2021-2022学年北京市石景山区九年级（上）期末数学试卷（含答案解析）

这是一份2021-2022学年北京市石景山区九年级（上）期末数学试卷（含答案解析），共25页。试卷主要包含了60，cs37∘≈0，【答案】C，【答案】B，【答案】6等内容，欢迎下载使用。

若2y=5x(xy≠0)，则下列比例式正确的是( )
A. xy=52B. x5=2yC. xy=25D. yx=25
在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=4，BC=3，则sinA的值是( )
A. 74B. 34C. 35D. 45
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2向上平移2个单位长度得到的抛物线为( )
A. y=(x+2)2B. y=(x−2)2C. y=x2−2D. y=x2+2
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的示意图如图所示，下列说法中正确的是( )
A. a<0B. b<0C. c>0D. Δ>0
在平面直角坐标系xOy中，若函数y=kx(x<0)的函数值y随着自变量x的增大而增大，则函数y=kx(x<0)的图象所在的象限为( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
如图，四边形ABCD内接于⊙O.若四边形ABCO是菱形，则∠D的度数为( )
A. 45∘B. 60∘C. 90∘D. 120∘
正方形的面积y与它的周长x满足的函数关系是( )
A. 正比例函数B. 一次函数C. 二次函数D. 反比例函数
在平面直角坐标系xOy中，点(−1,y1)，(2,y2)，(4,y3)在抛物线y=ax2−2ax+c上，当a>0时，下列说法一定正确的是( )
A. 若y1y2<0，则y3>0B. 若y2y3>0，则y1<0
C. 若y1y3<0，则y2>0D. 若y1y2y3=0，则y2=0
如图，AB//CD，AD，BC交于点O，AODO=12.若OB=3，则OC的长为______.
在半径为3的圆中，60∘的圆心角所对的劣弧长等于______.
如图，在平面直角坐标系xOy中，P为函数y=mx(x>0)图象上一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M，N.若矩形PMON的面积为3，则m的值为______.
如图，△ABC的高AD，BE相交于点O，写出一个与△AOE相似的三角形，这个三角形可以是______.
如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B.若∠OBA=30∘，PA=3，则AB的长为______.
有一块三角形的草坪，其中一边的长为10m.在这块草坪的图纸上，这条边的长为5cm.已知图纸上的三角形的周长为15cm，则这块草坪的周长为______m.
北京冬奥会雪上项目竞赛场地“首钢滑雪大跳台”巧妙地融入了敦煌壁画“飞天”元素．如图，赛道剖面图的一部分可抽象为线段AB.已知坡AB的长为30m，坡角∠ABH约为37∘，则坡AB的铅直高度AH约为______m.(参考数据：sin37∘≈0.60，cs37∘≈0.80，tan37∘≈0.75)
如图，在平面直角坐标系xOy中，P为x轴正半轴上一点．已知点A(0,2)，B(0,8)，⊙M为△ABP的外接圆．
(1)点M的纵坐标为______；
(2)当∠APB最大时，点P的坐标为______.
计算：3tan60∘−4cs45∘−(π−1)0+8.
如图，AE平分∠BAC，D为AE上一点，∠B=∠C.
(1)求证：△ABE∽△ACD；
(2)若D为AE中点，BE=4，求CD的长．
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−4x+3.
(1)求它的顶点坐标；
(2)求它与x轴的交点坐标．
下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，△ABC.
求作：直线BD，使得BD//AC.
作法：如图2，
①分别作线段AC，BC的垂直平分线l1，l2，两直线交于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径作圆；
③以点A为圆心，BC长为半径作弧，交AB于点D；
④作直线BD.
所以直线BD就是所求作的直线．
根据小石设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明．
证明：连接AD，
∵点A，B，C，D在⊙O上，AD=BC，
∴AD=______.
∴∠DBA=∠CAB(______)(填推理的依据).
∴BD//AC.
如图，在△ABC中，∠B=45∘，tanC=23，AC=213，求BC的长．
在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)画出这个二次函数的图象；
(3)若y<−3，结合函数图象，直接写出x的取值范围．
如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，BC，过点O作OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线交OD的延长线于点E.
