分图像如图所示，

则的最小正周期为______．

6．一质点的位移与时间的关系为，则该质点在处的瞬时速度为__________．

7．计算：___________.

8．在首项为2022，公比为的等比数列中，最接近1的项是第_____________项．

9．已知函数的值域为，且在上单调递增，请写出一个满足题意的的解析式_____________．

10．已知函数满足，函数与图象的交点分别为，则_____．

11.​的外心为​，三个内角所对的边分别为，

，，则面积的最大值为____________.

12．设函数的定义域为D，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为“T—单调增函数”．

对于“T—单调增函数”，有以下四个结论：

①“T—单调增函数”一定在D上单调递增；

②“T—单调增函数” 一定是“—单调增函数” （其中，且） ：

③函数是“T—单调增函数”（其中表示不大于x的最大整数）；

④函数不是“T—单调增函数”．

其中，所有正确的结论序号是______．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置．

13．角的始边与x轴非负半轴重合，若为角终边上的一点，则（    ）

A． B．      C．        D．

14．已知向量满足，则 (    )

A．4 B．3       C．2        D．0

15．设为平面内任意三点，则“与的夹角为钝角”是“”的（    ）

A．必要不充分条件  B．充分不必要条件  C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

16．若对于定义域内的每一个，都有，则称函数为“双倍函数”.

已知函数是定义在上的“双2倍函数”，且当时，，

若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为（    ）

A． B．        C．        D．

三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编

号的规定区域内写出必要的步骤．

17．（本题满分14分）本题共有2个小题, 第1小题满分8分，第2小题满分6分．

已知向量，函数.

(1)求的最小正周期及图象的对称轴方程；(2)若，求的值域.

18．（本题满分14分）本题共有2个小题, 第1小题满分6分，第2小题满分8分．

的内角的对边分别是，且.

(1)求的值；(2)当时，求的长.

19．（本题满分14分）本题共有2个小题, 第1小题满分6分，第2小题满分8分．

甲、乙两人同时分别入职两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍．

(1)分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量（精确到1元）

(2)设甲、乙两人入职第年的月基础工资分别为、元，记，

讨论数列的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，

并说明理由．
 

20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

对于函数，若存在实数m，使得为R上的奇函数，则称是位差值为m的“位差奇函数”.

（1）判断函数和是否是位差奇函数，并说明理由；

（2）若是位差值为的位差奇函数，求的值；

（3）若对于任意，都不是位差值为m的位差奇函数，

求实数t的取值范围.

21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

设m为实数，函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)当时，直线是曲线的切线，求的最小值；

(3)若方程有两个实数根，，证明：．

2022学年度第一学期 高三年级期中考试数学试卷(参考答案）2022.11.09

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．若集合，则__________.

【答案】      

2．在复平面内，复数z对应的点为，则______．

【答案】2

3．若向量则对应的位置向量的终点坐标是_______．

【答案】

4．已知函数若，则________.

【答案】或

5．函数的部分图像如图所示，则的最小正周期为______．

【答案】 2

6．一质点的位移与时间的关系为，则该质点在处的瞬时速度为__________．

【答案】    

7．计算：___________.

【答案】

8．在首项为2022，公比为的等比数列中，最接近1的项是第_____________项．

【答案】12

9．已知函数的值域为，且在上单调递增，请写出一个满足题意的的解析式_____________．

【答案】（答案不唯一）   

10.已知函数满足，函数与图象的交点分别

为，则_____．

【答案】－5

11.​的外心为​，三个内角所对的边分别为，

，，则面积的最大值为____________.

【答案】 12

【分析】由平面向量的数量积结合已知可得，

再由余弦定理求得,进而求得，由余弦定理及基本不等式求得ac的最大值，

则面积的最大值可求.

【详解】设的中点为，如图所示的外心为，则，

，整理得

，则，

又 ，

当且仅当，等号成立. 故答案为：12.

12．设函数的定义域为D，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为“T—单调增函数”．对于“T—单调增函数”，有以下四个结论：

①“T—单调增函数”一定在D上单调递增；

②“T—单调增函数” 一定是“—单调增函数” （其中，且） ：

③函数是“T—单调增函数”（其中表示不大于x的最大整数）；

④函数不是“T—单调增函数”．其中，所有正确的结论序号是______．

【答案】②③④

【分析】①③④选项可以举出反例；②可以进行证明.

