【备战2023高考】数学专题讲与练-考向25《平面向量的数量积及其应用》（重点）全能练（新高考地区专用）

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考向25 平面向量的数量积及其应用

【2022·全国·高考真题】已知向量，若，则（       ）
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【解析】解：,,即,解得,
故选：C
【2022·全国·高考真题（理）】已知向量满足，则（       ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】解：∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.

1．平面向量数量积的类型及求法：
（1）平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式；二是坐标公式．
（2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简．
2．平面向量数量积主要有两个应用：
（1）求夹角的大小：若，为非零向量，则由平面向量的数量积公式得（夹角公式），所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．
（2）确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．
3．向量与平面几何综合问题的解法与步骤：
（1）向量与平面几何综合问题的解法
①坐标法
把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
②基向量法
适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．
【注】用坐标法解题时，建立适当的坐标系是解题的关键，用基向量解题时要选择适当的基底．
（2）用向量解决平面几何问题的步骤
①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
②通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
③把运算结果“翻译”成几何关系．
4．利用向量求解三角函数问题的一般思路：
（1）求三角函数值，一般利用已知条件将向量关系转化为三角函数关系式．利用同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解．
（2）求角时通常由向量转化为三角函数问题，先求值再求角．
（3）解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想，即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题．
（4）解三角形．利用向量的坐标运算，把向量垂直或共线转化为相应的方程，在三角形中利用内角和定理或正、余弦定理解决问题．
5．用向量法解决物理问题的步骤如下：
（1）抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题；
（2）建立以向量为主体的数学模型；
（3）利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；
（4）用数学模型中的数据解释或分析物理问题．
6．常见的向量表示形式：
（1）重心．若点G是的重心，则或 （其中P为平面内任意一点）．反之，若，则点G是的重心．
（2）垂心．若H是的垂心，则．反之，若
，则点H是的垂心．
（3）内心．若点I是的内心，则．反之，若
，则点I是的内心．
（4）外心．若点O是的外心，则或．反之，若，则点是的外心．


1．设非零向量，是与的夹角．
（1）数量积：．
（2）模：．
（3）夹角： ．
（4）垂直与平行：；a∥b⇔a·b=±|a||b|．
【注】当与同向时，；
当与反向时，．
（5）性质：|a·b|≤|a||b|（当且仅当a∥b时等号成立）⇔
2．平面向量的模及其应用的类型与解题策略：
（1）求向量的模．解决此类问题应注意模的计算公式，或坐标公式的应用，另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解．
（2）求模的最值或取值范围．解决此类问题通常有以下两种方法：
①几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围．
（3）由向量的模求夹角．对于此类问题的求解，其实质是求向量模方法的逆运用．



1．平面向量的数量积
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），
记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　　　　
（2）平面向量数量积的几何意义
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．
②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．
2．数量积的运算律
已知向量、、和实数，则：
①；
②；
③．
3．数量积的性质
设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则
①．②．
③当与同向时，；当与反向时，．
特别地，或．
④．⑤．
4．数量积的坐标运算
已知非零向量，，为向量、的夹角．
结论
几何表示
坐标表示
模


数量积


夹角


的充要
条件


的充要
条件


与
的关系
（当且仅当时等号成立）

5．向量中的易错点
（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且．
（2）当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有．
当时，且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时，有，但．
（3）数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项．
（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）．当且仅当且（或，且



1．（2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）已知是边长为a的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（            ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：以中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，

则，，，
设，则，，，
所以，
所以
；
所以当，时，取得最小值是．
故选：B．
2．（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）已知单位向量，满足，则与的夹角为（       ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】C
【解析】解：因为，为单位向量，所以，
又，所以，即，
所以，即，所以，
所以，因为，所以；
故选：C
3．（2022·全国·高三专题练习）在矩形中，，，点为边的中点，点为边上的动点，则的取值范围是（       ）
\
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，


则，，设，，，
，
，，即的取值范围为.
故选：B.
4．（2022·全国·高三专题练习（理））已知向量满足，则（       ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】解：∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.
5．（2022·山东潍坊·模拟预测）定义：，其中为向量与的夹角．若，，，则等于（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，又，，
.
故选：D.
6．（2022·河南开封·模拟预测（理））已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，
又与的夹角为且为单位向量，
所以，可得.
故选：A


1．（2022·上海松江·二模）已知正方形的边长为4，点、分别在边、上，且，，若点在正方形的边上，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，建立平面直角坐标系，