(1)求证：∠E=∠B；
(2)连接AD，若CE=45，BC=8，求AD的长．
如图，排球运动场的场地长18m，球网高度2.24m，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为9m.一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分．某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为2m，当排球飞行到距离球网3m时达到最大高度2.5m.小石建立了平面直角坐标系xOy(1个单位长度表示1m)，求得该抛物线的表达式为y=−172x2+52.
根据以上信息，回答下列问题：
(1)画出小石建立的平面直角坐标系；
(2)判断排球能否过球网，并说明理由．
在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx(k≠0)的图象过点A(2,3).
(1)求k的值；
(2)过点P(m,0)(m≠0)作x轴的垂线，分别交反比例函数y=kx(k≠0)，y=−4x的图象于点M，N.
①当m=−2时，求MN的长；
②若MN≥5，直接写出m的取值范围．
在平面直角坐标系xOy中，A(m−1,y1)，B(3,y2)是抛物线y=x2−2mx+m2−4上两点．
(1)将y=x2−2mx+m2−4写成y=a(x−h)2+k的形式；
(2)若m=0，比较y1，y2的大小，并说明理由；
(3)若y1如图，AD是△ABC的高，点B关于直线AC的对称点为E，连接CE，F为线段CE上一点(不与点E重合)，AF=AB.
(1)比较∠AFE与∠ABC的大小；
(2)用等式表示线段BD，EF的数量关系，并证明；
(3)连接BF，取BF的中点M，连接DM.判断DM与AC的位置关系，并证明．
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2.点P，Q为⊙O外两点，给出如下定义：若⊙O上存在点M，N，使得以P，Q，M，N为顶点的四边形为矩形，则称点P，Q是⊙O的“成对关联点”．
(1)如图，点A，B，C，D横、纵坐标都是整数．在点B，C，D中，与点A组成⊙O的“成对关联点”的点是______；
(2)点E(t,t)在第一象限，点F与点E关于x轴对称，若点E，F是⊙O的“成对关联点”，直接写出t的取值范围；
(3)点G在y轴上，若直线y=4上存在点H，使得点G，H是⊙O的“成对关联点”，直接写出点G的纵坐标yG的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵2y=5x(xy≠0)，
∴xy=25，
故选：C.
根据比例的基本性质，把已知的等积式变形为比例式，即可判断．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=4，BC=3，
∴sinA=BCAB=34.
故选：B.
根据正弦定义直接求出sinA的值即可．
本题考查锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
3.【答案】D
【解析】解：抛物线y=x2向上平移2个单位长度得到的抛物线为：y=x2+2.
故选：D.
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的平移规律“左加右减，上加下减”是解题关键.
4.【答案】A
【解析】解：A、∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∴选项A正确；
B、∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴−b2a>0，即b>0，
∴选项B错误；
C、∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c<0，
∴选项C错误；
D、∵抛物线与x轴无交点，
∴Δ<0，
∴选项D错误.
故选：A.
由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置可确定a，b，c的符号，根据抛物线与x轴交点个数可得Δ的符号．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系．
5.【答案】B
【解析】解：∵反比例函数y=kx的函数值y随着自变量x的增大而增大，
∴反比例函数图象在第二、四象限，
∵x<0，
∴反比例函数y=kx(x<0)的图象所在的象限在第二象限，
故选：B.
先根据反比例函数y=kx的函数值y随着自变量x的增大而增大，判断函数所在象限，再根据x<0及函数图象可得答案．
本题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解本题的关键．
6.【答案】B
【解析】
解：∵四边形ABCO是菱形，
∴∠ABC=∠AOC，
又∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠D=180∘，
∵∠AOC=2∠D=∠ABC，
∴2∠D+∠D=180∘，
∴∠D=60∘，
故选：B.
【分析】
先根据菱形的性质得到∠ABC=∠AOC，再根据圆周角定理和圆内接四边形的性质得到∠ABC+∠D=180∘，∠AOC=2∠D，则2∠D+∠D=180∘，进而求出∠D的度数.
本题考查了圆内接四边形的性质，菱形的性质，圆周角定理，熟练掌握并正确运用圆内接四边形的性质，菱形的性质，圆周角定理是解题关键.