【解析】①例如，定义域为，存在，对于任意，都有，但在上不单调递增，①错误；

②因为是单调增函数，所以存在，使得对于任意，都有，因为，，所以，故，即存在实数，使得对于任意，都有，故是单调增函数，②正确；

③，定义域为，当时，对任意的，都有，即成立，所以是单调增函数，③正确；

④当时，，若，则，显然不满足，故不是单调增函数，④正确.

故答案为：②③④

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置．

13．角的始边与x轴非负半轴重合，若为角终边上的一点，则（    ）

A． B．      C．        D．

【答案】B

14．已知向量满足，则 (    )

A．4 B．3       C．2        D．0

【答案】B

15．设为平面内任意三点，则“与的夹角为钝角”是“”的（    ）

A．必要不充分条件  B．充分不必要条件  C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

16．若对于定义域内的每一个，都有，则称函数为“双倍函数”.

已知函数是定义在上的“双2倍函数”，且当时，，

若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为（    ）

A． B．        C．        D．

【答案】D

【解析】由题知，对，都有设，则

所以

又所以则

因为函数恰有4个不同的零点，即方程有4个不同的实数根，

记，则方程必有两个不同的实数根为，且和都有两个不同实数根，

由图可知，当时，有，且，

此时和都有两个不同实数根，满足题意.

所以，实数的取值范围为.

故选：D

三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编

号的规定区域内写出必要的步骤．

17．（本题满分14分）本题共有2个小题, 第1小题满分8分，第2小题满分6分．

已知向量，函数.

(1)求的最小正周期及图象的对称轴方程；(2)若，求的值域.

【解析】（1）因为，且，

所以，

即，的最小正周期，

令，，解得，，

即图象的对称轴方程为，.

（2）解：，，，

所以.

18．（本题满分14分）本题共有2个小题, 第1小题满分6分，第2小题满分8分．

的内角的对边分别是，且.

(1)求的值；(2)当时，求的长.

【解析】（1）因为，所以，因为，所以.

（2）因为，所以，又，所以.

由及，得.

当时，由，得，化简得，

解得.

当时，由，化简得，解得.

所以或

19．（本题满分14分）本题共有2个小题, 第1小题满分6分，第2小题满分8分．

甲、乙两人同时分别入职两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍．

(1)分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量（精确到1元）

(2)设甲、乙两人入职第年的月基础工资分别为、元，记，

讨论数列的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，

并说明理由．

【解析】（1）甲的基础工资收入总量元

乙的基础工资收入总量元

（2），

，，

设，即，解得

所以当时，递增，当时，递减

又当，即，解得，所以从第5年到第14年甲的月基础工资高于乙的月基础工资．

20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

对于函数，若存在实数m，使得为R上的奇函数，则称是位差值为m的“位差奇函数”.

（1）判断函数和是否是位差奇函数，并说明理由；

（2）若是位差值为的位差奇函数，求的值；

（3）若对于任意，都不是位差值为m的位差奇函数，

求实数t的取值范围.

【答案】 (1)由,所以为奇函数.

故对于任意有为位差奇函数.

又,设.

此时,若为奇函数则恒成立.与假设矛盾,故不存在有为位差奇函数.

(2) 由是位差值为的位差奇函数可得,为R上的奇函数.即为奇函数.

即,.

(3)设

.由题意对任意的均不恒成立.

此时

即对任意的不恒成立.

故在无解.又,故.

故

【点睛】本题主要考查了函数的新定义问题,需要根据题意求所给的位差函数的表达式分析即可.

属于中等题型.

21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

设m为实数，函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)当时，直线是曲线的切线，求的最小值；

(3)若方程有两个实数根，，证明：．

【解析】（1），函数定义域为，

，

当时，在上恒成立，函数在上单调递增；

当时，，解得，函数在上单调递增；，解得，函数在上单调递减．

（2）当时，，设切点为，，则切线斜率，

切线方程为，，

，，，

令，函数定义域为，，

，；，

在上单调递减，在上单调递增，

，即的最小值为

（3）证明：，即，则，

令，函数定义域为，，

，；，

∴在上单调递增，在上单调递减，，

，不妨设，，

令，，所以，，，

要证，只要证，只要证，

令 ，，

，

，；，

在上单调递减，在上单调递增，

，，（1），则存在，使得，

在上单调递增，在上单调递减，在，上单调递增，

，，

在上恒成立，

得证．

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，也是求曲线的切线必备的知识点

1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．

2.研究函数的最值则要注意区分函数最值与极值的区别.

3.导数的几何意义是:导函数在切点处的函数值就是切线的斜率.

4.证明不等式时,根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，有着非凡的功效.