则，，
当在上时，设，，
，
当时，，当时，，
即，
当在上时，设，则，
，知，
当在上时，设，，
，
当时，，当时，，
即，
当在上时，设，，
，
当时，，当时，，
即.
综上可得，，
故选：C
2．（2022·全国·模拟预测（理））在中，，为的外心，，，则（       ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【解析】如图，设的中点为D,E，连接OD,OE,则 ,

故，即 ,
即，故,
，即 ,
即，故,
故,
故选：B
3．（2022·全国·高三专题练习）正方形ABCD的边长为2，以AB为直径的圆M，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，如图，则，，
圆方程为，在圆上，设，
，，
，
，所以．
故选：B．

4．（2022·江苏无锡·模拟预测）八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩绘成，黑线勾边，中为方形或圆形，具有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹星纹．图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形为等腰直角三角形，中间阴影部分是正方形且边长为2，其中动点P在圆上，定点A、B所在位置如图所示，则最大值为（       ）


A．9 B．10 C． D．
【答案】C
【解析】解：如图所示：连接，


因为中间阴影部分是正方形且边长为2，
所以可得，，，
所以，
在中由余弦定理可得，
所以，
设的夹角为，的夹角为，
= =-,
当在所对的优弧上时，，
所以，，
=,
所以=-＝＝ ,（其中）
所以最大值为；
当在所对的劣弧上时，，
所以，，
=,
所以=-＝＝ ,（其中）
所以最大值为；
综上所述：最大值为.
故选：C.
5．（2022·全国·高三专题练习）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，

因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以


，其中，，
因为，所以，即；
故选：D
             
6．（2022·河南安阳·模拟预测（理））如图，在等腰直角中，斜边，M为AB的中点，D为AC的中点．将线段AC绕着点D旋转得到线段EF，则（       ）


A． B． C． D．
【答案】D
【解析】易得，D为线段EF中点，则，，
，，则，
又，则.
故选：D.
7．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知平面向量，，且非零向量满足，则的最大值是（       ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】
设，则，，
整理得，则点在以为圆心，为半径的圆上，则表示和圆上点之间的距离，
又在圆上，故的最大值是.
故选：B.
8．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知△ABC中，，AB=4，AC=6，且，，则（       ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【解析】解：，
且
所以：．
故选：B.
9．（多选题）（2022·湖北·模拟预测）正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，，则（       ）


A．最大值为 B．最大值为1
C．最大值是2 D．最大值是
【答案】BCD
【解析】以AB中点O为原点建立平面直角坐标系，，，，设，


则，，，
由，得且，
，故A错；
时，故B正确；
，故C正确；
，故D正确．
故选：BCD.
10．（多选题）（2022·山东·烟台二中模拟预测）中华人民共和国的国旗图案是由五颗五角星组成，这些五角星的位置关系象征着中国共产党领导下的革命与人民大团结．如图，五角星是由五个全等且顶角为36°的等腰三角形和一个正五边形组成．已知当时，，则下列结论正确的为（       ）


A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】对于A，连接DH，如图，由DF=FH，得：，，A正确；


对于B，连接AF，由得：AF垂直平分DH，而，即，则，B正确；
对于C，与不共线，C不正确；
对于D，连接CH，BH，由选项A知，，而，则四边形是平行四边形，
，D不正确.
故选：AB
11．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知均为非零向量，则下列结论中正确的有（       ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，，且，则的最大值与最小值之和为
【答案】CD
【解析】对于A选项，因为，当与的夹角为时，也符合要求，所以选项A不正确；
对于B选项，若，，，则，但，所以选项B不正确；
对于C选项，，所以选项C正确；
对于D选项，不妨设，，，所以，整理得，即在平面对应的点C的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
因此的最大值为，最小值为，所以选项D正确，
故选：CD.
12．（多选题）（2022·湖北·襄阳五中二模）已知点，若过点的直线交圆：于A，两点，是圆上一动点，则（       ）
A．的最小值为 B．到的距离的最大值为
C．的最小值为 D．的最大值为
【答案】ABC
【解析】如图，当直线与轴垂直时，有最小值，且最小值为，所以A正确；
当直线与垂直时，到的距离有最大值，且最大值为，所以B正确.
设，则，
所以，所以的最小值为，所以C正确；
当，，三点共线时，最大，且最大值为，所以D错误；
故选：ABC.