7.【答案】C
【解析】解：设正方形的边长为a，
则x=4a，y=a2，
由x=4a，得a=14x，
把a=14x代入y=a2，得y=14x2=116x2，
∵x>0，
∴y=116x2(x>0)，它是二次函数，
故选：C.
设正方形的边长为a，由正方形的周长和面积公式，消去a，可得所求函数的解析式．
此题考查的是函数关系式的求法及二次函数的概念，掌握正方形的面积公式与周长公式是解决此题关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵在抛物线y=ax2−2ax+c中，a>0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=−−2a2a=1，
∵4−1>1−(−1)>2−1，
∴y3>y1>y2，
当y1y2<0时，y1，y2异号，
∴y1>0，y2<0，
∴y3>y1>0，选项A正确．
当y3>y1>y2>0时，y2y3>0，
∴选项B错误，
当y1y3<0时，y3>0，y1<0，
∴y2当y1y2y3=0时，y1，y2，y3中有1个值为0即可，
∴选项D错误．
故选：A.
根据二次函数解析式可得抛物线对称轴及开口方向，根据各点横坐标可判断y3>y1>y2，进而求解．
本题考查二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系．
9.【答案】6
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠A=∠D，∠B=∠C，
∴△OAB∽△ODC，
∴OBOC=AODO=12.
∵OB=3，
∴3OC=12，
∴OC=6.
故答案为：6.
先根据相似三角形的判定定理证明△OAB∽△ODC，再根据相似三角形的对应边成比例即可求解．
本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，利用相似三角形的性质求出OC的长是解题关键．
10.【答案】π
【解析】解：在半径为3的圆中，60∘的圆心角所对的劣弧长=60π×3180=π，
故答案为：π.
把已知数据代入弧长公式计算，得到答案．
本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式：l=nπr180是解题的关键．
11.【答案】3
【解析】解：由题意得，
S矩形PMON=|m|=3，
∴m=±3，
又∵m>0，
∴m=3，
故答案为：3.
根据反比例函数系数k的几何意义可得答案．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是正确解答的前提．
12.【答案】△BOD(答案不唯一)
【解析】解：∵AD、BE分别是△ABC的高，
∴∠AEO=∠BDO=90∘，
∵∠AOE=∠BOD，
∴△AOE∽△BOD，
故答案为：△BOD(答案不唯一).
根据两组对应角相等的两个三角形相似，可证明与△AOE相似的三角形有△BOD或△CBE或△ACD.
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握两组对应角相等的两个三角形相似是解题的关键．
13.【答案】3
【解析】解：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，OB⊥PB，
∵∠OBA=30∘，
∴∠PBA=90∘−30∘=60∘，
∴△PAB为等边三角形，
∴AB=PA=3，
故答案为：3.
根据切线的性质得到PA=PB，OB⊥PB，根据等边三角形的判定和性质解答即可．
本题考查的是切线的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
14.【答案】30
【解析】解：设这块草坪的周长为x m，根据题意可得：
105=x15，
解得：x=30，
故答案为：30.
直接利用相似三角形的性质得出周长比等于相似比，进而得出答案．
此题主要考查了相似三角形的应用，正确掌握相似三角形的性质是解题关键．
15.【答案】18
【解析】解：在Rt△ABH中，∠ABH=37∘，AB=30m，
∵sin∠ABH=AHAB，
∴AH=AB⋅sin∠ABH≈30×0.60=18(m)，
故答案为：18.
根据正弦的定义计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
16.【答案】(1)5；(2)(4,0)
【解析】解：(1)∵点A(0,2)，B(0,8)，
∴线段AB的中点坐标为(0,5)，
∵⊙M为△ABP的外接圆，
∴点M在线段AB的垂直平分线上，
∴点M的纵坐标为5，
故答案为：5；
(2)由圆周角定理可知，当⊙M与x轴相切于点P时，∠APB最大，
连接MA、MP，过点M作MN⊥y轴于点N，
∵⊙M与x轴相切于点P，
∴MP⊥x轴，
∵∠BOP=90∘=∠MNO=∠MPO，
∴四边形NOPM为矩形，
∴OP=MN，MP=ON，
∵AB=6，MN⊥AB，
∴AN=12AB=3，
∴AM=MP=ON=5，
在Rt△AMN中，MN=AM2−AN2=52−32=4，
∴OP=MN=4，
∴点P的坐标为(4,0)，
故答案为：(4,0).
