人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算精品课件ppt

课题名

平面向量的数量积

教学目标

1.知识与技能：了解并掌握平面向量的数量积概念及运算。

2.过程与方法：会利用向量数量积的有关概念解决向量垂直等问题，提升运算和逻辑推理能力。

3.情感态度和价值观：类比思想的进一步提升和应用。

教学重点

利用平面向量数量积的定义及有关性质解决相关的数学问题。

教学难点

应用类比思想灵活的解决相关的数学问题。

教学准备

教师准备：ppt课件

学生准备：阅读课件P17—P23.

一、 新课导入

（一）   教师活动:

请看：人在推车的过程中所做的功 W=|F||S|cos其中功W是标量，力F和位移S是两个向量， 是F和S的夹角，那么向量的运算中能否也有类似的运算呢？        

学生活动

  联系实际，结合物理知识，积极思考并回答问题。

（二）   设计意图

  联系实际，互相联想，引起悬念，它反映了现实生活中的好多量与实际意义。

二、 新知讲授

（一）   教师活动

1.两个向量夹角的定义：

已知两个非零向量在平面上任取一点O,作，，则

∠AOB=叫做向量的夹角，记作< ,>.

注意：必须是两个向量同一个起点所形成的角.

探究一、两个平面向量夹角的取值范围：通常规定：0≤ < ,> ≤

(1) 当 ,同向时, < ,>=0；当 ,反向时， < ,>=

(2)两个向量的夹角是唯一确定的，且< ,>= < >  

(3)若< ,>=，则向量 ,互相垂直，记作

探究二、向量的夹角与两条相交直线的夹角相同吗？

2.两个向量的数量积：

(1)定义：

3.投影向量：

(1)定义：

(2)注意: 在直线上的正投影A1B1是一个可正可负的实数，与 的夹角大小有关。

4.两个向量数量积的性质:

5.向量数量积的运算律：

学生活动

1.两个向量夹角的定义：已知两个非零向量在平面上任取一点O,作，，则∠AOB=叫做向量的夹角，记作< ,>.

注意：必须是两个向量同一个起点所形成的角.

2. 探究一、两个平面向量夹角的取值范围：通常规定：0≤ < ,> ≤

(1)当 ,同向时，< ,>=0；当 ,反向时， < ,>=

(2)两个向量的夹角是唯一确定的，且< ,>= < >  

(3)若< ,>=，则向量 ,互相垂直，记作

3.探究二、向量的夹角与两条相交直线的夹角相同吗？

答：不相同.

 两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范围是(0°,90°]；而向量的夹角必须是同起点，其取值范围[0°,180°]

2.两个向量的数量积：

(1)定义：已知两个非零向量 ,则| |cos< ,>叫做 ,的数量积，记作 ，即 = | |cos< ,>

  注:两个向量的数量积是数量，而不是向量.

特别地: (1）零向量与任意向量的数量积为0.

       （2） =0 

        (3)  =

3.投影向量：

  已知向量 直线, 是直线上与同方向的单位向量。作点A在上的射影，作点B在上的射影，则叫做向量在直线上的或在方向上的正投射，简称投影向量。

4.两个向量数量积的性质:

(1) ||cos<>      （其中e是单位向量）

(2) =0             (3)                   

(4)| |          (5) cos< >=

5.向量数量积的运算律：

(1)（ =（

(2)  = b

(3)（ + b

设计意图

引入概念，检验学生课前预习的能力。

提出问题，共同解答概念中的要点及疑惑以加深记忆和提升认识概念的能力.

三、 知识巩固

1. 跟踪练习：

(1)已知是两个非零向量，下列命题正确的有几个：

  ①       ②

  ③|

答案：2个.

(2)已知向量满足||=4，||=8， 与的夹角是150°,求 .

解析： = ||cos =4

答案：

(3)已知：|=2||=, 则所夹的角为（       ）

解析: cos< >==         < >=

答案：

2. 课堂互动：

(1)已知|=2 ,||=5,且 则夹角的正弦值为（      ）

解析< >==     ==

答案：

(2)已知|=2 ，||=3, 则|的最大值为(      ),最小值为(      ).

解析:当同向时， |取得最大值5；

        当反向时， |取得最小值1 .

答案：最大值5 ；最小值1 .

(3)已知向量满足||=2，| |=4， 与的夹角是60°.计算：

   ① ()·                 ②

解析: ① ()· . =| |

       ==4+8=12．

②  = =

     = =

答案： ① 12 ;     ② 12 .

3.素养训练：

(1)判断真假：

① 若=0，则= ， = ；   ② ( )

  ③ 

答案：① ×   ；     ② ×  ；        ③ ×  .

(2)已知|=2 ,||=3,且,则=(       )

解析:       =0

      = =16+9=25

答案：25 .

课堂小结

1.两个向量夹角的定义及取值范围:0≤ < > ≤

2.两个向量的数量积:<

3.向量数量积的运算律：(1) ()      

  (2)           (3)

拓展提升:

已知|=3 ,||=4,且 不共线，当k为何值时，向量

与 互相垂直?

解析：向量 与 互相垂直的充要条件是

((     即

        解得   

即当 时，向量 与 互相垂直 .

布置作业

课本P20.      练习：    1、2、3 . 

课本P22.      练习：    1、2、3 .

课本P23.      习题6.2      11. 

板书设计

1. 两个向量夹角的有关概念：           课堂互动：1.          
2. 两个向量数量积的有关概念：                   2.
3. 向量数量积的运算律：                         3.

跟踪练习：1.                           素养训练：1.

2.                                     2.

3.                           拓展提升：1.

教学反思

1. 两个向量的夹角必须是同一个起点。
2. 数量积公式的应用要灵活。
3. 向量运算要类比多项式的运算规律。