13．（多选题）（2022·重庆八中高三阶段练习）已知是单位向量，且，则下列说法正确的是（       ）
A． B．若，则
C．的最大值为 D．的最小值是
【答案】ACD
【解析】∵，
∴，，
∴，故A正确；
由，可得，
即，则不一定成立，故B错误；
又是单位向量，，
不妨设，设，又，
∴，，
∴，即，
由可知圆心为，半径为，

∴，故C正确；
由上可知，，即，
又∵，
∴的最小值是，故D正确.
故选：ACD.
14．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）对于给定的，其外心为O，重心为G，垂心为H，内心为Q，则下列结论正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．若A、P、Q三点共线，则存在实数使
【答案】BCD
【解析】解：对于A：给定的，其外心为，所以，故A不正确；
对于B：因为为给定的的垂心，故，
即,
解得：,故B正确；
对于C：因为重心为G，则有，，所以，故C正确；
对于D：由于点在的平分线上，为单位向量，所以与的平分线对应向量共线，所以存在实数使，故D正确．
故选：BCD．
15．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知向量，满足，，，则______．
【答案】1或3【解析】∵∴，
又∵，，∴．
当时，，
当时，．
故答案为：1或3
16．（2022·湖南·湘潭一中高三阶段练习）已知等边的边长为6，平面内一点P满足，则____________．
【答案】
【解析】因，则，
等边的边长为6，则，
所以.
故答案为：
17．（2022·上海黄浦·二模）已知向量、，若，，向量在方向上的投影的取值范围为____________．
【答案】
【解析】因为，，设、所成角为，
向量在方向上的投影为：，
因为，所以，所以.
故答案为:。
18．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））在中，为其外心，，若，则________．
【答案】
【解析】设外接圆的半径是，


．
设，则在等腰中，．
所以．
故答案为：.
19．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）设直角，是斜边上一定点．满足，则对于边上任一点P，恒有，则斜边上的高是________．
【答案】
【解析】取中点，则，同理，又，故，即恒成立，所以.作，则为中点，故，所以.又因为直角，故，所以，即斜边上的高是

故答案为：
20．（2022·浙江·模拟预测）已知平面向量满足，若，则的最大值是__________．
【答案】【解析】∵，∴，又，则可设，
设．由知C在以为圆心，1为半径的圆上，取的中点为，
由
,又，
所以
所以D在以为圆心3为半径的圆内（含边界），如图所示．

作圆N关于x轴的对称圆圆P，其中，
则表示圆面M内一点与圆P上一点之间的距离，
所以，
即的最大值为．
故答案为：．



1．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，

因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以


，其中，，
因为，所以，即；
故选：D
2．（2022·全国·高考真题）已知向量，若，则（       ）
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【解析】解：,,即,解得,
故选：C
3．（2022·全国·高考真题（理））已知向量满足，则（       ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】解：∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.
4．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，
∴不是的充分条件，
当时，，∴,∴成立，
∴是的必要条件，
综上，“”是“”的必要不充分条件

故选：B.
5．（2020·山东·高考真题）已知点，，点在函数图象的对称轴上，若，则点的坐标是（       ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【解析】由题意函数图象的对称轴是，设，
因为，所以，解得或，所以或，
故选：C．
6．（2020·海南·高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范围是，
结合向量数量积的定义式，
可知等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以的取值范围是，
故选：A.
7．（2020·全国·高考真题（理））已知向量 ，满足， ，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，，.
，
因此，.
故选：D.
8．（多选题）（2021·全国·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
9．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．
【答案】     1    
【解析】设，，为边长为1的等边三角形，，
，
，为边长为的等边三角形，，
，
，

，
所以当时，的最小值为.
故答案为：1；.

10．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．

【答案】         
【解析】，，，

，
解得，
以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

,
∵，∴的坐标为,
∵又∵,则，设，则（其中），
，，
，
所以，当时，取得最小值.
故答案为：；.
11．（2020·北京·高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．
【答案】         
【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则点、、、，
，
则点，，，
因此，，.
故答案为：；.
12．（2022·全国·高考真题（理））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
【答案】
【解析】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
13．（2021·全国·高考真题）已知向量，，，_______．
【答案】
【解析】由已知可得，
因此，.
故答案为：.
14．（2021·浙江·高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】由题意，设，
则，即，
又向量在方向上的投影分别为x，y，所以，
所以在方向上的投影，
即,
所以，
当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.


15．（2021·全国·高考真题（文））若向量满足，则_________.
【答案】
【解析】∵
∴
∴.
故答案为：.
16．（2020·浙江·高考真题）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．
【答案】
【解析】，
，
，

.
故答案为：.