(1)根据点A、点B的坐标求出AB的中点，根据外心的概念得到点M的纵坐标；
(2)连接MA、MP，过点M作MN⊥y轴于点N，根据垂径定理求出AN，进而求出MP，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是三角形的外接圆与外心、切线的性质、圆周角定理，根据圆周角定理得到当⊙M与x轴相切于点P时，∠APB最大是解题的关键．
17.【答案】解：3tan60∘−4cs45∘−(π−1)0+8
=3×3−4×22−1+22
=3−22−1+22
=2.
【解析】先代入特殊角三角函数值，计算零指数幂，化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可.
本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的化简，熟记特殊角三角函数值，零指数幂法则，二次根式的化简是解题关键.
18.【答案】(1)证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAD，
∵∠B=∠C.
∴△ABE∽△ACD；
(2)解：∵D为AE中点，BE=4，
∴AE=2AD，
∵△ABE∽△ACD，
∴BECD=AEAD，
∴4CD=2ADAD，
∴CD=2.
【解析】(1)根据角平分线定义可得∠BAE=∠CAD，∠B=∠C，根据相似三角形的判定定理即可得出答案；
(2)根据D为AE中点，得出AE=2AD，由(1)得△ABE∽△ACD，根据相似三角形的性质得出：BECD=AEAD，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定与性质，得出△ABE∽△ACD是解题的关键．
19.【答案】解：(1)∵y=x2−4x+3=x2−4x+4−1=(x−2)2−1，
∴抛物线的顶点坐标为(2,−1)；
(2)把y=0代入y=x2−4x+3得，x2−4x+3=0，
解得x1=1，x2=3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为(1,0)，(3,0).
【解析】(1)把二次函数的解析式化成顶点式即可；
(2)把y=0代入函数解析式求出x即可．
本题考查了二次函数的性质，二次函数与x轴的交点等知识点，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，即为补全的图形；
(2)BC 在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等.
【解析】(1)见答案；
(2)证明：连接AD，
∵点A，B，C，D在⊙O上，AD=BC，
∴AD=BC.
∴∠DBA=∠CAB(在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等).
∴BD//AC.
故答案为：BC.在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等．
(1)根据要求作出图形即可．
(2)根据圆周角定理和平行线的判定证明即可．
本题考查线段垂直平分线、三角形的外接圆，平行线的作图，圆周角定理的应用，解题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
21.【答案】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D.
∴△ABD、△ACD均为直角三角形．
在Rt△ACD中，
∵tanC=ADCD=23，
∴AD=23CD.
在Rt△ACD中，∵AD2+CD2=AC2，AC=213，
∴(23CD)2+CD2=(213)2,
∴CD2=36，
∵CD>0，
∴CD=6，
∴AD=23CD=23×6=4.
在Rt△ABD中，∵∠B=45∘，∠ADB=90∘，
∴∠BAD=90∘−45∘=45∘，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD=4.
∴BC=AD+CD=4+6=10.
【解析】过点A作AD⊥BC，垂足为D.得到Rt△ACD和Rt△ABD，先在Rt△ACD中根据正切定义和勾股定理求出AD、CD，再在Rt△ABD中求出BD，最后利用线段的和差关系求出BC.
本题考查了解直角三角形，构造直角三角形并掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
22.【答案】解：(1)观察表可知，当x=0，x=2时，y值相等均为0，
∴二次函数的顶点坐标为(1,1)，
设二次函数的表达式为：y=a(x−1)2+1，
把点(0,0)代入y=a(x−1)2+1，得a=−1，
∴这个二次函数的表达式为y=−(x−1)2+1，即y=−x2+2x；
(2)由(1)知，抛物线顶点为(1,1)，对称轴为直线x=1，过原点，
根据抛物线的对称性，抛物线过(2,0)
抛物线的图象如图所示：
(3)x>3或x<−1.
【解析】
【分析】
(1)利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为(1,1)，则可设顶点式y=a(x−1)2+1，然后把点(0,0)代入求出a即可；
(2)利用描点法画二次函数图象；
(3)根据y=−3时x的值，再结合函数图象得出y<−3时x的取值范围．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)当y=−3时，−x2+2x=−3，
解得：x1=−1，x2=3，
结合函数图象，当y<−3时，x>3或x<−1.
本题考查了用待定系数法求二次函数的表达式：在利用待定系数法求二次函数表达式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出表达式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与性质．
23.【答案】(1)证明：如图，连接OC，
∵EC是⊙O的切线，
∴∠OCE=90∘，
∵OD⊥BC，
∴∠EDC=90∘，
∴∠OCD+∠ECD=∠E+∠ECD=90∘，
∴∠OCD=∠E，
∵OB=OC，
∴∠OCD=∠B，
∴∠E=∠B；
(2)解：如图，连接AD，
∵OD⊥BC，
∴BD=CD=12BC=4，
在Rt△DEC中，∵EC2=CD2+DE2，
∴DE=EC2−CD2=(45)2−42=8，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90∘，
∴∠ACB=∠CDE=90∘，
∵∠B=∠E，
∴△ACB∽△CDE，
∴ACCD=BCDE，
∴AC4=88，
∴AC=4，
在Rt△ADC中，∵AD2=AC2+CD2，
∴AD=AC2+CD2=42+42=42.
【解析】(1)连接OC，根据切线的性质和等腰三角形的性质即可解决问题；
(2)根据垂径定理可得BD=CD=12BC=4，由勾股定理可得DE的长，然后证明△ACB∽△CDE，根据相似三角形的性质得出AC的长，再根据勾股定理进而可以解决问题．
本题考查切线的性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
24.【答案】解：(1)∵抛物线解析式为y=−172x2+52，
∴对称轴为y轴，顶点为(0,52)，
∴小石建立的平面直角坐标系如图所示：
(2)排球能过球网．
理由：∵当x=3时，y=−172×9+52=2.375>2.24，
∴排球能过球网．
【解析】(1)根据抛物线的解析式可以得出抛物线的对称轴为y轴，顶点为(0,52)建立坐标系即可；
(2)根据坐标系和抛物线解析式，把x=3代入解析式求出相应的函数值与2.24比较即可．
本题考查了二次函数的应用，关键根据抛物线建立适当的坐标系．
25.【答案】解：(1)∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象过点A(2,3)，
∴k=2×3=6；
(2)①由(1)知，反比例函数y=6x，
当m=−2时，则P(−2,0)，
把x=−2代入y=6x得，y=−3，
∴M(−2,−3)，
把x=−2代入y=−4x得，y=2，
∴N(−2,2)，
∴MN=2−(−3)=5；
②若MN≥5，m的取值范围是−2≤m<0或0【解析】(1)根据待定系数法即可求得；
(2)①求得M、N的坐标，即可求得MN的长；
②根据图象即可求得．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，掌握待定系数法求解析式以及求两点间的距离是解题的关键．
26.【答案】解：(1)y=x2−2mx+m2−4=(x−m)2−4；
(2)y1若m=0，则A(−1,y1)，B(3,y2)，y=x2−4
对称轴是y轴，
∴B到y轴的距离大于A到y轴的距离，
∵a>0，
∴y1(3)m<2或m>4.
【解析】
【分析】
(1)利用配方法化简即可；
(2)根据二次函数的性质即可判断；
(3)根据题意得到|m−1−m|<|3−m|，解不等式即可求得．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=m，
∴若y1解得m<2或m>4.
本题考查了二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
27.【答案】解：(1)连接AE，
∵点B关于直线AC的对称点为E，
∴AB=AE，∠ABC=∠E，
∵AF=AB，
∴AF=AE，
∴∠AFE=∠E，
∴∠AFE=∠ABC；
(2)EF=2BD，
证明：作AH⊥EF于H，
∵∠ABC=∠AFE，∠ADB=∠AHF，AB=AF，
∴△ABD≌△AFH(AAS)，
∴BD=FH，
∵AF=AE，AH⊥EF，
∴EF=2HF，
∴EF=2BD；
(3)DM⊥AC，理由如下：
延长DM交AC于H，
∵AB=AF，点M为BF的中点，
∴∠BAM=∠FAM=12∠BAF，AM⊥BF，
∴∠BAM+∠ABM=90∘，
∵点B关于直线AC的对称点为E，
∴∠ACB=∠ACF=12∠BCF，
∵∠ABC=∠AFE，
∴∠ABC+∠AFC=180∘，
∴∠BAF+∠BCF=180∘，
∴∠ACB+∠BAM=90∘，
∴∠ACD=∠ABM，
∵∠AMB=∠ADB=90∘，
∴四点A、B、D、M共圆，
∴∠ABM=∠ADM，
∴∠ADM+∠HDC=90∘，
∴∠ACD+∠HDC=90∘，
∴DH⊥AC，
即DM⊥AC.
【解析】(1)连接AE，由轴对称的性质知AB=AE，∠ABC=∠E，得AF=AE，则∠AFE=∠E，从而得出结论；
(2)作AH⊥EF于H，利用AAS证明△ABD≌△AFH，得BD=FH，再利用等腰三角形的性质可得结论；
(3)延长DM交AC于H，，由等腰三角形的性质知∠BAM+∠ABM=90∘，再利用四边形内角和定理说明∠ACB+∠BAM=90∘，则∠ACD=∠ABM，由∠AMB=∠ADB=90∘，知四点A、B、D、M共圆，从而解决问题．
本题是几何变换综合题，主要考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，四边形内角和定理等知识，运用四点共圆证明∠ABM=∠ADM是解题的关键．
28.【答案】(1)B、C；
(2)2(3)4【解析】解：(1)如图所示，
在点B，C，D中，与点A组成⊙O的“成对关联点”的点是：B，C，
故答案为：B，C.
(2)∵点E(t,t)在第一象限，
∴点E(t,t)在直线y=x上，
设直线y=x与⊙O交于点T(a,a)，点T在第一象限，
可知OT=2，
∴a2+a2=OT2=4，
解得：a=±2，
∵点T在第一象限，
∴a>0，
∴a=2.
由⊙O的“成对关联点”的定义可知：⊙O的“成对关联点”在圆外，
∴OE>OT，
∴t>2.
∵点F与点E关于x轴对称，
∴EF=2t，
由题意：EF≤2×2=4，
∴2t≤4.
解得：t≤2.
∴若点E，F是⊙O的“成对关联点”，t的取值范围：2(3)当yG=4时，如图所示：
显然，直线y=4上不存在点H，使得点G，H是⊙O的“成对关联点”；
当yG<4时，如图所示：
显然，直线y=4上不存在点H，使得点G，H是⊙O的“成对关联点”；
当yG>4时，显然，直线y=4上存在点H，使得点G，H是⊙O的“成对关联点”，
如图所示：点G，H是⊙O的“成对关联点”，MN为⊙O的直径，
∵GH≤MN，
∴此时，GH取得最大值4，yG取得最大值．
设yG=m，m>4，直线y=4与y轴交于点K，
则OG=m，KG=m−4.
则四边形GHNM是矩形，
∴GH=MN=4，∠M=∠MGH=90∘.
∴∠MGO+∠HGK=90∘，
∵GK⊥KH，
∴∠HGK+∠GHK=90∘，
∴∠MGO=∠GHK，
∵∠M=∠GKH=90∘，
∴△MGO∽△KHG，
∴MOKG=OGGH，
∴2m−4=m4，
解得：m=2±23.
∵m>4，
∴m=2+23.
∴点G的纵坐标yG的取值范围：4(1)根据⊙O的“成对关联点”的定义，利用数形结合的方法判断即可；
(2)由题意可得点E(t,t)在直线y=x上，利用点和圆的位置关系和⊙O的“成对关联点”的线段的长度不大于圆的直径列出不等式，解不等式即可得出结论；
(3)利用分类讨论的思想分析得到点G的大致位置，通过计算点G，H的最大临界值即可求得结论．
本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的有关概念及性质，圆的直径，矩形的性质，一次函数的图象和性质，相似三角形的判定与性质，直角坐标系，点的坐标的特征，本题是新定义型题目，理解题干的新定义并熟练应用是解题的关键．
x
⋯
−1
0
1
2
⋯
y
⋯
−3
0
1
0
⋯